Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 221
(, )= 1 ,
(, )=
.
Проверим выполнение условия (6.5):
=
(
1 )=
,
=
(
)
= 23
.
Таким образом, рассматриваемое уравнение не является уравнением в
полных дифференциалах, но это уравнение имеет интегрирующий множи-
тель, зависящий только от (см. случай 1), так как
=
(23
)
=
=
2
2
(
)
=
=
2
= (
)
.
Найдем интегрирующий множитель (
):
()= exp
2
=
= exp
(
2 ln|
|
)
=
1
.
Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель:
1
+()= 0.
Проверим, что полученное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах, для этого обозначим
(
,
)
=
1
,
(
, )= .
222 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Проверим выполнение условия (6.5):
=
1
= 1,
=
(
)= 1,
следовательно, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решение уравнения найдем из системы (6.6):
=
1
,
= .
Из второго уравнения системы получаем
(, )= (),
следовательно,
(,
)
=
2
+ (
)
.
(6.9)
Вычислим /:
=
2
+ ()= + (
)
.
Подставляя найденное выражение для / в левую часть первого урав-
нение системы, получаем
+ (
)
=
1
,
следовательно,
()
=
1
,
тогда
()=
=
1
+ , .
Глава 6. Дифференциальные уравнения 223
Подставляя (
)
= 1
/+ в найденное выше для функции (,
)
представление (6.9), получаем решение:
2
1
= , .
За
метим, что знаменатель интегрирующего множителя
()
= 1/
обращается в ноль при
= 0
. Легко проверить, что
= 0 я
вляется реше-
нием исходного дифференциального уравнения; действительно,
(
1 0
)
0
+(0
0
)
= 0.
Таким образом, общее решение имеет вид
2
+
1
= , ,
= 0.
Пр
имер 6.7.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
2
)
+(+ + )= 0.
Решение. Обозначим
(,
)
= 2
,
(
, )=
+ + .
Проверим выполнение условия (6.5):
=
(
2
)= 41,
=
(
+ +
)
= 1
.
Таким образом, рассматриваемое уравнение не является уравнением в
полных дифференциалах, но это уравнение имеет интегрирующий множи-
тель, зависящий только от (см. случай 2), так как
=
42
(2
)
=
224 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
2
= (
)
.
Найдем интегрирующий множитель (
):
()= exp
2
=
= exp
(
2 ln|
|
)
=
1
.
Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель:
2
1
+ 1 +
+
1
= 0.
Проверим, что полученное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах, для этого обозначим
(
,
)
= 2
1
,
(
,
)
=
1 +
+
1
.
Проверим выполнение условия (6.5):
=
2
1
=
1
,
=
1 +
+
1
=
1
,
следовательно, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решение уравнения найдем из системы (6.6):
= 2
1
,
= 1 +
+
1
.
Из первого уравнения системы получаем
(, )= 2
1
,
Глава 6. Дифференциальные уравнения 225
следовательно,
(, )=
+ (
)
.
(6.10)
Вычислим /:
=
+ ()=
=
+ (
)
.
Подставляя найденное выражение для / в левую часть второго урав-
нение системы, получаем
+ (
)
= 1 +
+
1
,
следовательно,
()
= 1 +
1
,
тогда
()= + ln||+ , .
Подставляя ()= + ln||+ в найденное выше для функции
(,
)
п
редставление (6.10), получаем решение:
+ + ln||= , .
За
метим, что знаменатель интегрирующего множителя
(
)
= 1
/
обращается в ноль при = 0. Легко проверить, что = 0 является реше-
нием исходного дифференциального уравнения; действительно,
(
2
0
0
)
+
(
0
+ + 0)0
= 0.
Таким образом, общее решение имеет вид
+ + ln||= , ,
226 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= 0.
Пример 6.7.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
sin + cos )+(cos sin )= 0 .
Решение. Обозначим
(, )= sin + cos ;
(, )= cos sin .
Проверим выполнение условия (6.5):
=
(
sin + cos
)
=
= cos + cos sin ,
=
(
cos sin )= cos .
Таким образом, рассматриваемое уравнение не является уравнением в
полных дифференциалах, но это уравнение имеет интегрирующий множи-
тель, зависящий только от (см. случай 1), так как
=
cos sin
cos sin
= 1 = (
)
.
Найдем интегрирующий множитель ():
()= exp =
.
Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель:
(
sin + cos )
+(cos sin )= 0.
Проверим, что полученное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах, для этого обозначим
(
,
)=(
sin + cos )
;
(
,
)=(
cos sin )
.
Проверим выполнение условия (6.5):
Глава 6. Дифференциальные уравнения 227
=
(
sin + cos )
=
=
(
cos + cos sin )
,
=
(
cos sin )
=
=
(
cos sin + cos )
,
следовательно, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решение уравнения найдем из системы (6.6):
=
(
sin + cos )
,
=
(
cos sin )
.
Из второго уравнения системы получаем
(, )=
(cos sin ),
следовательно,
(, )=
(
sin sin + cos )+ (
)
.
(6.11)
Вычислим /:
=
(
sin sin + cos )+ ()=
=
(
sin + cos )+ (
)
.
Подставляя найденное выражение для / в левую часть первого урав-
нения системы, получаем
(
sin + cos )+ (
)=(
sin + cos )
,
следовательно,
()
= 0,
тогда
()= , .
228 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Подставляя ()= в найденное выше для функции (,
)
пред-
ставление (6.11), получаем решение
(
s
in sin + cos
)
= , .
Пр
имер 6.7.6. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
ln
+ 2 ln 1)+ 2
= 0.
Реш
ение. Обозначим
(, )= (ln + 2 ln 1
)
;
(
,
)
= 2.
П
роверим выполнение условия (6.5):
=
(ln + 2 ln 1)=
=
ln + 2 ln + 1,
=
(
2
)
= 2
.
Таким образом, рассматриваемое уравнение не является уравнением в
полных дифференциалах, но это уравнение имеет интегрирующий множи-
тель, зависящий только от (см. случай 2), так как
=
ln + 2 ln 1
(
ln
+ 2 ln 1
)
=
=
1
= (
)
.
Найдем интегрирующий множитель (
):
()= exp
1
=
= exp
(
ln|
|
)
=
1
.
Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель:
(
ln
+ 2 ln 1)+
2
= 0.
Глава 6. Дифференциальные уравнения 229
Проверим, что полученное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах, для этого обозначим
(
, )= ln + 2 ln 1
;
(
,
)
=
2
.
Проверим выполнение условия (6.5):
=
(
ln + 2 ln 1
)
=
2
,
=
2
=
2
,
следовательно, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решение уравнения найдем из системы (6.6):
= ln + 2 ln 1,
=
2
.
Из второго уравнения системы получаем
(, )=
2
,
сл
едовательно,
(, )= 2ln + (
)
.
(6.12)
Вычислим /:
=
2ln + (
)
= 2 ln +
()
.
Подставляя найденное выражение для
/
в
левую часть первого урав-
нения системы, получаем
2 ln + (
)
=
ln + 2 ln 1
,
следовательно,
()
= ln 1
,
230 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
тогда
()= ln 2+ , .
Подставляя ()= ln 2+ в найденное выше для функции
(,
)
представление (8), получаем решение
2ln + ln 2= , .
6.8. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение по-
рядка :
()
+
()
(
)
+
()
+
()
= 0,
где функции
(), (),…, () непрерывны на промежутке .
Определение. Фундаментальной системой решений линейного од-
нородного уравнения порядка называется линейно независимая система
его решений, содержащая функций.
Теорема. Пусть функции
, , …,
образуют фундаментальную
систему решений линейного однородного дифференциального уравнения
степени . Тогда любое решение этого уравнения может быть представле-
но в виде
()=
()
+
()
+ +
()
,
где
, , …, .
Для частного случая линейных дифференциальных уравнений —
уравнений с постоянными коэффициентами — имеется простой способ
нахождения фундаментальной системы решений.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с по-
стоянными коэффициентами:
()
+
()
+
+ = 0,
где
, , …, .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]