Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 51
=
2+
2
+
2+ 1
,
=
+
2+ 1
.
Вычислим первый интеграл, имеем
=
2+
2
+
2+ 1
=
=
+
2+ 1
+
2+ 1
=
=
+
2+ 1
+
2+ 1
=
= ln
+
2+ 1+ .
Вычислим второй интеграл, для этого выделим в знаменателе пол-
ный квадрат:
=
+
2+ 1
=
+
+
.
Подберем такую замену, чтобы выполнялось равенство
+
2
2
=
1
2
,
имеем
=
2
+
2
2
=2+ 1
=
2
=
1
2
,
тогда
=
+
=
2
+ 1
=
52 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2 arctg+ =
=2
arctg2+ 1+ .
Отсюда получаем
=
1
2
+
2
2
=
=
1
2
ln
+
2+ 1+ arctg2+ 1+ .
Аналогично вычисляем интеграл
:
=
1
2
ln2+ 1arctg21+ .
Теперь вернемся к исходному интегралу:
+ 1
=
1
22
+
1
22
=
=
1
22
1
2
ln2+ 1arctg21+
+
1
22
1
2
ln
+
2+ 1+ arctg2+ 1+ .
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем ответ:
+ 1
=
1
42
ln
+
2+ 1
2+ 1
+
+
arctg21+ arctg2+ 1
22
+ .
Пример 1.4.4.8. Вычислить интеграл
+ 1
.
Решение. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная
функция. Разложим многочлен
+ 1 в произведение неприводимых мно-
гочленов:
+ 1 =
(
+ 1)(+ 1
)
.
Глава 1. Неопределенные интегралы 53
Разложим правильную рациональную функцию под знаком интеграла в сумму простых дробей и приведем выражение в правой части к общему знаменателю:
1
(
+ 1)(
+ 1
)
=
+ 1
+
+
+ 1
=
=
(
+ 1)+ (+ )(+ 1
)
(
+ 1)(
+ 1
)
.
Должно выполняться следующее равенство:
1 = (
+ 1)+ (+ )(+ 1
)
.
О
тсюда получаем систему для определения коэффициентов:
+ = 0;
+ + = 0;
+ = 1;
=
1
3
;
=
1
3
;
=
2
3
.
Получаем
1
+ 1
=
1
3
1
+ 1
1
3
2
+ 1
.
Переходим к вычислению интеграла:
+ 1
=
1
3
+ 1
1
3
2
+ 1
=
=
1
3
ln
|
+ 1|
1
3
,
где
=
2
+ 1
.
Вычислим последний интеграл по аналогии с предыдущим примером, для этого выделим в числителе производную знаменателя и представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
54 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2
+ 1
=
=
(
21)
+ 1
=
=
1
2
(
21)
+ 1
3
2
+ 1
=
1
2
(
+ 1)
+ 1
3
2
+
=
=
1
2
ln
(
+ + 1
)
+3 arctg
21
3
+ .
Вернемся к исходному интегралу, запишем окончательный ответ:
1
+ 1
=
1
3
ln
|
+ 1|
1
6
ln
(
+ + 1
)
+
1
3
arctg
21
3
+ .
Пример 1.4.4.9. Вычислить интеграл
(
1
)
.
Решение. Разложим правильную рациональную функцию под знаком интеграла в сумму простых дробей и приведем выражение в правой
части к общему знаменателю:
(
1
)
=
1
+
(
1
)
+
(
1
)
=
=
(1
)
+ (1)+
(
1
)
.
Должно выполняться следующее равенство:
= (
2+ 1)+ (1)+ .
Отсюда получаем систему для определения коэффициентов:
Глава 1. Неопределенные интегралы 55
= 0;
2+ = 1;
+ = 0;
= 0;
= 1;
= 1.
Получаем
(
1
)
=
1
(
1
)
+
1
(
1
)
.
Переходим к вычислению интеграла:
(
1
)
=
=
(
1
)
+
(
1
)
=
=
1
1
1
2
(
1
)
+ .
Пример 1.4.4.10. Вычислить интеграл
(2
+ 3)
(
+ 2+ 2
)
.
Решение. В знаменателе имеем неприводимый квадратичный много-
член
+ + 2, поэтому дальнейшее разложение знаменателя на множи-
тели невозможно. Выделим в числителе производную знаменателя и представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
(
2
+ 3
)
(
+ 2+ 2
)
=
=
(
2
+ 2)+ 1
(
+ 2+ 2
)
=
=
(
+ 2+ 2
)
(
+ 2+ 2
)
+
(
+ 2+ 2
)
=
=
1
2
1
(
+ 2+ 2
)
+
(
+ 2+ 2
)
.
Обозначим через следующий интеграл:
56 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
(
+ 2+ 2
)
.
Вычислим этот интеграл, для этого выделим в знаменателе полный квадрат:
=
(
+ 1
)
((
+ 1
)
+ 1
)
.
Выполним замену = + 1, получим
=
(
+ 1
)
.
Обозначим
=
(
+ 1
)
.
При = 1 имеем
=
+ 1
= arctg + .
Для того чтобы вычислить интеграл при 2, воспользуемся
формулой редукции, полученной ранее в п. 1.4.3 (случай 4):
=
1
2
(
1
)
(
+ 1
)
2
3
2
(
1
)
.
Используя формулу редукции, получаем
=
1
2
+ 1
1
2
+ =
=
1
2
+ 1
1
2
arctg + ,
тогда
=
1
4
(
+ 1
)
3
4
=
=
1
4
(
+ 1
)
3
4
1
2
+ 1
1
2
arctg + =
Глава 1. Неопределенные интегралы 57
=
1
4
(
+ 1
)
3
8
+ 1
+
3
8
arctg + .
О
тсюда, с учетом равенства =
+ 1
, находим
:
=
=
1
4
+ 1
(
(
+ 1
)
+ 1
)
3
8
+ 1
(
+ 1
)
+ 1
+
3
8
arctg(+ 1)+ .
Вернемся к исходному интегралу:
(
2
+ 3
)
(
+ 2+ 2
)
=
1
2
(
+ 2+ 2
)
+ =
=
1
2
(
+ 2+ 2
)
+
1
4
+ 1
(
+ 2+ 2
)
3
8
+ 1
+ 2+ 2
+
3
8
arctg(+ 1)+ .
Приводя подобные, получаем окончательный ответ:
(
2
+ 3
)
(
+ 2+ 2
)
=
=
1
4
(
+ 2+ 2
)
3
8
+ 1
+ 2+ 2
+
3
8
arctg(+ 1)+ .
1.5. Рациональные функции нескольких переменных
Мы будем рассматривать здесь функции двух и более переменных.
Определение. Одночленом от двух переменных , называется
функция вида
, где , , .
Определение. Многочленом (, ) от двух переменных ,
называется конечная сумма одночленов.
Как и в случае многочленов от одной переменной, многочлен (, )
тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда после приведения
подобных все его коэффициенты оказываются равными нулю.
58 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Определение. Рациональной функцией (, ) двух переменных
, называется функция
(,
)
=
(,
)
(,
)
,
где (, ) и (, ) — произвольные многочлены, причем (, ) 0.
Аналогично вводятся многочлены и рациональные функции от трех
и большего числа переменных.
1.6. Интегрирование иррациональных функций
В этом разделе мы будем рассматривать интегралы от иррациональных функций, содержащих корни или рациональные степени переменных
и многочленов.
Выше мы уже научились интегрировать рациональную функцию. Во
всех зданиях этого раздела наша целью будет приведение рассматриваемого интеграла к интегралу от рациональной функции.
1.6.1. Подстановки Эйлера
Пусть (, ) — рациональная функция двух переменных , .
Теорема. Интеграл вида
,+ +
сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены переменной в следующих случаях:
1) если > 0, то + + = ±
+ ;
2) если > 0, то + + = ±;
3) если трехчлен + + имеет корни ,
(возможно, един-
ственный двукратный корень), то
(
)(
)
= (
)
.
Перечисленные в теореме варианты замены переменной называются
подстановками Эйлера.
Глава 1. Неопределенные интегралы 59
Замечание 1. Знак «±» означает, что для замены можно выбрать лю-
бой знак (плюс или минус). Например, в первом случае (при > 0) можно
выполнить любую из замен
+ + = +
или
+ + = + .
Замечание 2. Применение одной подстановки Эйлера не исключает
возможность применения другой. Например, интеграл
(,3+ 2)
можно привести к интегралу от рациональной функции, используя любую
из трех подстановок Эйлера.
Пример 1.6.1.1. Привести интеграл
3+ 2
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Так как под корнем коэффициент при
и свободный член
положительны, и, кроме того, многочлен имеет целые корни, то можем использовать любую из трех подстановок Эйлера. Рассмотрим все три варианта.
Способ 1. Используем первую подстановку Эйлера:
3+ 2 = + .
Знак «плюс» выбран, так как в этом случае знаменатель подынтегральной
функции после выполнения замены будет иметь более простой вид:
3+ 2 = .
Для того чтобы вычислить дифференциал , возведем в квадрат обе
части равенства
3+ 2 = + , получим
60 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
3+ 2 = + 2+
.
Вы
чтем из обеих частей последнего равенства
:
3
+ 2 = 2
+
.
В
ыразим
ч
ерез :
=
2
2+ 3
.
Теперь вычислим дифференциал :
=
2
2+ 3
=
=
2
2+ 3
=
=
2(2+ 3)2(2
)
(
2+ 3
)
=
=
2
64
(
2+ 3
)
.
Выполним замену переменных под знаком интеграла:
3+ 2
=
2
64
(2+ 3
)
,
где
=
3+ 2 .
Способ 2. Используем вторую подстановку Эйлера:
3+ 2 = +
2.
В данном случае знак «» выбран произвольно, так как выбор знака
«плюс» или «минус» не повлияет на сложность полученной после выполнения замены под знаком интеграла рациональной функции.
Для того чтобы выразить дифференциал , возведем в квадрат обе
части равенства
3+ 2 = +
2, получим
3+ 2 =
+ 2
2
+ 2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]