Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 201
2
1
1= (1)
2
1
2, .
следовательно, общее решение имеет вид
(
1
)
= (2
)
, .
В результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе было записано выражение 2 3+
, которое может обращать-
ся в ноль, поэтому решениями дифференциального уравнения могут ока-
заться нули этого многочлена, т. е. функции = 1 и = 2.
Функция = 1 не является потерянным решением, так как входит в
общее решение
(
1
)
= (2
)
при = 0.
Рассмотрим функцию = 2. Подставим = 2 в дифференциальное
уравнение
(
2 3+
)
+(1 + )
= 0, получаем тождество:
(
2 3 2 + 2
)
+
(
1 + 2
)(2)
= 0.
Итак, получаем окончательный вид общего решения:
(
1
)
= (2
)
, ;
= 2.
6.5. Метод вариации произвольной постоянной
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого поряд-
ка:
+ ()= (
)
.
Процесс решения такого уравнения разобьём на два этапа.
Шаг 1. Обнуляем правую часть и решаем уравнение с разделяющи-
мися переменными
+ ()= 0,
получаем общее решение вида
= (, ), .
202 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Шаг 2. В общем решении = (, ) заменяем константу на неиз-
вестную функцию (), подставляем выражение
= , ()
в исходное уравнение
+ ()= () и находим функцию ().
Замечание. Некоторые дифференциальные уравнения становятся
линейными уравнениями первого порядка, если искать решение не в виде
функции () от независимой переменной , а виде функции () от неза-
висимой переменной .
Пример 6.5.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
+
(
+ 1)= 3
.
Решение. Разделим обе части уравнения на и перепишем уравне-
ние в следующем виде:
+
+ 1
= 3
.
Будем искать решение дифференциального уравнения в виде функ-
ции = ().
Шаг 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
+
+ 1
= 0.
Разделим переменные:
=
+ 1
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
= 1 +
1
.
Получаем
ln
||
= ln||+ , .
Глава 6. Дифференциальные уравнения 203
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
=
.
Шаг 2. Подставим функцию =
()
в дифференциальное урав-
нение
+
= 3
, получаем
()
+
+ 1
(
)
= 3
.
Вычисляя производную, находим
()
(
)
(
)
+
+ 1
(
)
= 3
,
следовательно,
()
= 3
,
()
= 3
.
Отсюда получаем
(
)
=
+ , .
П
одставляя выражение для
(
)
в
формулу =
()
, получаем
окончательный ответ:
=
+
, .
Пр
имер 6.5.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
2
)
= 1.
Реш
ение. Будем искать решение дифференциального уравнения в
виде функции
= ().
C
учетом формулы
=
1
204 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
получаем
(
2
)
1
= 1.
Перепишем уравнение в следующем виде:
+ = 2
.
Шаг 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
+ = 0.
Разделим переменные:
= .
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
= ,
получаем
ln
||
= + , .
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
=
.
Шаг 2. Подставим функцию = ()
в исходное дифференци-
альное уравнение
+ = 2
, получаем
()
()+ ()= 2
,
следовательно,
()
= 2
.
Отсюда находим
()=
+ , .
Подставляя выражение ()=
+ в формулу = ()
, по-
лучаем окончательный ответ:
=
+ , .
Глава 6. Дифференциальные уравнения 205
Пример 6.5.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
sin
+ ctg )
= 1.
Реш
ение. Будем искать решение в виде функции
= (). C
учетом
формулы
=
1
п
олучаем
(
sin
+ ctg
)
1
= 1.
П
ерепишем уравнение в следующем виде:
ctg = sin.
Ша
г 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
ctg = 0.
Разделим переменные:
= ctg .
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
=
cos
sin
,
получаем
ln
|
|
= ln|s
in |+ , .
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
() = s
in .
Ша
г 2. Подставим функцию
() =
()
s
in в исходное диффе-
ренциальное уравнение
ctg = sin, получаем
()
sin + ()cos ()sin ctg
= sin
,
следовательно,
206 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
()
= sin .
Отсюда находим
()= cos +
, .
Подставляя выражение для () в формулу = ()sin , получаем
окончательный ответ:
=(cos
)
s
in , .
6.6. Уравнение Бернулли
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следую-
щего вида:
+ (
)
=
()
,
{
0; 1}.
Такое уравнение называется уравнением Бернулли. Разделим обе части это-
го уравнения на
:
+
(
)
= (
)
.
Введем новую функцию:
=
1
,
тогда
=
(
1
)
=
1
.
Выполняя в уравнении
+
(
)
= (
)
п
редложенную замену, получаем
линейное дифференциальное уравнение первого порядка
1
+ (
)
=
()
,
к
оторое мы уже умеем решать методом вариации произвольной постоян-
ной.
З
амечание. Некоторые дифференциальные уравнения становятся
уравнениями Бернулли, если искать решение не в виде функции (
) о
т
Глава 6. Дифференциальные уравнения 207
независимой переменной , а виде функции () от независимой переменной .
Пр
имер 6.6.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
+ 2=
.
Решение. Разделим обе части уравнения на
:
+
2
=
.
Выполним замену:
=
1
=
=
,
получаем линейное уравнение первого порядка:
+ 2=
.
Шаг 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
+ 2= 0.
Разделим переменные:
= 2.
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
= 2 ,
получаем
ln
||
= 2+ , .
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
=
, .
Шаг 2. Подставим функцию =
()
в дифференциальное урав-
нение
+ 2=
, получаем
()
2()+ 2()
=
,
208 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
следовательно,
()
=
,
()
=
.
Отсюда получаем
(
)
=
+ , .
П
одставляя выражение для
(
)
в
формулу =
()
, с учетом
равенства = 1/ находим
1
= + , .
В результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе был записана функция , которая может обращаться в ноль, по-
этому решением дифференциального уравнения может оказаться функция
= 0. Подставим = 0 в дифференциальное уравнение
+ 2=
,
получаем тождество:
0
+ 2 0 = 0
.
Итак, получаем окончательный вид общего решения:
1
= + , ;
= 0.
Пр
имер 6.6.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
+ 1)(
+
)
= .
Решение. Разделим обе части равенства на
(
+ 1)
:
+ 1 =
1
+ 1
1
,
следовательно,
+
1
+ 1
1
= 1.
Выполним замену:
Глава 6. Дифференциальные уравнения 209
=
1
=
=
,
получаем линейное уравнение первого порядка:
+
+ 1
= 1.
Шаг 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
+
+ 1
= 0.
Разделим переменные:
=
+ 1
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
=
+ 1
,
получаем
ln
||
= ln
|
+ 1|+ , .
Возьмем экспоненту от обеих частей полученного равенства, после переобозначения константы находим общее решение:
= (+ 1), .
Ша
г 2. Подставим функцию =
()(
+ 1
)
в
дифференциальное
уравнение
+
= 1:
()(
+ 1)(
)
+
(
)
(
+ 1
)
+ 1
= 1,
сл
едовательно,
()(
+ 1)=
1,
()
=
1
+ 1
.
Отсюда получаем
(
)
= ln
|
+ 1|+
, .
210 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Подставляя выражение для () в формулу = ()(+ 1
)
, с уче-
том равенства = 1/ получаем
1
=(ln
|
+ 1|+ )(+ 1), .
В
результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе был записана функция , которая может обращаться в ноль, по-
этому решением дифференциального уравнения может оказаться функция
= 0. Подставим = 0 в уравнение
(
+ 1)(
+
)
= , получаем
тождество:
(
+ 1
)(
0
+ 0
)
= 0.
Итак, получаем окончательный вид общего решения:
1
=(ln
|
+ 1|+ )(+ 1), ;
= 0.
Пример 6.6.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
+ 2+
= 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде
+ 2=
.
Разделим обе части равенства на
:
+
2
1
=
.
Выполним замену:
=
1
=
2
=
2
,
получаем линейное уравнение первого порядка:
2
+
2
=
.
Шаг 1. Решим уравнение с разделяющимися переменными:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]