Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 4. Числовые ряды 141
Признак Лейбница. Если последовательность чисел
{
}
моно-
тонно сходится к нулю, то ряд
(1)
сходится.
Поскольку ряд
(1)
можно представить в виде
(1)
, для него тоже можно применять признак Лейбница.
Пример 4.3.1. Исследовать сходимость ряда
(1)
, > 0.
Решение. Последовательность
{
1/
}
монотонно сходится к ну-
лю, следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.
Проверим абсолютную сходимость рассматриваемого ряда, т. е. схо-
димость ряда
. Применяя следствие 2 из II признака сравнения, по-
лучаем, что ряд
расходится при 1 и сходится при > 1.
Вывод: ряд
()
, > 0, сходится (условно) при (0; 1]
и сходится абсолютно при (1; +].
Пример 4.3.2. Исследовать сходимость ряда
(1
)
+ 1
+ 2
.
Решение. Обозначим
=
. Вычислим предел
lim
= lim
+ 1
+ 2
= lim
+
1 +
= 0.
Проверим, что
монотонно стремится к нулю. Для этого вычислим
производную функции
()
=
, 1.
()
=
+ 1
+ 2
=
+ 1
(
+ 2
)
=
142 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
+ 2 2(+ 1
)
2
(
+ 2
)
+ 1
=
2
(
+ 2
)
+ 1
.
Из полученного равенства следует, что
()
< 0 для всех
1
,
следовательно, функция (
) убыв
ает при
1 и {
}
является убы-
вающей. По признаку Лейбница исходный ряд сходится.
Пр
имер 4.3.3. Исследовать сходимость ряда
(1
)
ln
.
Решение. Обозначим
=
. Вычислим предел при +,
для этого несколько раз применим правило Лопиталя, получаем
lim
= lim
ln
=
=
= lim
3 ln
=
=
= lim
6 ln
=
= lim
6
= 0 .
Проверим, что
монотонно стремится к нулю. Для этого вычислим
производную функции (
)
=
, 1:
()
=
ln
=
ln
=
(
3 ln
)
ln
.
Из полученного равенства следует, что
()
< 0 для всех
>
,
следовательно, функция (
) у
бывает при
>
и
{
}
является убы-
вающей для >
. По признаку Лейбница исходный ряд сходится.
Пр
имер 4.3.4. Исследовать сходимость ряда
sin
+
.
Решение. Обозначим
= sin+ . С учетом формулы
Глава 4. Числовые ряды 143
sin =(1
)
sin
(
±
)
, ,
получаем
=
(1)
sin + =
=
(1)
sin + .
Умножим и разделим аргумент синуса на сопряженное выражение
+ + , имеем
=
(1)
sin
+ +
.
Аргумент синуса положителен и монотонно стремится к нулю при
+. Кроме того, для достаточно больших будет выполняться оценка
+ +
<
2
.
Так как функция sin при (0, /2
]
монотонно возрастает и
lim
sin = 0, то по признаку Лейбница ряд
сходится.
4.4. Числовые ряды с произвольными членами
В этом разделе мы будем исследовать сходимость рядов вида
.
Признак Дирихле. Пусть последовательность
{
}
монотонно
сходится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда
ограничена. Тогда ряд
сходится.
Признак Абеля. Пусть последовательность
{
}
монотонна и
ограничена, а ряд
сходится. Тогда ряд
сходится.
Пример 4.4.1. Исследовать сходимость ряда
144 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
(1)
(
)
.
Решение. Применим признак Дирихле. Обозначим
=
1
,
=
(1)
(
)
.
Последовательность
{
}
монотонно сходится к нулю. Проверим,
что последовательность частичных сумм ряда
ограничена.
Вычислим несколько первых значений
:
= 1; = 1;
= 1;
= 1;
= 1; = 1;
= 1;
= 1.
Полученные равенства позволяют предположить, что имеет место формула
=
1, = 4+ 1 = 4+ 2;
1, = 4+ 3 = 4+ 4;
.
(4.2)
Проверим равенство (4.2).
Если = 4+ 1,
, то
=
(1)
()(
)
=
(1)
()()
= 1.
Если = 4+ 2,
, то
=
(1)
()(
)
=
(1)
()()
= 1.
Если = 4+ 3,
, то
=
(1)
()(
)
=
(1)
()()
= 1.
Если = 4+ 4,
, то
=
(1)
()(
)
=
(1)
()()
= 1.
Равенство (4.2) доказано.
Обозначим
=
, тогда с учетом равенства (4.2) получаем
множество значений элементов последовательности
{
}
:
Глава 4. Числовые ряды 145
{
,
}={
1; 2; 0
}
.
Множество
{
,
}
конечно, следовательно, ограничено.
По признаку Дирихле ряд
()
(
)
сходится.
Пример 4.4.2. Исследовать сходимость ряда
+ 2
+ 3+ 1
cos
4
.
Решение. Применим признак Дирихле. Обозначим
=
+ 2
+ 3+ 1
,
= cos
4
.
Проверим, что последовательность
{
}
монотонно сходится к
нулю, для этого рассмотрим функцию
(
)
=
, 1, и вычислим
ее производную:
()
=
+ 2
+ 3+ 1
=
=
+ 3+ 1 (2+ 3)(+ 2
)
(
+ 3+ 1
)
=
=
+ 4+ 5
(
+ 3+ 1
)
=
=
(
+ 2
)
+ 1
(
+ 3+ 1
)
.
Т
ак как производная
()
< 0 для всех
1
, то функция
()
убывает и, следовательно, последовательность
{
}
убывает.
П
роверим, что последовательность частичных сумм ряда
ограничена. С учетом периодичности косинуса получаем:
=
2
2
;
= 0;
146 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2
2
;
= 1;
=
2
2
;
= 0;
=
2
2
;
= 1.
д
алее значения циклически повторяются:
=
при > 8.
Обозначим
=
, тогда с учетом полученных равенств нахо-
дим множество значений элементов последовательности
{
}
:
{
,
}
=
2
2
; 0;1; 1
2
2
.
Множество
{
,
}
конечно, следовательно, ограничено.
По признаку Дирихле ряд
cos
сходится.
Пример 4.4.3. Исследовать сходимость ряда
(1)
ln
(
1 +
)
1
.
Решение. Применим признак Абеля. Обозначим
=
1
,
=
(1)
ln
(
1 +
)
.
Последовательность
{
}
монотонно сходится к единице, так как
=
1
= 1 +
1
1
.
Ряд
сходится по признаку Лейбница, так как последователь-
ность
(
)
монотонно сходится к нулю.
По признаку Абеля ряд
()
(
)
сходится.
Пример 4.4.4. Исследовать сходимость ряда
Глава 4. Числовые ряды 147
1
ln
cos
+ 1
.
Решение. Преобразуем выражение cos
, для этого воспользуемся
формулой
cos =(1
)
cos
(
±
)
,
имеем
cos
+ 1
=
=
(1)
cos
+ 1
=
=
(1)
cos
+ 1
=
=
(1)
cos
+ 1
.
Теперь исходный ряд можно переписать в виде:
1
ln
cos
+ 1
=
(1)
ln
cos
+ 1
.
Обозначим
= cos
+ 1
,
=
(1)
ln
.
Последовательность
{
}
монотонно сходится к 1, так как
функция cos
м
онотонна на
; , а последовательность
моно-
тонно возрастая сходится к .
Ряд
сходится по признаку Лейбница, так как последователь-
ность
монотонно сходится к нулю.
По признаку Абеля ряд
cos
сходится.
Глава 5. Функции нескольких переменных
5.1. Понятие функции нескольких переменных
Пусть — непустое множество, , 2.
Определение. Функцией переменных называется отображение ,
действующее из в . При этом пишут:
= (
, , …,
)
или
= (), (
, , …,
)
.
Переменные
, ,…,
называются независимыми переменными.
Множество называется областью определения функции .
Например, для функции двух переменных
=
+
область определения =
, а для функции трех переменных
=
1 + ln +1
областью определения является множество
=
{
(
, , )
:
||
1, > 0,||1
}
.
5.2. Предел функции. Непрерывные функции
В этом и некоторых следующих разделах часть определений и формулировок теорем будут приведены для функции двух переменных. Все
эти определения и формулировки могут быть естественным образом пере-
несены на случай функции переменных при > 2.
Определение. Пусть > 0. Окрестностью
точки
(
,
)
называется внутренность круга радиуса с центром в точке
, т. е.
(
)
=
(
, )
:
(
)
+
(
)
<
.
Глава 5. Функции нескольких переменных 149
Определение. Пусть > 0. Выколотой окрестностью
точки
(
,
)
называется внутренность круга радиуса за исключением цен-
тра (точки
), т. е.
(
)
=
(
, )
: 0 <
(
)
+
(
)
<
.
Пусть непустое множество
является областью определения
функции .
Определение. Число называется пределом функции = (, )
при
, (или в точке (, )), если для любого > 0
найдется число > 0 такое, что для всех точек
(
) верно не-
равенство
|
(, )|< .
При этом пишут: lim
(, ) = .
Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для
функций многих переменных.
Замечание. Если предел lim
(, ) существует, то он не зависит от
пути, по которому точка (, ) подходит к точке (
,
).
Определение. Функция (, ) называется непрерывной в точке
(
,
), если существует конечный предел lim
(, ) и этот предел
равен значению (
,
).
Определение. Функция (, ) называется непрерывной в области,
если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пример 5.2.1. Найти предел
lim
4 + 3+ 3
2 +
.
Решение. Обозначим =+
, тогда
150 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
lim
4 + 3+ 3
2 +
=
= lim
4 + 3
2
= 2.
Пример 5.2.2. Доказать, что не существует предел
lim
+
+
.
Решение. Обозначим
(,
)
=
+
+
.
По
ложим =
,
тогда
lim
(, ) = lim
2
+
=
= lim
2
1 +
= 2.
Пусть теперь = , тогда
lim
(, ) = lim
+
= 0.
Мы получили различные значения предела функции при = и =
, следовательно, lim
(, ) не существует.
5.3. Частные производные
Пусть функция = (, , …, ), 2, определена в некоторой
окрестности точки (
, , …, )
.
Опр
еделение. Если существует конечный предел
lim
(+ , , …,
)
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]