Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 3. Приложения определенного интеграла 121
+
1
8
1
2
+
1
4
1
(
2
)
=
=
1
8
ln
2
+ 2
1
4
1
2
+
1
+ 2
=
=
1
8
ln
5
+ 2
5
2
+
1
4
1
5
2
+
1
5
+ 2
.
После упрощения получаем окончательный ответ:
=
1
8
ln9 + 45+
5
2
.
3.2.2. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
Рассмотрим кривую, заданную параметрическими уравнениями
= (
)
,
= (
)
,
,
где
функции () и (
)
определены и непрерывно дифференцируемы на
[
; ]. Тогда длина кривой = (); (
)
: [; ] может быть вычис-
лена по формуле
=
()
+
()
.
Пример 3.2.2.1. Вычислить длину дуги циклоиды (см. рис. 8), задан-
ной параметрическими уравнениями
= (s
in ), = (1 cos
)
,
0 2,
> 0
.
Решение. С учетом формулы для вычисления длины дуги имеем
=
(
1 cos
)
+ sin
=
= 1 2 cos + cos
+ sin
=
=
2
1 cos
.
122 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Отсюда, используя формулу
sin
=
1 cos 2
2
,
получаем
= 2 sin
2
=
= 4 sin
2
=
= 8cos
2
= 8.
Пример 3.2.2.2. В
ычислить длину дуги кривой, заданной уравнением
/
+
/
=
/
, > 0.
Замечание. Уравнение
/
+
/
=
/
. задает на плоскости кри-
вую, называемую астроидой. Эта кривая представляет собой траекторию
точки, лежащей на окружности радиуса , когда эта окружность «катится»
изнутри по неподвижной окружности радиуса 4 (рис. 11).
Рис. 11. Астроида
Решение. Заметим, что рассматриваемая кривая симметрична отно-
сительно осей
и ,
поэтому достаточно найти длину дуги астроиды,
расположенной в
I че
тверти, т. е. при
0 и 0.
Глава 3. Приложения определенного интеграла 123
Легко проверить, что для 0 и 0 астроида допускает парамет-
ризацию
= cos
,
= sin
,
0
2
.
С учетом формулы для вычисления длины дуги длина дуги астроиды
может быть вычислена по формуле
= 4
(
3 cossin
)
+(3 sin
cos
)
=
= 12
cos
sin
(
cos
+ sin
)
=
= 12cos sin
= 6sin 2
=
= 3cos 2
|
= 6.
3.2.3. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах
Рассмотрим кривую, заданную в полярной системе координат урав-
нением
= (), ,
где 0 < < 2, функция () непрерывно дифференцируема на [;
]
и принимает всюду на этом отрезке неотрицательные значения.
Длина дуги кривой = (), , может быть вычислена по
формуле:
=
()
+
()
.
Пример 3.2.3.1. Вычислить длину дуги кривой = sin , 0 .
Решение. Из формулы для вычисления длины дуги получаем
=
sin
+ cos
=
124 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
= .
П
ример 3.2.3.2. Вычислить длину дуги кривой =
(> 0)
при 0 < < .
Решение. Из соотношения 0 <
< следует, что (; 0).
Из формулы для вычисления длины дуги получаем
=
(
)
+
(
)
=
= 1 +
=
=
1 +
=
1 +
.
Пример 3.2.3.3. Вычислить длину дуги кривой = (спираль Ар-
химеда) при 0 2.
Решение. Из формулы для вычисления длины дуги получаем
=
+ 1
.
Обозначим
=
+ 1 .
Для вычисления неопределенного интеграла воспользуемся форму-
лой интегрирования по частям:
=
+ 1 =
=
+ 1
=
=
+ 1
=
=
+ 1
+ 1
=
Глава 3. Приложения определенного интеграла 125
= + 1
(
+ 1
)
1
+ 1
=
=
+ 1
+ 1
+
+ 1
.
Получаем уравнение
=
+ 1 + ln +
+ 1.
Отсюда находим
=
1
2
+ 1 + ln +
+ 1+ .
С учетом последней формулы вычисляем длину дуги:
=
2
+ 1 + ln +
+ 1
=
=
4
+ 1 +
2
ln 2+4+ 1.
Глава 4. Числовые ряды
4.1. Основные определения и теоремы
Определение. Пусть
{
}
— числовая последовательность. Чис-
ловым рядом, составленным из элементов этой последовательности, назы-
вается бесконечная сумма
+ + + + =
.
Определение. Частичной суммой
, , числового ряда называ-
ется сумма его первых членов:
= + + + =
.
Определение. Числовой ряд
называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм
{
}
сходится. В этом случае
сумму рассматриваемого ряда полагают равной числу = lim
и пи-
шут
= . Если последовательность частичных сумм {
}
рас-
ходится, то числовой ряд называется расходящимся.
Замечание. Если в числовом ряде отбросить конечное число слагаемых, то сходимость ряда не изменится.
Теорема (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд
сходится, то lim
= 0.
Теорема. Если числовые ряды
и
сходятся, то для
любых , сходится ряд
(
+
)
и имеет место равенство
(
+
)
=
+
.
Глава 4. Числовые ряды 127
Определение. Числовой ряд
называется абсолютно сходя-
щимся, если сходится числовой ряд
|
|
.
Теорема. Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Очевидно, что сходящийся ряд, у которого все члены неотрицатель-
ны или все члены неположительны, является абсолютно сходящимся.
Определение. Числовой ряд
называется условно сходящим-
ся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся, т. е. ряд
|
|
расходится.
Замечание. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно пере-
ставить члены, при этом абсолютная сходимость не нарушится, и его сумма не изменится. В условно сходящемся ряде перестановка членов недопустима, так в результате такой перестановки сумма ряда может измениться
или ряд с измененным порядком членов может оказаться расходящимся.
Пример 4.1.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
1
1
2
+
1
4
1
8
+ +
(1)
2
+ .
Решение. Рассмотрим последовательность частичных сумм:
= 1
1
2
+
1
4
1
8
+ +
(1)
2
, .
С учетом формулы для суммы
первых членов геометрической прогрес-
сии
+
+
+ +
=
1
1
имеем
=
1
1
=
2
3
1
1
2
.
Переходя к пределу при +, получаем
128 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
lim
=
2
3
,
следовательно, исходный ряд сходится и его сумма равна 2/3.
Замечание. Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при решении примера 4.1.1, можно доказать следующую
формулу, называемую формулой суммы геометрического ряда:
+ + + +
+ =
1
,
||
< 1.
(4.1)
Пример 4.1.2. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
1
2
+
1
3
+
1
2
+
1
3
+ +
1
2
+
1
3
+ .
Решение. Так как все члены ряда положительны, то перестановка его
членов не влияет на сходимость ряда и не изменяет его сумму, если ряд
является сходящимся. Перегруппируем члены ряда:
1
2
+
1
2
+ +
1
2
+ +
1
3
+
1
3
+ +
1
3
+ .
С учетом формулы для суммы геометрического ряда (4.1) получаем, что
исходный ряд сходится и его сумма равна
1
+
1
= 1 +
1
2
=
3
2
.
Пример 4.1.3. Д
оказать сходимость ряда и найти его сумму:
1
2 5
+
1
5 8
+ +
1
(
31)(3+ 2
)
+ .
Решение. Ра
ссмотрим частичную сумму ряда
=
1
2 5
+
1
5 8
+ +
1
(
31)(3+ 2
)
.
Представим каждое слагаемое в виде разности двух дробей:
1
2 5
=
1
3
1
2
1
5
,
Глава 4. Числовые ряды 129
1
5 8
=
1
3
1
5
1
8
,
. . . . . . . . . . . . . . .
1
(
3
1)(3+ 2
)
=
1
3
1
31
1
3+ 2
,
тогда
=
1
3
1
2
1
5
+
1
5
1
8
+ +
1
31
1
3+ 2
.
Раскроем скобки и приведем подобные, в результате в
сумме оста-
нутся только первое и последнее слагаемое:
=
1
3
1
2
1
3+ 2
=
1
6
1
3(3+ 2)
.
Переходя в последнем равенстве к пределу при +, получаем
lim
=
1
6
,
следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1/6.
Далее мы не будем вычислять суммы числовых рядов. Нас будет ин-
тересовать только вопрос о сходимости ряда.
4.2. Знакопостоянные числовые ряды
Определение. Числовой ряд
называется знакопостоянным,
если все его члены неотрицательны (
0 для всех номеров ) или
все его члены неположительны (
0 для всех номеров ).
Далее ограничимся рассмотрением рядов
, где 0 для
всех , так как ряды
или
(
)
сводятся друг к другу
умножением всех членов ряда на 1:
(
)
=
.
130 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Теорема (I признак сравнения). Пусть члены рядов
и
удовлетворяют условию 0 для всех , тогда
1) если ряд
сходится, то сходится ряд
;
2) если ряд
расходится, то расходится ряд
.
Замечание. Если члены рядов
и
удовлетворяют
условию 0
для всех , то говорят, что ряд
мажори-
рует ряд
, или члены ряда
мажорируются членами ряда
.
Теорема (II признак сравнения). Пусть члены знакопостоянных
рядов
и
(0 для достаточно больших ) таковы,
что существует конечный положительный предел lim
. Тогда эти ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Следствие 1. Пусть члены знакопостоянных рядов
и
таковы, что
~ при + для некоторого числа 0. Тогда ряды
и
сходятся или расходятся одновременно.
Следствие 2. Пусть для членов знакопостоянного ряда
вы-
полняется соотношение
~
при + для некоторого числа 0.
Тогда при > 1 ряд
сходится, а при 1 ряд
расходит-
ся.
При
знак Даламбера. Пусть
— ряд с положительными чле-
нами и существует конечный предел = lim
, тогда
1) если < 1, то ряд
сходится;
2) если > 1, то ряд
расходится.
Признак Коши. Пусть
— ряд с неотрицательными членами
и существует конечный предел = lim
, тогда
1) если < 1, то ряд
сходится;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]