Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 21
=
;
=
ln
, > 0, 1.
Пример 1.2.7. Вычислить интеграл
+ 1
.
Решение. С учетом равенства
=
1
4
(
+ 1)
получаем
+ 1
=
=
1
4
(
+ 1
)
+ 1
=
=
1
2
+ 1 + .
Пример 1.2.8. Вычислить интеграл
+ 1
.
Решение. Имеем
+ 1
=
=
1
6
(
)
+ 1
=
=
1
6
arctg
(
)
+ .
Пример 1.2.9
. Вычислить интеграл
sin
1
.
Решение. С учетом равенства
22 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
1
получаем
sin
1
=
= sin
1
1
=
=
cos
1
+ .
Пример 1.2.10. Вычислить интеграл
tg .
Решение. Представим tg
в виде отношения
, получим
tg =
sin
cos
=
=
cos
cos
= ln|cos |+ .
Пример 1.2.11. Вычислить интеграл
arctg
1 +
.
Решение. С учетом формулы
(
arctg
)
=
1
1 +
получаем
arctg
1 +
=
= arctg
(
arctg
)
=
=
arctg
2
+ .
Пример 1.2.12. Вычислить интеграл
Глава 1. Неопределенные интегралы 23
arcsin
1
.
Решение. С учетом формулы
(
ar
csin
)
=
1
1
получаем
arcsin
1
=
= arcsin
(
arcsin
)
=
=
arcsin
4
+ .
Пример 1.2.13
. В
ычислить интеграл
4
+ 12+ 15
.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
4
+ 12+ 15
=
(
2
+ 3
)
+ 6
.
Выполним замену так, чтобы выполнялось равенство
(
2+ 3
)
= 6
,
имеем
2
+ 3 =6
2=6 =
6
2
.
Тогда, с учетом формулы
+ 1
= ln ++ 1+ ,
находим
4
+ 12+ 15
=
24 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
6
+ 6
=
=
1
2
+ 1
=
=
1
2
ln ++ 1+ .
Возвращаясь к исходной переменной и учитывая равенство =
, полу-
чаем окончательный ответ:
4
+ 12+ 15
=
=
1
2
ln
2+ 3
6
+
(
2
+ 3
)
6
+ 1+ .
Пример 1.2.14. Вычислить интеграл
arctg
1 +
.
Решение. Выполним замену
= arctg
=
1 +
1
2
1
1 +
= 2 ,
получаем
arctg
1 +
= 2=
=
+ = arctg
+ .
Пример 1.2.15
. Вычислить интеграл
arcsin
1
.
Решение. Выполним замену
= arcsin
Глава 1. Неопределенные интегралы 25
=
1
1
2
1
1
= 2 ,
получаем
arcsin
1
= 2=
=
+ = arcsin
+ .
1.3. Интегрирование по частям
Теорема. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на
промежутке , тогда функция также непрерывно дифференцируема на
промежутке и имеет место равенство.
= .
Равенство, приведенное в теореме, называется формулой интегриро-
вания по частям.
Пример 1.3.1. Вычислить интеграл
ln .
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
ln =
= ln
=
=
=
= ln
=
= ln =
= ln + .
26 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Пример 1.3.2. Вычислить интеграл
arcsin .
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
arcsin =
= arcsin
=
=
1
=
= arcsin
1
=
= arcsin +
1
2
(1
)
1
=
= arcsin +1
+ .
Пример 1.3.3. Вычислить интеграл
arctg .
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
arctg =
= arctg
=
=
1 +
=
2
=
2
arctg
1
2
+ 1
.
Для того чтобы вычислить последний интеграл, преобразуем подын-
тегральную функцию следующим образом:
+ 1
=
(
+ 1
)
1
+ 1
= 1
1
+ 1
.
Отсюда получаем
Глава 1. Неопределенные интегралы 27
arctg =
=
2
arctg
1
2
1
1
+ 1
=
=
2
arctg
1
2
(
ar
ctg
)
+ =
=
+ 1
2
arctg
2
+ .
Пример 1.3.4. Вычислить интеграл
arctg
.
Реш
ение. Выполним замену
= = = 2 ,
имеем
arctg
= 2 arctg .
В
оспользуемся формулой, доказанной в предыдущем примере:
ar
ctg
=
+ 1
2
arctg
2
+ ,
получаем
arctg
=
= 2
ar
ctg
=
= 2
+ 1
2
arctg
2
+ =
=
(
+ 1
)
arctg + .
Возвращаясь к исходной переменной, с учетом формулы =
, по-
лучаем окончательный ответ:
28 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
arctg=(+ 1
)
arctg
+ .
Пример 1.3.5. Вычислить интеграл
.
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
=
=
=
=
=
=
=
=
+ =
=
(
1)
+ .
Пример 1.3.6. Вычислить интеграл
.
Решение. Выполним замену
=
= 2 =
2
,
получим
=
2
=
=
1
2
=
1
2
.
Воспользуемся формулой, доказанной в предыдущем примере:
=(1)+ ,
имеем
=
1
2
=
Глава 1. Неопределенные интегралы 29
=
1
2
(
1)
+ .
Возвращаясь к исходной переменной, окончательно получаем
=
+ 1
2
+ .
Пример 1.3.7. Вычислить интеграл
ln +1 +
.
Реш
ение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
ln +1 + =
= ln
+1 +
=
=
1 +
=
=
ln +1 +
1 +
.
С учетом равенства
=
1
2
(1 +
)
и формулы
= 2
+
получаем
ln +1 + =
= ln +1 +
1
2
(1 +
)
1 +
=
=
ln +1 +
1 + + .
Пример 1.3.8. Вычислить интеграл
ln
1 +
1
.
30 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
ln
1 +
1
=
= ln
1 +
1
=
=
2
1
=
2
=
2
ln
1 +
1
1
=
=
2
ln
1 +
1
+
1
.
Для того чтобы вычислить последний интеграл, преобразуем подын-
тегральную функцию следующим образом:
1
=
(
1
)
+ 1
1
= 1 +
1
1
.
Отсюда получаем
ln
1 +
1
=
=
2
ln
1 +
1
+ 1 +
1
1
=
=
2
ln
1 +
1
+
1
2
ln
1 +
1
+ =
=
1
2
ln
1 +
1
+ + .
Пример 1.3.9. Вычислить интеграл
cos
()
, 0, 0.
Решение. Обозначим
=
cos
()
.
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]