Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 31
=
cos
(
)=
=
= cos(
)
=
=
1
sin
(
)
=
1
sin
(
)
sin
(
)
.
К последнему интегралу применим еще раз формулу интегрирования по
частям, снова выбирая в качестве функции экспоненту:
=
1
sin
(
)
sin
(
)
=
=
= sin(
)
=
=
1
cos
(
)
=
1
sin
(
)
1
cos
(
)
+
cos
(
)
.
Мы получили линейное уравнение относительно интеграла :
=
1
sin
(
)
1
cos
(
)
+
.
Разрешим последнее уравнение относительно переменной , для это-
го раскроем скобки:
=
sin(
)
+ cos(
)
,
следовательно,
+
=
sin(
)
+ cos(
)
.
Отсюда окончательно получаем
=
sin(
)
+ cos(
)
+
+ .
Пример 1.3.10. Вычислить интеграл
32 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
cos(ln ).
Реш
ение. Выполним замену
=
ln =
= ,
получаем
cos
(
ln )=
cos .
В
оспользуемся формулой, доказанной в предыдущем примере:
cos
(
)
=
sin(
)
+ cos(
)
+
.
Полагая в последней формуле = 1 и = 1, находим
cos =
sin + cos
2
+ .
Отсюда, возвращаясь к исходной переменной , получаем
cos
(
ln )=
sin + cos
2
+ =
=
sin
(
ln
)
+ cos(ln
)
2
+ .
1.4. Интегрирование рациональной функции
1.4.1. Определение рациональной функции
Пу
сть (
) и () —
многочлены с вещественными коэффициента-
ми, многочлен
(
)
является ненулевым, т. е. (
) 0
.
Определение. Рациональной функцией (рациональной дробью) назы-
вается функция (дробь) вида
(
)
(
)
.
Будем предполагать далее, что многочлены () и () взаимно
простые, поскольку в противном случае дробь
(
)
(
)
можно сократить на
наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
Глава 1. Неопределенные интегралы 33
Определение. Дробь
(
)
(
)
называется правильной рациональной
функцией, если степень многочлена (
) мен
ьше степени многочлена
(
), т. е. de
g < deg . В противном случае, т. е. если deg deg ,
дробь
(
)
(
)
называется неправильной рациональной функцией.
Теорема. Любая рациональная дробь
(
)
(
)
может быть единственным
образом (с точностью до порядка слагаемых) представлена в виде суммы
многочлена (
) и
правильной рациональной дроби
(
)
(
)
, где степень мно-
гочлена (
) мен
ьше степени многочлена (
), т. е.
(
)
(
)
= (
)
+
(
)
(
)
, deg < deg .
1.4.2. Метод неопределенных коэффициентов
Определение. Простыми рациональными дробями называются дро-
би вида
(
)
+
(
+ +
)
,
где , все коэффициенты являются вещественными, а дискриминант
квадратного трехчлена
+ + отрицателен.
Теорема. Любая рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы многочлена и конечного числа простых
рациональных дробей.
Теорема (о разложении правильной рациональной дроби). Рас-
смотрим правильную дробь
(
)
(
)
, где () — многочлен степени
1n ≥
со
старшим коэффициентом, равным единице, имеющий следующее каноническое разложение:
(
)=(
)
…
(
)
×
×
(
+ +
)
…
(
+ +
)
.
34 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Рациональную дробь
(
)
(
)
можно единственным образом разложить в сум-
му простых рациональных дробей по формуле
(
)
(
)
=
()
(
)
+
()
+
()
(
+ +
)
=
=
()
+
()
(
)
+ +
()
(
)
+
+
()
+
()
(
)
+ +
()
(
)
+
+ +
+
()
+
()
(
)
+ +
()
(
)
+
+
()
+
()
+ +
+
()
+
()
(
+ +
)
+ +
()
+
()
(
+ +
)
+
+
()
+
()
+ +
+
()
+
()
(
+ +
)
+ +
()
+
()
(
+ +
)
+
+ +
+
()
+
()
+ +
+
()
+
()
(
+ +
)
+ +
()
+
()
(
+ +
)
.
Для разложения на неприводимые множители многочлена в знаменателе будем использовать следующую теорему о рациональных корнях
многочлена с целыми коэффициентами.
Теорема (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональ-
ный корень
, где
– несократимая дробь, то числитель дроби является
делителем свободного члена, а знаменатель является делителем старшего
коэффициента этого многочлена.
Глава 1. Неопределенные интегралы 35
Пример 1.4.2.1. Разложить правильную рациональную дробь
(
)
(
)
=
2
2+ 6+ 2+ 7
+ 2+ 2+ 4+ + 2
в сумму простых рациональных дробей.
Решение. Найдем корни многочлена
()=
+ 2+ 2+ 4+ + 2.
Старший коэффициент многочлена () равен единице, поэтому ес-
ли многочлен () имеет рациональные корни, то они являются целыми
числами и делителями свободного члена, равного 2. Таким образом, раци-
ональные корни могут быть только среди чисел ±1, ±2. Непосредственной
проверкой убеждаемся в том, что (2)= 0, т. е. число 2 является корнем многочлена (), тогда получаем разложение многочлена ():
(
)=(
+ 2)(
+ 2
+ 1)=
=
(
+ 2)(
+ 1
)
.
С учетом теоремы 2 будем искать разложение дроби
(
)
(
)
=
22+ 6+ 2+ 7
(
+ 2)(
+ 1
)
в сумму простых дробей в виде
(
)
(
)
=
+ 2
+
+
+ 1
+
+
(
+ 1
)
.
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю ():
+ 2
+
+
+ 1
+
+
(
+ 1
)
=
=
(
+ 1
)
+
(
+ )(+ 2)(
+ 1)+
(
+ )(+ 2
)
(
+ 2)(
+ 1
)
=
=
(
+ 2
+ 1)+
(
+ )(+ 2+ + 2
)+(
+ )(+ 2
)
(
+ 2)(
+ 1
)
.
Соберем в числителе коэффициенты при одинаковых степенях :
36 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
(
)
(
)
=
(
+ )+
(
2+ )+
(
2+ + 2+
)
(
+ 2)(
+ 1
)
+
+
(2+ + 2+ )+ + 2+ 2
(
+ 2)(
+ 1
)
.
В последнем равенстве знаменатели дробей равны, значит равны и числители:
2
2+ 6+ 2+ 7 =
=
(
+ )+
(
2+ )+
(
2+ + 2+
)
+
+(2+ + 2+
)+(
+ 2+ 2
)
.
Для того чтобы два многочлена были равны, необходимо, чтобы у
них были равны коэффициенты при одинаковых степенях
x
. Приравнивая
соответствующие коэффициенты, получаем следующую систему линейных уравнений:
+ = 2,
2+ = 2,
2+ + 2+ = 6,
2+ + 2+ = 2,
+ 2+ 2= 7.
Решая эту систему, находим = 3, = 1, = 0, = 1, = 2. Таким
образом, получено разложение
(
)
(
)
=
3
+ 2
+ 1
+
+ 2
(
+ 1
)
.
1.4.3. Интегрирование простых рациональных дробей
Рассмотрим примеры интегрирования простых рациональных дробей, возникающих при интегрировании рациональной функции после ее
разложения в сумму простых рациональных дробей. При этом могут возникнуть интегралы четырех видов:
1
;
Глава 1. Неопределенные интегралы 37
1
(
)
, 2;
+
+ +
;
+
(
+ +
)
, 2.
Рассмотрим отдельно вычисление каждого из четырех приведенных
выше интегралов.
Случай 1. Вычислим
1
,
имеем
1
=
(
)
=
= ln
|
|+ .
Случай 2. Вычислим
1
(
)
, 2,
имеем
1
(
)
=
(
)
(
)
=
=
1
1
1
(
)
+ .
Случай 3. Вычислим
+
+ +
.
Преобразуем подынтегральную функцию, для этого выделим в чис-
лителе в отдельное слагаемое производную знаменателя
+ + (рав-
ную 2+ ):
38 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+
+ +
=
(
2
+
)
+
+ +
.
Разобьем полученный интеграл в сумму интегралов:
+
+ +
=
=
2
2
+
+ +
+
2
+ +
.
Обозначим
=
2+
+ +
,
=
+ +
.
Вычислим отдельно каждый из этих двух интегралов.
Рассмотрим интеграл
:
=
2+
+ +
=
=
(
+ +
)
+ +
=
=
(
+ +
)
+ +
=
= ln
(
+ +
)
+ .
Р
ассмотрим интеграл
. Выделим в знаменателе полный квадрат:
=
+ +
=
=
+ 2
+
+
=
=
+
+
.
Глава 1. Неопределенные интегралы 39
Для упрощения выкладок обозначим
=
4
,
тогда
=
+
+
.
Подберем замену так, чтобы выполнялось равенство
+
2
=
.
Таким образом, будет выполнена замена:
+
2
= = .
Посл
е выполнения замены получаем
=
+
=
=
1
+ 1
=
1
arctg + .
Учитывая равенство
=
+
=
+
,
находим
=
1
arctg
+
+ .
Получаем окончательный ответ:
+
+ +
=
40 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2
+
2
=
=
2
ln(+ +
)
+
arctg
+
+ .
Случай 4. Вычислим
+
(
+ +
)
, 2.
Как и в случае 3, выделим в числителе производную квадратного
трехчлена из знаменателя и представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
+
(
+ +
)
=
=
(
2
+ )+
(
+ +
)
=
=
2
2+
(
+ +
)
+
2
(
+ +
)
.
Обозначим
=
2+
(
+ +
)
,
=
(
+ +
)
.
Вычислим отдельно каждый из двух полученных интегралов.
Рассмотрим интеграл
:
=
2+
(
+ +
)
=
=
(
+ +
)
(
+ +
)
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]