Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 231
Определение. Многочлен
()=
+
+ +
+
называется характеристическим многочленом этого дифференциального
уравнения, а уравнение (
)
= 0 его характеристическим уравнением.
Тео
рема. Пусть
, , …,
— все попарно различные корни характеристического многочлена линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами, имеющие кратность
, , …,
соответственно. Тогда функции
,
,
,
,
,
,
… … …
…
,
…
,
… …
,
,
,
…
обра
зуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
З
амечание. Если характеристический многочлен имеет простой
комплексный корень +
, 0
, то простым корнем этого многочлена
также является число
. Этим дв
ум простым комплексно-
сопряженным корням соответствуют решения
()
= cos + sin ,
()
= cos sin .
О
тсюда получаем
cos =
()
+
()
2
,
sin =
()()
2
.
Из последних двух формул следует, что функции cos и sin
являются линейными комбинациями решений однородного дифференциального уравнения, а значит, сами являются решениями этого уравнения.
232 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Будем заменять в фундаментальной системе решений комплексные функ-
ции
()
и
()
вещественными функциями cos и sin .
Аналогично, если характеристический многочлен имеет комплексно-
сопряженные корни ± , 0, кратности , то часть фундаментальной
системы решений, соответствующая этим корням, т. е. набор функций
(
)
,
(
)
,
(
)
, … ,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
, … ,
(
)
,
может быть заменена следующим набором функций:
cos , cos , cos ,
… ,
cos ,
sin , sin , sin ,
… ,
sin .
Пример 6.8.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
+ 5+ 6= 0.
Решение. Характеристический многочлен уравнения имеет вид
()=
+ 5+ 6 =(+ 2)(+ 3
)
.
Характеристический многочлен () имеет два вещественных корня =
2 и = 3, поэтому фундаментальную систему решений образуют
функции
и
. Общее решение уравнения имеет вид
()=
+
,
где
, .
Пример 6.8.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
+ 6+ 12+ 8= 0.
Решение. Характеристический многочлен уравнения имеет вид
()=
+ 6+ 12+ 8 =(+ 2
)
.
Таким образом, характеристический многочлен имеет единственный ко-
рень = 2 кратности 3, поэтому фундаментальную систему решений об-
разуют функции
,
,
. Общее решение дифференциального
уравнения имеет вид
Глава 6. Дифференциальные уравнения 233
()=
+
+
,
где
, , .
Пример 6.8.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
3+ 9+ 13= 0.
Решение. Характеристический многочлен уравнения имеет вид
()=
3+ 9+ 13 =
=
(
+ 1)(
4+ 13
)
.
Характеристический многочлен имеет простые корни 1, 2 + 3, 2 3,
поэтому фундаментальную систему решений образуют функции
,
cos 3, sin 3. Общее решение дифференциального уравнения име-
ет вид
()=
+ cos 3+ sin 3,
где
, , .
Пример 6.8.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
()
+ 2+ = 0.
Решение. Характеристический многочлен уравнения имеет вид
()=
+ 2
+ 1 =
(
+ 1
)
.
Характеристический многочлен имеет комплексно-сопряженные корни
и кратности 2, поэтому фундаментальную систему решений образуют
функции
cos , cos , sin , sin . Общее решение дифференциального
уравнения имеет вид
()=
cos + cos + sin + sin ,
где
, , , .
6.9. Метод вариации произвольных постоянных
для линейных неоднородных уравнений
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
порядка :
234 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
()
+
()
(
)
+
()
+
()
= (
)
,
где функции
(), (),…, (), () непрерывны на промежутке .
Пусть функции
, ,…
образуют фундаментальную систему ре-
шений соответствующего однородного уравнения
()
+
()
(
)
+
()
+
()
= 0,
тогда общее решение этого однородного уравнения имеет вид
()=
()
+
()
+ +
()
,
где
, , …, .
Общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде
()=
()
()
+
()
()
+ +
()
()
,
где
()
,
()
, …,
() — непрерывно дифференцируемые на функ-
ции, которые определяются из системы линейных дифференциальных
уравнений
()
()
+
()
()
+ +
()
()
= 0,
()
()
+
()
()
+ +
()
()
= 0,
()
()
+
()
()
+ +
()
()
= 0,
… …… … … … … … … …… … … … … …… … … … … … …
()
(
)
()
+
()
(
)
()
+ +
()
(
)
()
= 0,
()
(
)
()
+
()
(
)
()
+ +
()
(
)
()
= (
)
.
Данный метод нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных.
В последующих примерах этот метод применяется к линейным неоднородным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Пример 6.9.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
+ 4= ctg 2.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид
()=
+ 4;
Глава 6. Дифференциальные уравнения 235
у него два простых комплексно-сопряженных корня 2 и 2. Общее ре-
шение однородного уравнения имеет вид
()=
cos 2+ sin 2,
где
, .
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
()=
()
cos 2+
()
sin 2,
где
()
,
()
— непрерывно дифференцируемые на функции, которые
найдем из системы линейных дифференциальных уравнений
()
cos 2+
()
sin 2= 0,
()(
cos 2
)
+
()(
sin 2
)
= ctg 2,
т. е.
()
cos 2+
()
sin 2= 0,
2
()
sin 2+ 2
()
cos 2= ctg 2.
Умножим первое уравнение на 2sin 2, второе уравнение — на cos 2 и
сложим эти два уравнения, имеем
2
()
=
cos
2
sin 2
,
следовательно,
()
=
1
2
cos
2
sin 2
=
=
1
2
1 sin2
sin 2
=
=
1
2
1
sin 2
sin 2=
=
1
4
sin cos
+
1
4
cos 2=
=
1
4
tg
tg
+
1
4
cos 2=
=
1
4
ln
|
tg
|
+
1
4
cos 2+
,
.
236 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Из первого уравнения системы получаем
()
=
()
tg 2=
=
cos
2
2 sin2
tg 2=
=
1
2
cos 2,
следовательно,
()
=
1
2
cos 2=
=
1
4
sin 2+
,
.
Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
(
)
=
1
4
sin 2+ cos 2+
+
1
4
ln
|
tg
|
+
1
4
cos 2+ sin 2,
где
, .
Пример 6.9.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
4+ 5=
cos
.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид
()=
4+ 5;
у него два простых комплексно-сопряженных корня 2 + и 2 . Общее
решение однородного уравнения имеет вид
()=
cos + sin ,
где
, .
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
Глава 6. Дифференциальные уравнения 237
()=
()
cos +
()
sin ,
где
()
,
()
— непрерывно дифференцируемые на функции, которые
найдем из системы линейных дифференциальных уравнений
()
cos +
()
sin = 0,
()(
cos
)
+
()(
sin
)
=
cos
.
Вычислим производные и разделим оба уравнения на
:
()
cos +
()
sin = 0,
()(
2 cossin )+
()(
2 sin+ cos
)
=
1
cos
.
Из второго уравнения вычтем удвоенное первое уравнение, получим
()
cos +
()
sin = 0,
()
sin +
()
cos =
1
cos
.
Умножим первое уравнение на sin , второе уравнение — на cos и сло-
жим эти два уравнения; имеем
()
= 1,
следовательно,
()
= = +
,
.
Из первого уравнения системы получаем
()
=
()
tg = tg ,
следовательно,
()
= tg =
= ln
|
cos |+
,
.
Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
(
)=(
ln
|
cos |+
)
cos +
238 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+
(
+
)
sin ,
где
, .
Пример 6.9.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
= 4+
1
.
Решение. Характеристический многочлен соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид
()=
1;
у него два простых корня 1 и 1. Общее решение однородного уравнения
имеет вид
()=
+
,
где
, .
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
()=
()
+
()
,
где
()
,
()
— непрерывно дифференцируемые на функции, которые
найдем из системы линейных дифференциальных уравнений
()
+
()
= 0,
()
()
= 4
+
1
.
Сложим эти два уравнения, имеем
2
()
= 4
+
1
,
следовательно,
()
= 2
+
1
2
.
Проинтегрируем два раза по частям второй интеграл:
=
Глава 6. Дифференциальные уравнения 239
=
=
=
=
2
=
2
2
=
=
=
=
= 2
=
2
2 2+ 2 =
=
2
44 .
Обозначим
= ,
тогда
()
= 2+
1
2
2
44=
=
2+
,
.
Из первого уравнения системы получаем
()
=
()
,
следовательно,
()
= 2
1
2
.
Проинтегрируем два раза по частям второй интеграл:
=
240 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
=
=
=
2
=
2
+ 2
=
=
=
=
= 2
=
2
+ 2 22 =
=
2
+ 4
4 .
Обозначим
= ,
тогда
()
= 2
1
2
2
+ 4
4=
=
2+
,
.
Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
(
)
=
2+
+
+
2+
,
где
, .
После приведения подобных получаем окончательный ответ:
()=
+ 4, , .
Пример 6.9.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]