Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 81
(
1 +
)/
=
1
+ 1
/
.
Теперь выполним замену:
(
1 +
)
=
=
(
)
=
=
.
С учетом равенства
=
имеем
(
1 +
)
=
(
1
)
.
Окончательно получаем
arctg
1 +
=1 + arctg +
(
1
)
,
где
=
1
+ 1 .
Пример 1.6.3.2. Вычислить интеграл
ln+1 +
(
1
)
.
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
ln+1 +
(
1 +
)
=
= ln
+1 +
=
(
1 +
)
=
1 +
=
1
2
1
1 +
82 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
1
2
ln
+1 +
1 +
+
1
2
1
(
1 +
)
1 +
.
В
ычислим полученный интеграл, для этого перепишем его в следующем
виде:
1
(
1 +
)
1 +
=
(
1 +
)/
.
Мы
получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
0, = 2, =
3
2
.
Так как
+ 1
+ =
0 + 1
2
3
2
= 1,
то выбираем третью подстановку:
1
+ 1 =
2
= 2 = .
Преобразуем интеграл к виду, более удобному для выполнения заме-
ны переменных:
(
1 +
)/
=
1
1
+ 1
/
.
Теперь выполним замену:
(
1 +
)
=
=
(
)/
=
=
=
1
+ .
С учетом равенства =
+ 1 имеем
(
1 +
)
=
+ 1
+ .
Глава 1. Неопределенные интегралы 83
Окончательно получаем
ln+1 +
(
1 +
)
=
=
ln
+1 +
2(1 +
)
+
1
2
+ 1
+ .
1.7. Интегрирование тригонометрических функций
1.7.1. Интегралы от произведения тригонометрических функций
В этом разделе будем рассматривать интегралы от произведения синусов и косинусов. Такие интегралы можно вычислить с помощью следующих формул:
sin sin =
1
2
(
cos
(
)cos(+
))
,
cos cos =
1
2
(
cos
(
)
+ cos
(
+
))
,
sin cos =
1
2
(
sin
(
)
+ sin
(
+
))
.
Пример 1.7.1.1. Вычислить интеграл
sin 2cos 4.
Реш
ение. С учетом приведенных выше формул имеем
sin 2
cos 4
=
1
2
(
sin
(
2
)
+ s
in 6
)
=
=
1
2
1
2
sin 2(2
)
+
1
6
sin 6(6
)
=
=
1
4
cos 2
1
12
cos 6+ .
Пример 1.7.1.2. Вычислить интеграл
cos cos 3cos 5.
84 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. С учетом приведенных выше формул преобразуем подын-
тегральную функцию:
cos
cos 3
cos 5=
1
2
(
cos 2
+ cos 4
)cos 5
=
=
1
2
(
cos 2
cos 5+ cos 4cos 5
)
=
=
1
4
(
cos 3
+ cos 7
+ cos + cos 9
)
.
Теперь вычислим интеграл:
cos cos 3cos 5=
=
1
4
(
cos 3
+ cos 7+ cos + cos 9)=
=
sin 3
12
+
sin 7
28
+
sin
4
+
sin 9
36
+ .
1.7.2. Интеграл от рациональной функции R(sin x, cos x)
В этом разделе мы будем решать задачу сведения к интегралу от ра-
циональной функции интегралов вида
(sin , cos
)
,
где (, ) — рациональная функция вещественных переменных , .
Для этого будем использовать следующие замены переменных:
1) ес
ли (sin
, cos
)
=
(
s
in
, cos
)
, т
о = cos
;
2) ес
ли
(
sin
, cos
)
=
(
sin
, cos
)
, т
о = sin
;
3) ес
ли (sin
, cos
)
=
(
s
in
, cos
)
, т
о =
tg ил
и =
tg ;
4) в
остальных случаях надо применять универсальную тригонометриче-
скую подстановку (УТП) = tg
.
Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приведет
интеграл
(
sin
, cos
)
к
интегралу от рациональной функции. Одна-
Глава 1. Неопределенные интегралы 85
ко, если возможно, лучше использовать одну из первых трех замен переменных, так как они позволяют получить более простое выражение под
знаком интеграла.
Рассмотрим третью подстановку = tg и выразим sin
, cos,
через переменную . Для этого используем равенство
1 + tg
= 1 +
sin
cos
=
=
sin
+ cos
cos
=
1
cos
,
следовательно,
cos
=
1
1 + tg
=
1
1 +
.
Из основного тригонометрического тождества sin
+ cos= 1 находим
sin
= 1 cos= 1
1
1 +
=
1 +
.
Т
ак как = tg
,
то
= ar
ctg
, о
тсюда получаем
=
(
ar
ctg
)
=
1 +
.
Итак, мы получили следующие формулы для третьей подстановки:
=
tg
=
1 +
;
sin
=
1 +
;
cos
=
1
1 +
.
(1.1)
Аналогично можно проверить, что для универсальной тригонометрической подстановки имеют место следующие равенства:
86 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= tg
2
=
2
1 +
;
sin =
2
1 +
;
cos
=
1
1 +
.
(1.2)
Пр
имер 1.7.2.1. Привести интеграл
sin
+ s
in
cos
+ 2
к
интегралу от рациональной функции.
Решение. Так как рациональная функция
(,
)
=
+
+ 2
удовлетворяет условию (, )= (,
)
, то будем использовать
первую тригонометрическую подстановку
= cos
= sin
=
s
in
.
С
учетом основного тригонометрического тождества
sin
+ cos= 1 sin= 1 cos
п
олучаем
sin
+ s
in
cos
+ 2
=
=
sin + sin
cos
+ 2
s
in
=
=
1 + sin
cos
+ 2
=
=
2
+ 2
,
где = cos .
Пр
имер 1.7.2.2. Привести интеграл
Глава 1. Неопределенные интегралы 87
1 + sin
cos
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Так как рациональная функция
(,
)
=
1 +
удовлетворяет условию (, )= (,
)
, то будем использовать вто-
рую тригонометрическую подстановку
= sin
= cos =
cos
.
С учетом основного тригонометрического тождества
sin
+ cos= 1 cos = 1 sin
п
олучаем
1 + sin
cos
=
=
1 + sin
cos
cos
=
=
1 + sin
cos
=
=
1 +
(
1
)
,
где = sin .
Пр
имер 1.7.2.3. Привести интеграл
sin
s
in
+ cos
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Так как рациональная функция
(,
)
=
+
88 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
удовлетворяет условию (, )= (,
)
, то будем использовать тре-
тью тригонометрическую подстановку = tg . С учетом полученных вы-
ше соотношений (1.1) получаем
s
in
s
in
+ cos
=
=
+
1 +
=
=
+
+
+ 1
,
где = tg .
Пр
имер 1.7.2.4. Привести интеграл
sin + 2 cos
+ 1
к интегралу от рациональной функции.
Решение. Так как рациональная функция
(,
)
=
1
+ 2+ 1
не удовлетворяет ни одному из условий
(, )= (,
)
,
(, )= (,
)
,
(, )= (,
)
,
то применяем универсальную тригонометрическую подстановку = tg
.
С учетом приведенных выше соотношений (1.2) получаем
s
in
+ 2 cos
+ 1
=
=
1
+ 2
+ 1
2
1 +
=
Глава 1. Неопределенные интегралы 89
=
2
2
+ 2 2
+ 1 +
=
=
2
+ 2+ 3
,
где = tg
.
Глава 2. Определенные и несобственные интегралы
2.1. Методы вычисления определенных интегралов
В данном пункте рассматриваются практические приемы вычисления
определенных интегралов
()
от функции на отрезке [, ]. Мы не
приводим здесь определение определенного интеграла, поскольку оно является достаточно сложным, требует введения большого количества дополнительных понятий и обычно не используется при практическом вычислении определенных интегралов. Соответствующий теоретический материал излагается в лекционном курсе; ознакомиться с ним можно также
по учебникам, приведенным в списке литературы: [1, гл. 5], [5, гл. 1],
[8, гл. 9].
Если для функции на отрезке [, ] существует определенный ин-
теграл
()
, то она называется интегрируемой на этом отрезке. До-
статочным условием интегрируемости функции на отрезке [, ] являет-
ся ее непрерывность на этом отрезке. Основным способом вычисления
определенного интеграла от непрерывных функций является применение
формулы Ньютона-Лейбница.
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция непре-
рывна на отрезке
[
, ], — первообразная функции на отрезке [,
]
.
Тогда справедлива формула, называемая формулой Ньютона-Лейбница:
()
= ()(
)
.
Обычно используют обозначение
()()= ()
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]