Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 5. Функции нескольких переменных 171
= 2+ 2
=
= 2(
+
)
.
Если
= 1/2 и , не равны одновременно нулю, то < 0,
следовательно,
(
1; 3) — точка условного максимума,
=
(
1,3)= 12.
Если
= 1/2 и , не равны одновременно нулю, то > 0,
следовательно,
(
1; 3
)
— точка условного минимума,
= (1, 3)= 8.
Пример 5.5.4.2. Найти условный экстремум функции
(, )= 8 (+ 2
)
(4
)
при условии + 3= 0.
Решение. Составим функцию Лагранжа:
(, ; )= 8 (+ 2
)
(4
)
+ (+ 3
)
.
Определим стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений
= 2(+ 2) + = 0,
= 2(4) + 3= 0,
= + 3= 0.
Решая систему, получаем единственную стационарную точку:
(3; 1)
= 2.
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа:
= 22
=
= 2
(
+
)
.
Если , не равны одновременно нулю, то
< 0, следователь-
но,
(
3; 1
)
— точка условного максимума,
= (3,1)= 2.
Пример 5.5.4.3. Найти условный экстремум функции
(, , )= 2
+ 3+ 4
172 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
при условии + + = 13.
Решение. Уравнение связи имеет вид
+ + 13 = 0.
Составим функцию Лагранжа:
(, ; )= 2
+ 3+ 4+ (+ + 13
)
.
Определим стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений
= 4+ = 0,
= 6+ = 0,
= 8+ = 0,
= + + 13 = 0.
Решая систему, получаем единственную стационарную точку:
(
6; 4;3
)
= 24.
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа:
= 4+ 6+ 8
.
Если , , не равны одновременно нулю, то
> 0, следова-
тельно,
(
6; 4;3) — точка условного минимума,
=
(
6; 4;3)= 156.
Пример 5.5.4.4. Найти условный экстремум функции
(, )= 54
при условии
8
+
2
= 1, > 0, > 0.
Решение. Уравнение связи имеет вид
8
+
2
1 = 0.
Составим функцию Лагранжа:
(, ; )= 54 +
8
+
2
1.
Определим стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений
Глава 5. Функции нескольких переменных 173
= 5+
4
= 0,
= 5+ = 0,
=
8
+
2
1 = 0.
Выразим и через из первых двух уравнений системы:
=
20
,
=
5
,
следовательно,
1
100
= 0,
1
100
= 0 .
С учетом уравнения связи заключаем, что и не могут быть равны
нулю одновременно, следовательно, получаем = ±10,
=
2. Подста-
вим выражение
=
2 в третье уравнение системы:
2
+
2
= 1,
с учетом ограничения > 0 находим = 2, тогда = 1 при = 10.
Итак, мы получили единственную стационарную точку
(
2; 1) при
= 10.
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа:
=
4
+
=
=
1
4
+ .
При = 10 и , , не равных одновременно нулю, верно неравенство
< 0, следовательно,
(
2; 1) — точка условного максимума,
= 6.
174 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Пример 5.5.4.5. Найти условный экстремум функции
(, , )= +
при условиях
+
= 2,
+ = 2,
> 0, > 0, > 0.
Решение. Составим функцию Лагранжа
(, , ;
,
)
= + +
(
+ 2)+
(
+ 2
)
.
Определим стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений
= + 2= 0,
= + + 2+
= 0,
= +
= 0,
= + 2 = 0,
= + 2 = 0,
> 0, > 0, > 0.
Решая систему, находим единственную стационарную точку
(
1; 1;1
)
при
= 1/2, = 1.
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа:
= 2+ 2+ 2+ 2.
Из уравнений связи находим соотношения между , , :
2+ 2= 0,
+ = 0,
следовательно,
=
,
= .
Подставим полученные выражения в
; учитывая равенство
=
1/2, получаем
= 2+ 2+ 2+ 2=
Глава 5. Функции нескольких переменных 175
=
1 +(1
)
2
2
=
=
2
2
=
=
+ 1+ 1
.
При 0 верно неравенство
< 0, следовательно,
(
1; 1;1) —
точка условного максимума,
= 2.
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальным уравнением на промежутке
называется равенство, содержащее независимую переменную , неизвестную функцию () и ее производные
()
, (),…,
()
():
, , , …,
()
= 0,
(6.1)
где — вещественная функция + 2 вещественных аргументов.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (6.1), назы-
вается порядком этого уравнения.
Решение уравнения (6.1) будем искать в классе
() функций, раз
непрерывно дифференцируемых на промежутке .
Определение. Функция ()
(), обращающая дифференциаль-
ное уравнение (6.1) в тождество, называется решением уравнения (6.1).
Решение может быть получено также в неявном виде (,
)
= 0.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения
называется совокупность всех его решений. Каждое отдельное решение
называется частным решением.
Будем искать решения для частного случая дифференциальных
уравнений первого порядка (, ,
)
= 0, которые можно свести к виду:
= (,
)
(6.2)
или
(, )+ (, )= 0,
(6.3)
где функции (, ), (, ), (, ) непрерывны в рассматриваемой области изменения переменных и .
Глава 6. Дифференциальные уравнения 177
Определение. Решением уравнения (6.3) называется функция
= () или = (), обращающая дифференциальное уравнение (6.3) в
тождество.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением порядка
на промежутке называется уравнение вида:
()
()
+
()
(
)
()
+
()
(
)
()
+ +
+
()
()
+
()
() = (
)
,
где функции
(), = 0,1, … ,1, и () непрерывны на промежутке .
6.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называ-
ется дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно свести
к виду
= ()(), где и — непрерывные функции в рассматривае-
мой области изменения переменных и .
Для того чтобы решить дифференциальное уравнение с разделяю-
щимися переменными, необходимо использовать равенство
= / и
преобразовать уравнение
= ()(
)
к следующему виду
(
)
= ().
Для того чтобы полученное после преобразований и исходное урав-
нение были эквивалентны друг другу, следует проверять, что функция
() не обращается в ноль на интервале интегрирования. Если это условие
не выполняется, то имеется вероятность, что будет потеряна часть решений. В этом случае возможные потерянные решения находятся среди ре-
шений уравнения (
)
= 0.
Общее решение последнего уравнения будет иметь вид
178 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
(
)
= (
)
.
К общему решению необходимо добавить потерянные решения, если они
есть.
Пример 6.1.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
=
ln
.
Решение. Разделим переменные:
=
ln
=
ln
.
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
= ln
,
следовательно,
=
1
2
ln
+ , .
Получили общее решение
=
ln
+ , . Потерянных реше-
ний в данном случае нет.
Пример 6.1.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
= 3(
+ 1).
Решение. Разделим переменные:
= 3
(
+ 1),
следовательно,
+ 1
= 3.
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
+ 1
= 3,
Глава 6. Дифференциальные уравнения 179
отсюда находим
arctg =
+ , .
Получили общее решение arctg =
+ , , которое может
быть записано в виде явно заданной функции: = tg
(
+ ), . По-
терянных решений в данном случае нет, так как уравнение
+ 1 = 0 не
имеет решений.
Пример 6.1.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
= sin .
Решение. Разделим переменные:
= sin ,
следовательно,
s
in
= .
Теперь проинтегрируем полученное уравнение:
s
in
= ,
отсюда находим
1
2
ln
cos 1
cos + 1
= + , .
Получили общее решение дифференциального уравнения в виде не-
явной функции
ln
= + , .
В результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе была написана функция sin , которая может обращаться в ноль,
поэтому могли быть потеряны решения дифференциального уравнения,
которые находятся среди решений уравнения sin = 0. Рассмотрим множество функций
() = , , обращающих уравнение sin = 0 в
тождество. Подставляя функции
() в дифференциальное уравнение
180 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= sin , убеждаемся, что эти функции являются его решениями; дей-
ствительно,
(
)
=
sin
(
)
, .
Заметим, что потерянные решения = не могут быть получены
из решения
ln
= + ни при каком значении константы .
Итак, получен окончательный вид общего решения исходного дифференциального уравнения:
1
2
ln
cos 1
cos
+ 1
= + , ;
= , .
Пример 6.1.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
1)= .
Реш
ение. Разделим переменные:
=
1
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
=
1
,
находим
ln
||
=
1
2
ln
1
+ 1
+ , .
Получили общее решение дифференциального уравнения в виде не-
явной функции ln
||
=
ln
+ , . Найдем выражение для функ-
ции в явном виде:
||
=
1
+ 1
.
Воспользуемся равенством
||
= sign , тогда
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]