Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 5. Функции нескольких переменных 161
следовательно, (,
)
< 0 при 0 <
|
|
<2
.
Предположим, что = , тогда
(,
)
= 2
,
следовательно,
(,
)
> 0
при
0.
Мы
получили, что в окрестности точки
(0; 0) функция принима-
ет как положительные, так и отрицательные значения. Также заметим, что
(
0; 0
)
= 0. Поэтому точка
не является точкой экстремума функции .
2) Рассмотрим точки
(1; 1) и
(1,1), имеем
=
(
2; 0
)
= 10,
=
(
2; 0)= 2,
=
(
2; 0
)
= 10,
=
= 10 10 (2
)
= 96 > 0.
Так как > 0, то точки
и
являются точками экстремума. При этом
> 0, поэтому
и
— точки минимума.
Пример 5.5.1.5. Исследовать на экстремум функцию
(,
)
= 2
+ 2
.
Реш
ение. Эта функция определена и дифференцируема во всех точ-
ках (
, )
. Найдем стационарные точки из системы уравнений
= 82= 0,
= 44= 0.
Р
ешая систему, получаем девять стационарных точек
(0; 0),
(0; 1),
(
0; 1
)
,
; 0,
; 0,
; 1,
; 1,
; 1,
; 1. Для определения характера стационарных точек вы-
числим частные производные второго порядка:
= 242,
= 0,
162 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= 124.
1) Рассмотрим точку
(0; 0), имеем
=
(
0; 0
)
= 2,
=
(
0; 0)= 0,
=
(
0; 0
)
= 4,
=
= 2 (4)0
= 8 > 0.
Т
ак как > 0, то точка
является точкой экстремума. При этом < 0,
поэтому
— точка максимума.
2) Рассмотрим точки
(0; 1) и
(
0; 1), имеем
=
(
0; ±1
)
= 2,
=
(
0; ±1)= 0,
=
(
0; ±1)= 8,
=
= 2 8 0= 16 < 0.
Так как < 0, то точки
и
не являются точками экстремума.
3) Рассмотрим точки
; 0 и
; 0, имеем
=
±
1
2
; 0= 4,
=
±
1
2
; 0= 0,
=
±
1
2
; 0= 4,
=
= 4 (4)0= 16 < 0.
Так как < 0, то точки
и
не являются точками экстремума.
4) Рассмотрим точки
; 1,
; 1,
; 1,
; 1, имеем
=
±
1
2
; ±1= 4,
Глава 5. Функции нескольких переменных 163
=
±
1
2
; ±1= 0,
=
±
1
2
; ±1= 8,
=
= 4 8 0
= 32 > 0.
Так как > 0, то точки
, , ,
являются точками экстремума. При
этом > 0, поэтому
, , ,
— точки минимума.
5.5.2. Наибольшее и наименьшее значение функции
Для определения наибольшего и наименьшего функции на замкну-
том ограниченном множестве будем использовать следующую теорему.
Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.
Свое набольшее и наименьшее значение функция может достигать во
внутренней точке области или на ее границе. Поэтому для того, чтобы
найти наибольшее или наименьшее значение функции
= (
, , …,
)
в области , нужно найти все внутренние стационарные точки, вычислить
значение функции в них и сравнить со значениями функции на границе об-
ласти . Наибольшее (наименьшее) из этих значений будет наибольшим
(наименьшим) значением функции во всей области .
Пример 5.5.2.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
(, )=
+ 24
в
области
=
{
(
; )
: 3,0 + 1
}
.
Решение. Функция (,
)
определена и дифференцируема во всех
точках (
, )
. Найдем стационарные точки из системы уравнений
= 2+ 24 = 0,
= 22= 0.
164 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Рис. 12. Область
Получаем единственную стационарную точку
(1; 1). Легко прове-
рить, что точка
лежит внутри области (рис. 12). Найдем значение
функции в стационарной точке
(
1; 1):
(
)
=
(
1; 1
)
= 2.
Вычислим значение функции на границах области .
Пусть 1 3, = 0, тогда (, 0)=
4. Экстремум функ-
ции (, 0) достигается при = 2, это значение принадлежит рассматриваемому отрезку [1; 3]. Вычислим значение функции в точке экстремума
и на концах рассматриваемого промежутка, т. е. в точках
(1; 0),
(2; 0),
(3; 0):
(
)
= (1; 0
)
= 5,
(
)
=
(
2; 0
)
= 4,
(
)
=
(
3; 0
)
= 3.
Пусть = 3, 0 4, тогда (3; )=
+ 63. Экстремум
функции (3, ) достигается при = 3, это значение принадлежит отрезку
[0; 4]. Значение функции в точке
(3; 0) было вычислено ранее. Вычис-
лим значение функции в точке экстремума
(3; 3) и в крайней точке
(3; 4):
(
)
=
(
3; 3)= 6,
Глава 5. Функции нескольких переменных 165
(
)
=
(
3; 4)= 5.
Пусть 1 3, = + 1, тогда (, + 1)= 2
41. Экс-
тремум функции (, + 1) достигается при = 1, это значение принадлежит отрезку [1; 3]. Значение функции в точках
(1; 0) и
(3; 4)
было вычислено ранее. Вычислим значение функции в точке экстремума
(1; 2):
(
)
=
(
1; 2
)
= 3.
Выбирая наименьшее и наибольшее значение из значений функции в
точках
, , , , , ,
, находим, что
= 4
(
2; 0),
= 6
(3; 3).
Замечание. Вернемся к функции из предыдущего примера. Легко
проверить с помощью достаточного условия экстремума функции (см.
п. 5.5.1), что функция имеет максимум (равный 2) в точке
(1; 1).
Однако, это значение не будет ни наибольшим, ни наименьшим в заданной
области.
Вывод: при поиске наибольшего или наименьшего значения функции в заданной области исследование на максимум или минимум с помощью достаточного условия экстремума функции оказывается практически
бесполезным.
Пример 5.5.2.2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
(, )= sin + sin sin(+ ) в области — треугольнике, ограниченном осями , и прямой + = 2.
Решение. Функция (,
)
определена и дифференцируема во всех
точках (, )
. Найдем стационарные точки из системы уравнений
= cos cos(+
)
= 0,
= cos cos(+
)
= 0;
166 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
следовательно,
sin
+
2
sin
2
= 0,
sin
2
+ sin
2
= 0.
Решая систему, находим стационарные точки функции:
,
(
2
; 2), , ;
,
2
3
+ 2;
2
3
+ 2, , .
Внутри области лежит единственная стационарная точка
;
. Найдем значение функции в стационарной точке:
2
3
;
2
3
=
33
2
.
Легко проверить, что на границе области , т. е. на прямых = 0,
= 0 и + = 2 значение функции (, ) равно 0; действительно,
(0, )= sin 0 + sin sin(0 +
)
= 0;
(, 0)= sin + sin 0 sin(+ 0
)
= 0;
(, 2
)
= s
in + sin(2
)
sin(+ 2
)
= 0.
Получаем, что наибольшее значение, равное
, достигается в точке
;
, а наименьшее значение, равное 0, достигается на границе обла-
сти .
5.5.3. Условный экстремум функции
В этом разделе будем рассматривать вопрос об экстремуме функции
(
, …, ,
, …,
) от + переменных в предположении, что эти
переменные удовлетворяют уравнениям связи
(
, …, ,
, …,
)
= 0, = 1,2, …, .
Глава 5. Функции нескольких переменных 167
Определение. Говорят, что в точке
(
, …,
)
, координаты ко-
торой удовлетворяют уравнениям связи, функция (
, …,
) имеет
условный максимум (условный минимум), если неравенство
(
, …,
)(
, …,
)
(
, …,
)(
, …,
)
выполняется в некоторой окрестности точки
для всех точек
(
, …,
), удовлетворяющих уравнениям связи.
Будем предполагать, что функция и все функции
имеют в
непрерывные частные производные по всем аргу-
ментам.
Если из уравнения связи можно выразить переменные
,…,
как функции от переменных
,…,
:
=
(
, …,
)
, = 1, … , ,
то задача нахождения условного экстремума функции от двух переменных
сводится к задаче нахождения обычного экстремума в точке
для слож-
ной функции от переменных
, …, ,
(
, …,
)
, …,
(
, …,
)
.
Пример 5.5.3.1. Найти условный экстремум функции (, )=
при условии + = 1.
Решение. Выразим из уравнения связи = 1 и найдем экстре-
мум функции ()= (, 1 )=
(
1
)
.
Найдем стационарные точки функции :
()=(
)
= 23= 3
2
3
.
Исследуя знаки производной, получаем, что точка
(
0; 1) является точ-
кой условного минимума, а точка
(
2/3; 1/3) — точкой условного мак-
симума функции .
168 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Пример 5.5.3.2. Найти условный экстремум функции
(, , )=
+ 23
п
ри условиях
+ = 1
,
2
+ 12
+ 3= 7.
Реш
ение. Выразим из уравнений связи переменные
и ч
ерез пе-
ременную :
= 3
2,
= 2+ 1
и
найдем экстремум функции
()= (32, , 2+ 1
)
=
= 11
6+ 1.
Минимум функции () достигается при = 3/11, следовательно,
получаем точку условного минимума функции :
13
11
;
3
11
;
5
11
.
Значение функции в этой точке:
=
13
11
;
3
11
;
5
11
=
2
11
.
5.5.4. Метод множителей Лагранжа
В общем случае для поиска условного экстремума будем использо-
гранжа
(
, …, ,
, …,
; , …,
)
=
=
(
, …, ,
, …,
)
+
+
(
, …, ,
, …,
)
.
Глава 5. Функции нескольких переменных 169
Далее будем предполагать, что функции и
, имеют в рассматри-
ваемой области непрерывные частные производные по всем аргументам.
Стационарные точки функции Лагранжа найдем из системы
=
+
(
)
= 0,
…
=
+
(
)
= 0,
=
= 0,
…
=
= 0.
Теорема (достаточное условие условного экстремума). Пусть
функции и
, = 1, …, , определены и имеют непрерывные частные
производные второго порядка в некоторой окрестности точки
, которая
является стационарной точкой функции Лагранжа с соответствующими
множителями Лагранжа
,…,
. Если
=
,
> 0
=
,
< 0
при всех ,…,
, не равных одновременно нулю и удовлетворяющих
системе уравнений
=
= 0,
…
=
= 0,
170 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
то точка
является точкой условного максимума (условного минимума)
функции . Если дифференциал
является знакопеременной квадратич-
ной формой, то в точке
условного экстремума нет.
Пример 5.5.4.1. Найти условный экстремум функции
(, )= + 3
+ 2
п
ри условии
+
= 10.
Реш
ение. Функция (
, ) и
з уравнения связи
(
,
)
= 0 и
меет вид
(
,
)
=
+ 10.
Составим функцию Лагранжа:
(, ; )= + 3
+ 2 +
(
+ 10
)
.
О
пределим стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений
= 1 + 2= 0,
= 3 + 2= 0,
= + 10 = 0.
Из первого уравнения системы следует, что 0, тогда из первых
двух уравнений находим
=
1
2
, =
3
2
.
Подставляя эти значения в третье уравнение, получаем
1
2
+
3
2
10 = 0,
10
4
= 10,
следовательно, = ±1/2. Получаем две стационарные точки:
(
1; 3
)
=
1
2
,
(
1; 3)
=
1
2
.
Найдем второй дифференциал функции Лагранжа:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]