Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 61
Вычтем 2 из обеих частей последнего равенства:
3=
+ 2
2
.
Р
азделим обе части на
:
3 =
+ 2
2
,
В
ыразим
ч
ерез :
=
2
2
+ 3
1
.
Т
еперь вычислим дифференциал от
:
=
2
2
+ 3
1
=
=
2
2
+ 3
1
=
=
22
(
1
)
+ 2
2
2
+ 3
(
1
)
=
=
22
+ 6+ 2
2
(
1
)
.
Теперь выполним замену переменных под знаком интеграла:
3+ 2
=
=
1
+2
2
2+ 6+ 2
2
(
1
)
=
=
1
(1) +
2
2
2+ 6+ 2
2
(
1
)
.
Упростим функцию под знаком интеграла:
1
(1) +
2
2
2+ 6+ 2
2
(
1
)
=
62 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
1
+2
2
2+ 6+ 2
2
(
1
)(
1 +
)
=
=
1 +
2
+2 3
22
+ 6+ 2
2
(
1
)(
1 +
)
=
=
2
2+ 6+ 2
2
22 + 3(1
)
(
1 +
)
.
Получаем окончательный ответ:
3+ 2
=
=
22
+ 6+ 2
2
22 + 3(1
)
(
1 +
)
,
где
=
3+ 2
2
.
Способ 3. С учетом того, что многочлен 3+ 2 имеет веще-
ственные корни 1 и 2, используем третью подстановку Эйлера:
(
1)(2
)
= (1
)
.
В данном случае корень, равный 1, был выбран произвольно, под-
становка
(
1)(2
)
= (2
)
также привела бы рассматриваемый
интеграл к интегралу от рациональной функции.
Для того чтобы выразить дифференциал , возведем в квадрат обе
части равенства
(
1)(2
)
= (1
)
,
п
олучим
(
1)(2)=
(
1
)
.
Разделим обе части последнего равенства на 1:
2 =
(
1
)
.
Глава 1. Неопределенные интегралы 63
Выразим через :
=
2
1
.
Вычислим дифференциал от :
=
2
1
=
= 1
1
1
=
=
2
(
1
)
.
Теперь выполним замену переменных под знаком интеграла:
3+ 2
=
=
1
(1)
2
(
1
)
=
=
1
(
1)
2
(
1
)
=
=
1
(
1)
2
(
1
)
.
Упростим функцию под знаком интеграла:
1
2
(
1
)
=
=
+ 1
2 (+ 1
)
2
(
1
)
(
+ 1
)
=
=
2
(
+ 2)(1
)
(
+ 1
)
.
Получаем окончательный ответ:
3+ 2
=
64 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2
(
+ 2)(1
)
(
+ 1
)
,
где
=
2
1
.
Пример 1.6.1.2. Привести интеграл
+
+ + 1
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Так как под корнем коэффициент при
и свободный член
положительны (оба равны 1), то можем использовать первую или вторую
подстановку Эйлера. Рассмотрим оба варианта.
Способ 1. Используем первую подстановку Эйлера:
+ + 1 = + .
Выбран знак «», поскольку в этом случае после выполнения замены
переменной рациональная функция под знаком интеграла будет иметь более простой вид.
Для того чтобы выразить дифференциал , возведем в квадрат обе
части равенства
+ + 1 = + , получим
+ + 1 = 2+
.
Вычтем из обеих частей последнего равенства
:
+ 1 = 2+
.
Выразим через :
=
1
1 + 2
.
Теперь вычислим дифференциал :
Глава 1. Неопределенные интегралы 65
=
1
1 + 2
=
=
1
1 + 2
=
=
2(1 + 2)2(
1
)
(
1 + 2
)
=
=
2
+ 2+ 2
(
1 + 2
)
.
Выполним замену переменных под знаком интеграла:
+
+ + 1
=
2
+ 2+ 2
(1 + 2
)
,
где
= +
+ + 1.
Способ 2. Используем вторую подстановку Эйлера:
+ + 1 = + 1.
В данном случае знак «» выбран произвольно, так как выбор
знака не повлияет на сложность полученной после выполнения замены рациональной функции под знаком интеграла.
Для того чтобы выразить дифференциал , возведем в квадрат обе
части равенства
+ + 1 = + 1, получим
+ + 1 = + 2+ 1.
Вы
чтем из обеих частей последнего равенства 1:
+ = + 2.
Р
азделим обе части на
:
+ 1 =
+ 2.
Выра
зим
ч
ерез
:
=
2
1
1
.
66 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Теперь вычислим дифференциал :
=
21
1
=
=
21
1
=
=
2
(
1
)
+ 2(21
)
(
1
)
=
=
2
2+ 2
(
1
)
.
Выполним замену переменных под знаком интеграла:
+
+ + 1
=
=
1
+ + 1
22+ 2
(
1
)
=
=
1
(+ 1) + 1
22+ 2
(
1
)
.
Упростим подынтегральную функцию:
1
(
+ 1
)
+ 1
22+ 2
(
1
)
=
=
1
+ 1
22+ 2
(
1
)
(
1 +
)
=
=
1
2
2+ 2
(
1
)
(
1 +
)
=
=
22+ 2
(1 )(1 +
)
.
Получаем окончательный ответ:
+
+ + 1
=
2
2+ 2
(1 )(1 +
)
,
где
Глава 1. Неопределенные интегралы 67
=
+ + 1 1
.
Пример 1.6.1.3. Привести интеграл
(
2
+ 8
)
(
+ 1)
3 2
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Так как многочлен под корнем имеет вещественные корни
и его свободный член положителен, то можем использовать вторую или
третью подстановку Эйлера. Рассмотрим и сравним оба варианта.
Способ 1. Используем вторую подстановку Эйлера:
3 2
= +
3 .
В данном случае знак «» выбран произвольно, так как выбор
знака не повлияет на сложность полученной после выполнения замены под
знаком интеграла рациональной функции.
Для того чтобы выразить дифференциал , возведем в квадрат обе
части равенства
3 2
= +
3, получим
3 2
=
+ 2
3+ 3.
Вычтем 3 из обеих частей последнего равенства:
2
=
+ 2
3.
Разделим обе части на :
2
=
+ 2
3.
Выразим через :
=
2
3+ 2
1 +
.
Теперь вычислим дифференциал :
=
2
3+ 2
1 +
=
68 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2
3+ 2
1 +
=
=
2
3
(
1 +
)
22
3+ 2
(
1 +
)
=
=
2
3+ 42
3
(
1 +
)
.
Выполним замену переменных под знаком интеграла:
(
2
+ 8
)
(
+ 1
)
3 2
=
=
2
+ 8
(
+ 1
)
+3
2
3+ 42
3
(
1 +
)
=
=
2
+ 8
+ 1
+3
×
×
2
3+ 42
3
(
1 +
)
.
Упростим функцию под знаком интеграла:
2
+ 8
+ 1
+3
×
×
2
3+ 42
3
(
1 +
)
=
=
843+ 423+ 23
23132+3(1 +
)
=
= 8
23+ 1
231(1 +
)
.
Получаем окончательный ответ:
(
2
+ 8
)
(
+ 1
)
3 2
=
Глава 1. Неопределенные интегралы 69
= 8
2
3+ 1
231
(
1 +
)
,
где
=
3 2
3
.
Способ 2. Используем третью подстановку Эйлера (многочлен
3 2
имеет два вещественных корня: 1 и 3):
(
1)(+ 3
)
= (1
)
.
В данном случае корень, равный 1, был выбран произвольно, под-
становка
(
1)(+ 3
)
= (+ 3
)
также привела бы рассматриваемый
интеграл к интегралу от рациональной функции.
Для того чтобы выразить дифференциал через , возведем в
квадрат обе части равенства
(
1)(+ 3
)
= (1
)
, получим
(
1)(+ 3
)
=
(
1
)
.
Разделим обе части последнего равенства на 1:
(
+ 3)=
(
1
)
В
ыразим
ч
ерез :
=
3
1 +
.
Теперь вычислим дифференциал
:
=
3
1 +
=
=
3
1 +
=
=
2(1 +
)
2
(
3
)
(
1 +
)
=
=
8
(
1 +
)
.
70 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Выполним замену переменных под знаком интеграла:
(
2
+ 8
)
(
+ 1
)
3 2
=
=
2
+ 8
(
+ 1
)
(1
)
8
(
1 +
)
=
=
2
+ 8
+ 1
1
8
(
1 +
)
.
Упростим функцию под знаком интеграла:
2
+ 8
+ 1
1
8
(
1 +
)
=
=
10
+ 2
(
2
2)4
8
1 +
=
=
10
+ 2
1
.
Получаем окончательный ответ:
(
2
+ 8
)
(
+ 1)
3 2
=
10
+ 2
1
,
где
=
+ 3
1
.
1.6.2. Интеграл от дифференциального бинома
Определение. Дифференциальным биномом (биномиальным диффе-
ренциалом) называется выражение следующего вида:
(
+
)
, где , , , , .
Тео
рема. Интеграл от дифференциального бинома
(
+
)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]