Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 91
Свойства определенного интеграла. Пусть функции , интегри-
руемы на отрезке , тогда для любых , , и , выполняются ра-
венства:
(()+ ()
)
= ()
+ ()
;
(
)
= 0;
(
)
= (
)
;
(
)
= (
)
+ (
)
.
Теорема о замене переменной для определенного интеграла.
Пусть функция непрерывна на отрезке [, ], функция непрерывно
дифференцируема на отрезке с концами и и выполняются соотноше-
ния ()= , ()= , тогда
()
= (())()
.
Теорема (формула интегрирования по частям для определенного
интеграла). Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на от-
резке
[
,
]
, тогда справедливо следующее равенство, называемое форму-
лой интегрирования по частям для определенного интеграла:
()()
= ()()
(
)
().
Пример 2.1.1. Вычислить интеграл
.
Решение. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
92 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
3
4
/
8
1
=
=
3
4
8
/
(1
)
/
=
3
4
(
16 1
)
=
45
4
.
Пример 2.1.2. Вычислить интеграл
1
/
/
.
Решение. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
1
/
/
= arcsin
1/2
1/2
=
= arcsin
1
2
arcsin
1
2
=
=
6
+
6
=
3
.
Пример 2.1.3. Вычислить интеграл
|1
|
.
Реш
ение. Выражение под знаком модуля обращается в ноль в точке
= 1
. Разобьем интеграл в сумму двух интегралов по отрезкам [0; 1],
[
1; 2] и в каждом из полученных интегралов уберем знак модуля:
|1
|
=
= |1
|
+ |1
|
=
= (1
)
+ (1
)
.
Т
еперь воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
|1
|
=
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 93
=
2
+
2
=
= 1
1
2
+ 2 2
1
2
+ 1= 1 .
Пример 2.1.4. Вычислить интеграл
, > 0.
Решение. Выполним замену переменных:
= s
in
= cos .
С учетом равенств sin 0 = 0, sin
= 1 получаем
=
=
sin
sin
cos =
= sin|cos
|
cos .
Так как на отрезке [0; /2] выполняется неравенство cos 0, то верно
равенство
|
cos |= cos
, следовательно,
1
=
=
sin
cos
=
=
4
sin2
.
Воспользуемся формулой понижения степени:
sin
=
1 cos 2
2
,
получаем
94 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
1
=
8
(
1 cos 4
)
=
=
8
sin 4
4
/
=
16
.
Пример 2.1.5. Вычислить интеграл
(
2
)
.
Решение. С учетом равенства =
(2
)
получаем
(
2
)
=
=
1
2
(2
)
(2
)
=
=
(
2
)
26
=
2
1
26
.
Пример 2.1.6. Вычислить интеграл
1 + 7
.
Решение. Вычислим сначала неопределенный интеграл
1 + 7
=
(
1 + 7
)/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
15, = 8, =
1
3
.
Так как
+ 1
=
15 + 1
8
= 2,
то выбираем вторую подстановку:
1 + 7= 56= 3 =
3
56
,
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 95
получаем
1 + 7
=
=
3
56
=
=
3
56
.
С учетом равенства = (1)/7 находим
1 + 3
=
3
56
1
7
=
=
3
392
(
)
=
3
392
7
4
+ .
Возвращаясь к переменной и применяя равенство =1 + 7
, получа-
ем:
1 + 3
=
=
3
392
(
1 + 7
)
7
(
1 + 7
)
4
+ .
С учетом полученной формулы вычислим определенный интеграл:
1 + 3
=
=
3
392
(
1 + 7
)
7
(
1 + 7
)
4
=
=
3
392
128
7
4
1
7
+
1
4
=
1209
10976
.
Пример 2.1.7. Вычислить интеграл
2
+ 2+ 2
.
96 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Под знаком интеграла стоит простая рациональная дробь,
поэтому используем методы ее интегрирования, описанные в п. 1.4.3:
2
+ 2+ 2
=
=
(
2
+ 2
)
+ 2+ 2
2
+ 2+ 2
=
=
(
+ 2+ 2)
+ 2+ 2
2
1
(
+ 1
)
+ 1
=
=(ln
(
+ 2+ 2)2 arctg(+ 1
))
=
= ln 5 2 arctg 2 .
Пр
имер 2.1.8. Вычислить интеграл
(
ln
)
.
Реш
ение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям для
определенного интеграла:
ln
=
= ln
=
=
2 ln
=
3
=
3
ln
/
2
3
ln
.
Обозначим
=
ln
,
т
огда
ln
=
3
2
3
.
К интегралу также применим формулу интегрирования по частям:
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 97
= ln
=
= ln
=
=
=
3
=
3
ln
1
3
=
=
3
1
3
3
=
=
3
9
+
1
9
=
2
9
+
1
9
.
Получаем окончательный ответ:
ln
=
=
3
2
3
2
9
+
1
9
=
=
5
2
27
.
2.2. Несобственные интегралы 1 рода
Определение. Пусть функция определена на промежутке [, +
)
и
при любом > интегрируема на отрезке [,
]
. Если существует предел
li
m
()
,
т
о он называется несобственным интегралом 1 рода от функции по про-
межутку
[
, +
)
и обозначается
()
.
98 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция
называется интегрируемой в несобственном смысле на промежутке
[
, +
)
.
Теорема. Пусть функция непрерывна на промежутке [, +), —
первообразная функции на [, +
)
и существует конечный lim
(),
тогда справедлива формула (аналог формулы Ньютона-Лейбница):
()
= lim
()()= ()
+
.
Теорема (формула интегрирования по частям для несобственно-
го интеграла 1 рода). Пусть функции и непрерывно дифферен-
цируемы на промежутке
[
, +
)
и существует конечный предел
lim
()(). Тогда несобственные интегралы 1 рода
()()
и
(
)
() либо одновременно сходятся, либо одновременно расхо-
дятся, и в случае их сходимости справедливо следующее равенство, называемое формулой интегрирования по частям для несобственного интегра-
ла 1 рода:
()()
= lim
()() ()() (
)
().
Разность предельного значения и значения в точке обычно записы-
вается в краткой форме (которая использовалась выше в аналоге формулы
Ньютона-Лейбница):
lim
()() ()() = ()()
+
.
Замечание. По аналогии дается определение несобственных инте-
гралов по промежуткам
(
, ], и (, +
)
. Для таких интегралов
также справедливы аналоги формулы Ньютона-Лейбница и интегрирования по частям.
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы 99
Пример 2.2.1. Вычислить несобственный интеграл
1 +
.
Решение. С учетом равенств
lim
arctg =
2
,
lim
arctg =
2
получаем
1 +
= arctg
|
=
2
2
= .
Пример 2.2.2. Вычислить несобственный интеграл
+ 2
.
Решение. Разлагая правильную рациональную функцию в разность
простых дробей, находим:
+ 2
=
=
1
3
1
1
1
+ 2
=
=
1
3
(
ln
|
1|ln|+ 2
|
)
=
1
3
ln
1
+ 2
=
=
1
3
0 ln
1
4
= ln
4.
Пример 2.2.3. Вычислить несобственный интеграл
ln
.
Реш
ение. Выполним под знаком интеграла замену
100 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= ln = = .
Имеем
ln
= ()
=
=
.
Обозначим
=
,
тогда
ln
= .
Вычислим отдельно интеграл . С учетом формулы интегрирования
по частям для несобственного интеграла получаем
=
=
=
=
=
=
=
|
+
=
|
= 1 .
Получаем окончательный ответ:
ln
= 1.
Пример 2.2.4. При > 0, 0 вычислить несобственный интеграл
sin
.
Решение. Обозначим рассматриваемый интеграл через :
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]