Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 191
=
+ +
(+ )+
.
Выполнив замену
=
+ = +
=
,
получаем уравнение с разделяющимися переменными:
=
+
+
.
Случай 2. Если 0, выполним в исходном уравнении замену
= + , ,
= + , ,
где
— новая переменная; = () — новая функция, получим
(
+
)
=
(
+ )+
(
+ )+
(
+ )+
(
+ )+
.
Раскрывая скобки и приводя подобные, находим
=
+ +(+ +
)
+ +(+ +
)
Потребуем, чтобы вещественные числа и являлись решениями
системы линейных уравнений
+ +
= 0,
+ +
= 0.
Так как определитель системы 0, то по теореме Крамера эта система
имеет единственное решение. Таким образом, после выполнения замены
будет получено однородное уравнение
=
+
+
.
Пример 6.4.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
1 +(+ 2)= 0.
Реш
ение. Перепишем уравнение в виде
192 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
1
2
и вычислим определитель
=
1 1
1 1
= 0.
Так как = 0, то это уравнение подходит под случай 1. Выполним в ис-
ходном дифференциальном уравнении замену
=
= 1 = 1 ,
то
гда уравнение принимает вид
1 +(+ 2)(1
)
= 0.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
1 (2
)
= 0.
Р
азделим переменные:
=(2 ).
П
роинтегрируем полученное уравнение:
=
(
2 )
.
По
лучаем решение дифференциального уравнения:
= 2
2
+ , .
Вернемся к старым переменным. С учетом формулы = получаем
2= 4
(
)(
)
+ , ,
сл
едовательно,
24
+ 2+ = 0, .
Пр
имер 6.4.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
+ + 1)+
(
2+ 2
1)
= 0
.
Решение. Перепишем уравнение в виде
Глава 6. Дифференциальные уравнения 193
=
1
2
+ 2
1
и вычислим определитель
=
1 1
2 2
= 0.
Так как = 0, то это уравнение подходит под случай 1. Выполним в ис-
ходном уравнении замену
=
+ = + = ,
то
гда уравнение принимает вид
(
+ 1)
+
(
2
1
)(
)
= 0
.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
(
2 )
+
(
2
1)
= 0
.
Р
азделим переменные:
=
21
2
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
=
21
2
.
Вычислим интеграл от рациональной функции в правой части:
21
2
=
=
2
(
2
)
+ 3
2
=
= 2 + 3
2
=
= 2+ 3 ln|2|+ .
Получаем решение дифференциального уравнения:
= 2
+ 3 ln|2|+ , .
Во
звращаясь к старым переменным, с учетом формулы =
+ п
олучаем
194 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= 2(+
)
+ 3 ln
|
+ 2|+ , ,
следовательно,
+ 2+ 3 ln|+ 2|+ = 0, .
В процессе преобразования дифференциального уравнения, после
разделения переменных, в знаменателе было записано выражение 2,
которое может обращаться в ноль, поэтому решением дифференциального
уравнения может оказаться функция = 2, т. е. + = 2. Эта функция
действительно является потерянным решением, так как при подстановке
= 2 в дифференциальное уравнение (2 )+(21)= 0 получа-
ем тождество:
(
2 2
)
+(2 2 1)(2)
= 0.
Итак, получен окончательный вид общего решения:
+ 2+ 3 ln|+ 2|+ = 0, ;
+ 2 = 0.
Пример 6.4.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
+ 1)ln
+
+ 3
=
+
+ 3
.
Решение. Вычислим определитель
=
1 1
1 0
= 1.
Так как 0, то это уравнение подходит под случай 2. Выполним в ис-
ходном уравнении замену
= + ,
= + ,
где — новая переменная, = () — новая функция, числа , являют-
ся решениями системы линейных уравнений
+ = 0,
+ 3 = 0;
= 3,
= 3.
Глава 6. Дифференциальные уравнения 195
Окончательный вид замены:
= 3,
= + 3.
Выполняя в дифференциальном уравнении замену, получаем
(
+ 1)ln
+
=
+
.
Полученное дифференциальное уравнение является однородным, по-
этому выполняем замену
=
= + ,
получаем
(
+ + 1
)
ln
+
=
+
,
следовательно,
+ + 1ln(+ 1
)=(
+ 1
)
.
Разделим переменные:
(
+ 1)(1 ln(+ 1
))
=
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
(
+ 1)(1 ln(+ 1
))
=
.
Вычислим отдельно интеграл в левой части последнего равенства:
(
+ 1)(1 ln(+ 1
))
=
=
(1 ln(+ 1
))
1 ln(+ 1
)
=
= ln|1 ln(+ 1
)
|
+ , .
Получаем решение дифференциального уравнения:
ln|1 ln(+ 1
)
|
= ln
||
+ , .
196 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Возьмем экспоненту от обеих частей последнего равенства, имеем
1 ln(+ 1
)
=
.
Возвращаясь к исходной переменной и функции , с учетом формулы
=
=
3
+ 3
находим общее решение:
1 ln
+
+ 3
=
+ 3
, .
В процессе преобразования дифференциального уравнения, после
разделения переменных, в знаменателе были записаны выражения и
(
+ 1)(1 ln(+ 1
))
.
Выражение
(
+ 1)(1 ln(+ 1)) обращается в ноль при = 1
(случай = 1 мы исключаем, так как это значение не попадает в область
определения логарифма). Функция = 1 не является потерянным решением, так как получается из общего решения 1 ln(+ 1)= /
при = 0.
Итак, получено общее решение
+ 3= , .
Пример 6.4.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
=
+ 2
+ 1
+ tg
2
+ 1
.
Решение. С учетом равенства
+ 2
+ 1
=
2+ 2+ 2
+ 1
=
=
(
2
)
+ 2
(
+ 1
)
+ 1
=
=
2
+ 1
+ 2
Глава 6. Дифференциальные уравнения 197
перепишем уравнение в следующем виде:
=
2
+ 1
+ 2 + tg
2
+ 1
.
Вычислим определитель:
=
2 1
1 0
= 1.
Так как 0, то это уравнение подходит под случай 2. Выполним в урав-
нении замену
= + ,
= + ,
где
— новая переменная, = () — новая функция, числа , являют-
ся решениями системы линейных уравнений
2= 0,
+ 1 = 0;
= 1,
= 2.
Окончательный вид замены:
= 1
,
= 2.
В
ыполняя в дифференциальном уравнении замену, получаем
=
2
+ 2 + tg
2
.
Полученное дифференциальное уравнение является однородным, по-
этому выполняем замену
=
= + ,
получаем
+ =
2
+ 2 + tg
2
,
следовательно,
= tg(2
)
.
Разделим переменные:
198 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
ctg
(
2)=
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
ctg
(
2)=
.
Вычислим отдельно интеграл в левой части последнего равенства:
ctg
(
2)=
=
cos
(
2
)
sin
(
2
)
=
=
sin(2
)
sin
(
2
)
=
= ln|sin
(
2
)
|
+ , .
Получаем решение дифференциального уравнения:
ln|sin
(
2
)
|
= ln
||
+ , .
Во
зьмем экспоненту от обеих частей последнего равенства, имеем
sin
(
2)=
.
Возвращаясь к исходной переменной и функции , с учетом формулы
=
=
+ 2
+ 1
находим общее решение:
sin
2
+ 1
= (+ 1
)
.
В процессе преобразования дифференциального уравнения, после
разделения переменных, в знаменателе были записаны выражения и
sin
(
2
)
.
Выражение = 0 не является функцией от , следовательно, не яв-
ляется потерянным решением.
Глава 6. Дифференциальные уравнения 199
Выражение sin
(
2) обращается в ноль при = 2 + , .
Функция = 2 + не является потерянным решением, так как получает-
ся из общего решения sin
(
2)= при выборе = 0.
Пример 6.4.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
24+ 6)+(+ 3)= 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде
=
2+ 46
+ 3
.
Вычислим определитель:
=
2 4
1 1
= 6.
Так как 0, то это уравнение подходит под случай 2. Выполним в урав-
нении замену
= + ,
= + ,
где — новая переменная, = () — новая функция, числа , являют-
ся решениями системы линейных уравнений
24+ 6 = 0,
+ 3 = 0;
= 1,
= 2.
Окончательный вид замены:
= + 1,
= + 2.
Выполняя в исходном дифференциальном уравнении замену, полу-
чаем
(
24)+(+ )= 0.
Полученное дифференциальное уравнение является однородным, по-
этому выполняем замену
= = + ,
получаем
200 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
(
24)
+(+
)(
+
)
= 0.
Разделим обе части полученного равенства на , имеем
(
2 4
)
+(1 + )(+
)
= 0
.
Теперь раскроем скобки и приведем подобные:
(
2 3+
)
+(1 + )
= 0
.
Разделим переменные:
(
1 + )
2 3
+
=
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
(
1 + )
2 3+
=
.
Вычислим отдельно интеграл в левой части последнего равенства:
(
1 + )
2 3+
=
=
2
1
3
2
=
= 2 ln
|
1|3 ln|2|+ =
=
ln
(
1
)
|
2
|
, .
Получаем решение дифференциального уравнения:
ln
(
1
)
|
2
|
= ln
||
+ , .
Возьмем экспоненту от обеих частей последнего равенства, имеем
(
1
)
=
(
2
)
, .
Возвращаемся к исходной переменной и функции , с учетом формулы
=
=
2
1
получаем
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]