Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 101
=
sin
.
В
оспользуемся формулой интегрирования по частям:
=
sin
=
=
= sin
=
=
1
cos
=
1
cos
cos
=
=
1
cos
.
К последнему интегралу применим еще раз формулу интегрирования по
частям, снова выбирая в качестве функции экспоненту:
=
1
cos
=
=
= cos
=
=
1
sin
=
1
1
sin
+
sin
.
Мы получили линейное уравнение относительно интеграла :
=
1
.
Разрешая последнее уравнение относительно переменной , находим
=
+
.
Пример 2.2.5. Исследовать сходимость несобственного интеграла
102 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
.
Решение. Первообразной
(, ) функции
является следующая
функция:
(, ) =
1
, 1;
ln . = 1.
Для сходимости несобственного интеграла необходимо, чтобы суще-
ствовал предел lim
(, ).
При = 1 несобственный интеграл расходится, так как
lim
(, 1) = lim
ln = +.
При < 1 несобственный интеграл расходится, так как 1 > 0 и,
следовательно, верно соотношение
lim
(, ) = lim
1
= + , < 1.
При > 1 несобственный интеграл сходится, так как 1 < 0 и,
следовательно, верно соотношение
lim
(, ) = lim
1
= 0 , > 1.
Вывод. Несобственный интеграл
сходится при > 1 и расходится при 1.
2.3. Несобственные интегралы 2 рода
Определение. Пусть функция определена и неограничена на про-
межутке
(
, ] и для любого (0, ) интегрируема на отрезке
[
+ ,
]
(следовательно, она ограничена на
[
+ ,
]
). Если существует
предел
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 103
lim
()
,
то
этот предел называется несобственным интегралом 2 рода от функции
по отрезку [,
]
и обозначается
()
.
В
этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция
называется интегрируемой в несобственном смысле на отрезке
[
,
]
.
Теорема. Пусть функция непрерывна и неограничена на проме-
жутке
(
, ], — первообразная функции на промежутке (,
]
. Тогда
справедлива формула, являющаяся аналогом формулы Ньютона-Лейбница:
()
= ()lim
(+ )= ()
.
Замечание 1. По аналогии дается определение несобственного инте-
грала от неограниченной функции по промежутку
[
,
)
и по промежутку
(, ). Для таких интегралов также справедлив аналог формулы Ньютона-
Лейбница.
Замечание 2. Для несобственных интегралов 2 рода также справед-
лива формула интегрирования по частям, однако в последующих примерах
она не будет использоваться и поэтому здесь не приводится.
Пример 2.3.1. Вычислить несобственный интеграл
1
.
Решение. Воспользуемся аналогом формулы Ньютона-Лейбница:
1
= arcsin
|
=
2
2
= .
Пример 2.3.2. Вычислить несобственный интеграл
104 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
32 2
.
Решение. Выполним замену
= 32 2 = 2 =
1
2
,
получаем
32 2
=
1
2
=
1
2
.
Отсюда находим
32 2
=
5
8
/
= 10.
Пример 2.3.3. Вычислить несобственный интеграл
ln
.
Решение. Из равенства
ln =
с учетом аналога формулы Ньютона-Лейбница получаем
ln
=
1
ln
=
=
1
ln
ln
= 2
ln
= 2.
Пример 2.3.4. Вычислить несобственный интеграл
ln
ln ln
.
Решение. Из равенства
ln ln =
ln
с учетом аналога формулы Ньютона-Лейбница получаем
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 105
ln
ln ln
=
=
ln ln
ln ln
=
=
3
2
(
ln ln
)
/
=
3
2
.
Пример 2.3.5. Исследовать сходимость несобственного интеграла
, > 0.
Решение. Первообразной (, ) функции
является следующая
функция:
(, ) =
1
, 1;
ln . = 1.
Для сходимости несобственного интеграла необходимо, чтобы существовал предел lim
(, ).
При = 1 несобственный интеграл расходится, так как
lim
(, 1) = lim
ln = .
При
(
0,1
)
несобственный интеграл сходится, так как 1 > 0 и,
следовательно, верно соотношение
lim
(, ) = lim
1
= 0 ,
(
0,1).
При > 1 несобственный интеграл расходится, так как 1 < 0 и,
следовательно, верно соотношение
lim
(, ) = lim
1
= + , > 1.
Вывод. Несобственный интеграл
106 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
, > 0,
сходится при
(
0,1
)
и расходится при 1.
Глава 3. Приложения определенного интеграла
3.1. Площадь фигуры
3.1.1. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в
декартовых координатах
Сл
учай 1. Пусть функция
()
непрерывна на [; ] и
()
0 для
всех
[;
]
. Р
ассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную гра-
фиком функции = (
),
осью
,
а также вертикальными прямыми
=
и
= (рис. 1).
Р
ис. 1. Криволинейная трапеция (
()0)
Пло
щадь криволинейной трапеции определяется по формуле
= ()
.
С
лучай 2. Пусть функция
(
)
н
епрерывна на [; ] и
(
)
0
для
всех
[;
]
. Р
ассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную гра-
фиком функции = (
),
осью
,
а также вертикальными прямыми
=
и
= (ри
с. 2).
108 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
()0)
Пло
щадь криволинейной трапеции определяется по формуле
= ()
.
З
амечание. Если непрерывная на [; ] функция (
) м
еняет знак на
[; ], то прямыми, параллельными оси
,
график функции нужно раз-
бить на части, попадающие под случай 1 или случай 2.
Сл
учай 3. Пусть функции
()
и (
) н
епрерывны на отрезке [; ]
и
(
)
(
) д
ля всех
[;
]
. Р
ассмотрим площадь фигуры, ограни-
ченной графиками функций = (
), = (), и в
ертикальными прямы-
ми
= и = (ри
с. 3).
Р
ис. 3. Площадь между двумя графиками
Площадь этой фигуры определяется по формуле
= ((
)
(
)
)
.
Глава 3. Приложения определенного интеграла 109
Пример 3.1.1.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
=
2, = 0, = 1, = 3.
Решен
ие. Построим график параболы =
2 на [1; 3]
(рис. 4).
Ри
с. 4. График функции =
2
Из рисунка видно, что на
[
1; 0][2; 3] значения функции неотри-
цательны (случай 1), а на [0;2] значения функции неположительны (случай 2).
Раз
обьем график функции =
2 на три части вертикальными
прямыми
= 0 и = 2 и
вычислим требуемую площадь:
=
(
2
)
+
+ (2
)
+ (2
)
=
=
3
+
3
+
3
=
=
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4.
Пример 3.1.1.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
=
23, 3+ + 1 = 0.
110 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Построим графики параболы = 23 и прямой
3
+ + 1 = 0.
Фигура, ограниченная заданными линиями, изображена на
рис. 5.
Ри
с. 5. Площадь между параболой и прямой
Реш
ая систему уравнений
=
23,
3+ + 1 = 0,
на
ходим абсциссы точек пересечения графиков
= 2 и
= 1.
Из
рисунка видно, что требуемая площадь сверху ограничена прямой
= 3
1,
а снизу ограничена параболой
= 23. Вычислим
площадь
по
формуле
= (3
1)(
23)
=
= (
+ 2
)
=
=
3
2
+ 2
=
=
1
3
1
2
+ 2
8
3
2 4=
9
2
.
Пример 3.1.1.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
= ln
, = 0, = 0, = 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]