Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 71
сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены переменной в следующих случаях:
1) если — целое, то =
, где — общий знаменатель дробей и ;
2) если
— целое, то + = , где — знаменатель дроби ;
3) если
+ — целое, то
+ = , где — знаменатель дроби .
Пример 1.6.2.1. Привести интеграл
1 +
к
интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
1 +
=
/
1 +
/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
1
2
, =
1
3
, = 2.
Так как = 2 — целое число, то выбираем первую подстановку:
=
= 6.
Теперь выполняем замену:
1 +
=
(
1 +
)
6=
= 6
(
1 +
)
,
где =
.
Пример 1.6.2.2. Привести интеграл
1 +
к интегралу от рациональной функции.
72 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
1 +
= 1 +
/
/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
1, =
2
3
, =
1
2
.
Так как
+ 1
=
1 + 1
2/3
= 3,
то выбираем вторую подстановку:
1 +
/
=
2
3
/
= 2 = 3
/
.
Теперь выполним замену:
1 +
=
3
/
=
= 3
/
.
С учетом равенства
/
= 1 получаем
1 +
= 3 (1
)
,
где
=
1 +
.
Пример 1.6.2.3. Привести интеграл
1 +
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
1 +
=
(
1 +
)/
.
Глава 1. Неопределенные интегралы 73
Мы получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
1, = 4, =
1
6
.
Так как
+ 1
=
1 + 1
1
= 0,
то выбираем вторую подстановку:
1 + = 4= 6 =
3
2
.
Теперь выполним замену:
1 +
=
3
2
=
=
3
2
.
С учетом равенства = 1 получаем
1 +
=
3
2
1
,
где =1 +
.
Пример 1.6.2.4. Привести интеграл
1
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
1
=
(
1
)/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
5, = 2, =
1
2
.
Так как
74 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+ 1
=
5 + 1
2
= 3,
то выбираем вторую подстановку:
1 = 2= 2 =
.
Теперь выполним замену:
1
=
=
=
.
С учетом равенства = 1
получаем
1
= (1
)
,
где =1
.
Пример 1.6.2.5. Привести интеграл
1
1 +
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
1
1 +
=
(
1 +
)/
.
Мы получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
3, = 1, =
1
5
.
Так как
+ 1
=
3 + 1
1
= 2,
то выбираем вторую подстановку:
Глава 1. Неопределенные интегралы 75
1 +
1
=
= 5 = 5.
Теперь выполним замену:
1
1 +
=
= 5
1
=
= 5
.
С учетом равенства =
получаем
1
1 +
= 5
(
1),
где
=
1 +
1
.
Пример 1.6.2.6. Привести интеграл
+
к
интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
+ =
/
(
+ 1
)
/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
3
2
, = 1, =
1
2
.
Так как
76 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+ 1
+ =
+ 1
1
+
1
2
= 3,
то выбираем третью подстановку:
1
+ 1 =
1
= 2 = 2.
Преобразуем исходный интеграл к виду, более удобному для выпол-
нения замены переменных:
+ = 1 +
1
/
.
Теперь выполним замену:
+ =
= 2
(
)
=
= 2
.
С учетом равенства =
получаем
+ = 2
(
1
)
,
где
=
1
+ 1.
Пример 1.6.2.7. Привести интеграл
к
интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
=
/
(
1
)/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
Глава 1. Неопределенные интегралы 77
=
1
3
, = 2, =
1
3
.
Так как
+ 1
+ =
+ 1
2
+
1
3
= 1,
то выбираем третью подстановку:
1
1 =
2
= 3 =
3
2
.
Преобразуем исходный интеграл к виду, более удобному для выполнения замены переменных:
=
1
1
/
.
Теперь выполним замену:
=
3
2
(
)
=
=
3
2
.
С
учетом равенства
=
получаем
=
3
2
(
+ 1
)
,
где
=
1
1
.
Пример 1.6.2.8. Привести интеграл
1 +
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
78 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
1 +
=
(
1 +
)/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
0, = 3, =
1
3
.
Так как
+ 1
+ =
0 + 1
3
1
3
= 0,
то выбираем третью подстановку:
1
+ 1 =
3
= 3 = .
Преобразуем исходный интеграл к виду, более удобному для выпол-
нения замены переменных:
1 +
=
1
1
+ 1
/
.
Теперь выполним замену:
1 +
=
1
(
)
=
= .
С учетом равенства
=
получаем
1 +
=
1
,
где
=
1
+ 1 .
Пример 1.6.2.9. Привести интеграл
3
Глава 1. Неопределенные интегралы 79
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Перепишем интеграл в следующем виде:
3
=
/
(
3
)/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
1
3
, = 2, =
1
3
.
Так как
+ 1
+ =
+ 1
2
+
1
3
= 1,
то выбираем третью подстановку:
3
1 =
6
= 3 =
1
2
.
Преобразуем исходный интеграл к виду, более удобному для выполнения замены переменных:
3
=
3
1
/
.
Теперь выполним замену:
3
=
=
1
2
(
)
=
=
1
2
.
С учетом равенства
=
получаем
3
=
9
2
(
+ 1
)
,
где
80 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
3
1
.
1.6.3. Разные примеры на интегрирование функций
Пример 1.6.3.1. Привести интеграл
ar
ctg
1 +
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
arctg
1 +
=
= arctg
=
1 +
=
1 +
=
1 +
=
1 +
arctg
1 +
.
В
ычислим полученный интеграл, для этого перепишем его в следующем
виде:
1 +
=
(
1 +
)/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
0, = 2, =
1
2
.
Так как
+ 1
+ =
0 + 1
2
+
1
2
= 1,
то выбираем третью подстановку:
1
+ 1 =
2
= 2 = .
Преобразуем интеграл к виду, более удобному для выполнения заме-
ны переменных:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]