Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 1. Неопределенные интегралы 11
Используем следующие формулы из таблицы интегралов
=
+ 1
+ , 1,
= ln
||
+ ,
находим
+
+ 1
=
/
3/2
+ ln
||
+
/
1/2
+ =
=
2
3
+ ln
||
2
+ .
Пример 1.1.4. Вычислить интеграл
1
.
Решение. Преобразуем выражение под знаком интеграла:
1
=
=
1
/
=
=
//
=
=
4
13
/
4
5
/
+ .
Пример 1.1.5. Вычислить интеграл
1 +
+
1
1
.
Решение. Разделим числитель на знаменатель. С учетом формулы
для разности квадратов и приведенных ниже формул из таблицы интегралов
1
= arcsin + ,
12 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+ 1
= ln ++ 1+
получаем
1 +
+
1
1
=
=
1 +
+
1
1
1 +
=
=
1
+
1 +
=
= arcsin
+ ln +1 +
+ .
Пример 1.1.6. Вычислить интеграл
(
3
+ 5
)
.
Реш
ение. Используя формулу сокращенного умножения
(
+
)
= + 2+
и ф
ормулу из таблицы интегралов
=
ln
+ ,
получаем
(
3
+ 5
)
=
=
(
9
+ 2 15
+ 25
)
=
=
9
ln 9
+ 2
15
ln 15
+
25
ln 25
+ .
Пример 1.1.7. Вычислить интеграл
2
+ 3
5
.
Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель, имеем
Глава 1. Неопределенные интегралы 13
2
+ 3
5
=
= 2
2
5
+
1
9
3
5
=
= 2
2
5
+
1
9
3
5
=
= 2
ln
+
1
9
ln
+ .
Пример 1.1.8. Вычислить интеграл
1 + sin 2
.
Решение. С учетом основного тригонометрического тождества
sin
+ cos= 1
и формулы синуса двойного угла
sin 2= 2 sin cos
получаем
1 + sin 2
=
=
sin
+ cos+ 2 sin cos =
=
(
sin + cos
)
=
= |sin + cos |.
Далее, с учетом формулы
||
= sign ,
находим
1 + sin 2
=
14 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= (sin + cos )sign(sin + cos ).
Так как функция sign тождественно равна 1 при положительном аргументе
и тождественно равна 1 при отрицательном аргументе, можем вынести
постоянный множитель sign
(
sin + cos
)
за знак интеграла, имеем
1 + sin 2
=
= sign
(
sin + cos )(sin + cos )=
= sign
(
sin + cos )sin + cos =
= sign
(
sin + cos )(cos + sin )+ .
1.2. Замена переменной под знаком интеграла
Теорема. Пусть функция непрерывна на промежутке , функция
является первообразной функции на . Пусть функция определена и
непрерывно дифференцируема на промежутке и множество ее значений
содержится в промежутке , т. е. (). Тогда верно равенство:
(())
()
= ()+ .
Данная теорема показывает, как выполнять замену переменной в ин-
теграле. Если обозначить = (), то (()) + можно представить как
() + , т. е. как интеграл () . Сравнивая исходный интеграл
(())
()
и полученный интеграл () , нетрудно заметить,
что для перехода от первого интеграла (со сложной подынтегральной
функцией) ко второму (с более простой подынтегральной функцией) до-
статочно заменить аргумент функции на , а также заменить выражение
() на . Соотношение ()= , используемое при замене переменной в интеграле, можно получить из соотношения () = , связыва-
ющего старую и новую переменную, если перейти от функции () и пе-
Глава 1. Неопределенные интегралы 15
ременной к их дифференциалам (по переменным и соответственно):
() = , т. е. () = .
Пример 1.2.1. Вычислить интеграл
(1
)
.
Решение. Выполним под знаком интеграла замену
= 1 = 1 = ,
получаем
(1
)
=
=
(
1 )=
= (
)
=
=
52
51
+ .
Для завершения решения осталось использовать равенство = 1
для того, чтобы вернуться к исходной переменной :
(1
)
=
(
1
)
52
(
1
)
51
+ .
Пример 1.2.2. Вычислить интеграл
1 2
.
Решение. Способ 1. Выполним под знаком интеграла замену
= 1 2
=
1
2
=
1
22
1
,
получаем
1 2
=
16 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
1
22
1
=
=
1
4
=
=
1
4
2+ =
=
1
2
1 2
+ .
Способ 2. Попробуем выполнить эту же замену, но будем рассуждать немного иначе. Не будем явно выражать старую переменную
ч
ерез
новую переменную , а сразу возьмем дифференциал от обеих частей ра-
венства:
= 1 2
= 4 =
4
,
получаем
1 2
=
=
4
=
=
1
4
=
=
1
4
2+ =
=
1
2
1 2
+ .
Замечание. В процессе выполнения замены переменной в способе 2
решения последнего примера старая переменная
н
е была явно выражена
через новую переменную , а сразу был вычислен дифференциал от обеих
частей равенства = 1 2
. Как следствие, для дифференциала было
Глава 1. Неопределенные интегралы 17
получено равенство =
, содержащее обе переменные и . При
подстановке этой формулы под знак интеграла возникло промежуточное
выражение
, в котором одновременно присутствуют старая пере-
менная
и
новая переменная . Такой прием обычно (как и в данном слу-
чае) позволяет существенно упростить выкладки, и мы будем часто использовать его в дальнейшем.
Пр
имер 1.2.3. Вычислить интеграл
+ 2+ 2
.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
+ 2+ 2 =(+ 1
)
+ 1,
имеем
+ 2+ 2
=
(
+ 1
)
+ 1
.
В
ыполним под знаком интеграла замену =
+ 1
,
= , п
олучаем
+ 2+ 2
=
=
+ 1
=
= arctg + =
= arctg
(
+ 1)+ .
З
амечание. При решении последнего примера можно было не выпи-
сывать замену =
+ 1
явно, а выполнить следующие преобразования:
+ 2+ 2
=
=
(
+ 1
)
+ 1
=
18 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
(+ 1
)
(
+ 1
)
+ 1
=
=arctg
(
+ 1)+ .
Здесь было использовано равенство (+ 1)= , являющееся прямым
следствием формулы (
)
=
()
.
Пр
имер 1.2.4. Вычислить интеграл
+ + 1
.
Решение. Выделим под корнем полный квадрат:
+ + 1 =
=
+ 2
1
2
+
1
2
+
3
4
=
=
+
1
2
+
3
4
,
получаем
+ + 1
=
+
+
.
Подберем замену под знаком интеграла так, чтобы выполнялось равенство:
+
1
2
=
3
4
,
следовательно, под знаком интеграла будет выполнена замена
+
1
2
=
3
2
=
3
2
.
После выполнения замены получаем
+ + 1
=
=
1
+
3
2
=
Глава 1. Неопределенные интегралы 19
=
+ 1
= ln ++ 1+ .
Возвращаясь в правой части с помощью формулы =
+
к
исходной переменной , получаем ответ:
+ + 1
=
=
ln
2
3
+
1
2
+
4
3
+
1
2
+ 1+ .
Пример 1.2.5. Вычислить интеграл
cos
2+
.
Решение. Выполним под знаком интеграла замену
= 2
+
3
= 2 =
1
2
,
получаем
cos
2+
=
=
1
2
cos
=
=
1
2
tg + =
=
1
2
tg 2+
3
+ .
Замечание. При решении последнего примера можно было не рас-
писывать замену явно:
cos
2+
=
20 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
1
2
2+
cos
2+
=
=
1
2
tg 2+
3
+ .
В дальнейшем мы будем часто прибегать к подобному способу
оформления решения в случае, когда нужно выполнить простую замену.
Пример 1.2.6. Вычислить интеграл
1 +
.
Решение. Легко проверить, что имеет место равенство
(
1 +
)
= 2
=
1
2
(1 +
)
,
тогда получаем
1 +
=
=
1
2
(1 +
)
1 +
=
=
1
2
ln
(
1 +
)
+ .
Замечание. Для упрощения выкладок при вычислении интегралов
полезно иметь в виду следующие очевидные равенства:
= (+ ), ;
=
1
2
(+ ), ;
=
1
, 0;
= ln , > 0;
= 2;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]