Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 3. Приложения определенного интеграла 111
Решение. Построим график функции = ln на промежутке (0; 1]
(рис 6).
Рис. 6. Площадь между логарифмом и осью абсцисс
И
з рисунка видно, что на рассматриваемом полуинтервале (0; 1] значения функции неположительны (случай 2). Найдем требуемую площадь
по формуле
= ln
.
В
оспользуемся формулой
ln = ln + ,
по
лученной в примере 1.3.1. Тогда
=
(
ln
)
|
= 1,
так как, используя правило Лопиталя, имеем равенство
lim
ln = lim
ln
1
/
=
= lim
1/
1/
= lim
()
= 0.
Пример 3.1.1.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
112 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
+
= 1, > 0, > 0.
Решение. Т
ребуемая площадь ограничена эллипсом с полуосями
и (рис 7).
Рис. 7. Площадь, ограниченная эллипсом
Так как осями симметрии графика являются обе оси координат, то
достаточно вычислить площадь части эллипса, расположенной в первой
координатной четверти (на рис. 7 она заштрихована двойной штриховкой),
и умножить ее на 4.
Часть эллипса в первой четверти ограничена сверху графиком функции
=
,
а снизу — прямой = 0.
Итак, вычислим требуемую площадь по формуле
=
4
.
Глава 3. Приложения определенного интеграла 113
Выполним замену
= s
in
, 0
2
= cos ;
имеем
=
4
sin
cos =
=
4
|cos
|
cos .
На отрезке [0;/2] функция cos принимает неотрицательные значения,
следовательно, на этом отрезке
|
cos |= cos , получаем
=4
cos
=
= 2
(
1 + cos 2
)
=
= 2+
sin 2
2
= .
3.1.2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными
параметрическими уравнениями
Рассмотрим простую замкнутую кривую , заданную параметриче-
скими уравнениями
= (
)
,
= (
)
,
,
где функции () и (
)
определены и непрерывно дифференцируемы на
[
; ]. Тогда площадь фигуры, ограниченной кривой , может быть вы-
числена по одной из следующих формул:
=
()()
=
114 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
=
()
()
=
=
1
2
(
()()
()
()
)
.
Пример 3.1.2.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью
абсцисс и кривой, заданной параметрически:
= (si
n
)
,
= (1 cos
)
,
0 2.
За
мечание. График функции из примера 3.1.2.1 представляет собой
траекторию фиксированной точки окружности радиуса , когда эта окруж-
ность «катится» по оси абсцисс. Такая кривая называется циклоидой
(рис. 8).
Рис.8. Площадь, ограниченная дугой циклоиды
Решение. Вычислим интеграл, модуль которого будет равен требуе-
мой площади:
=
()()
,
имеем
=
(1 cos
)
=
=
(1 2 cos + cos
)
.
Воспользуемся формулой понижения степени
cos
=
1 + cos 2
2
,
тогда
Глава 3. Приложения определенного интеграла 115
=
3
2
2 cos +
1
2
cos 2
=
=
3
2
2 sin +
1
4
sin 2
= 3.
Получили требуемую площадь:
= 3
.
Пример 3.1.2.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой,
заданной параметрически:
= (cos + s
in
)
,
= (sin cos
)
,
0 2 (
)
,
и = , 0.
Замечание. График функции из примера 3.1.2.2 представляет собой
траекторию конца гибкой нити, постепенно сматывающейся с неподвиж-
ной окружности радиуса таким образом, чтобы в каждой точке, где нить
отделяется от окружности, нить оставалась касательной к окружности. Такая кривая называется разверткой круга (рис. 9).
Рис. 9. Развертка круга
Реш
ение. Найдем производные функций
() и () п
о перемен-
ной :
116 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
()
=
(s
in + sin + cos
)
= cos ,
()
= (cos cos + sin )= sin ,
то
гда подынтегральная функция примет вид
()()
()
()
=
=
cos
(
s
in cos )sin (cos + sin
)
=
=
(sin cos cossin cos sin
)
=
=
.
Вычислим интеграл, модуль которого будет равен требуемой площади:
=
1
2
()()
()
()
=
=
2
=
=
6
=
4
3
.
Получили требуемую площадь:
=
4
3
.
3.1.3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в
полярных координатах
Рассмотрим кривую, заданную в полярной системе координат уравнением
= (), ,
где 0 < < 2, функция () непрерывна на [;
]
и принимает всю-
ду на этом отрезке неотрицательные значения.
Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная кривой
= () и лучами = , = .
Глава 3. Приложения определенного интеграла 117
Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по форму-
ле
=
1
2
()
.
Пример 3.1.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
= (1 + cos ), > 0.
Решение. Заметим, что неравенство 1 + cos 0 верно для всех
значений [0; 2]. С учетом формулы для площади криволинейного
сектора имеем
=
2
(1 + cos
)
=
=
2
(1 + 2 cos + cos
)
=
=
2
1 + 2 cos +
1 + cos 2
2
=
=
2
3
2
+ 2 sin +
sin 2
4
=
3
2
.
Пример 3.1.3.2. Найти площадь фигуры (трилистник), ограничен-
ной линией = sin 3.
Решение. Условие sin 30 выполняется для следующих значений
полярного угла:
0
;
3
2
3
;
4
3
;
5
3
.
Площади всех трех «лепестков» этой фигуры совпадают (рис. 10).
118 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Рис. 10. Трилистник
Тогда площадь всей фигуры равна утроенной площади одного «лепестка» (на рис. 10 он заштрихован):
=
3
2
sin3
=
=
3
4
(1 cos 6
)
=
=
3
4
sin 6
6
=
4
.
3.2. Длина дуги кривой
3.2.1. Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах
Пу
сть функция
()
непрерывно дифференцируема на [; ]. Длина
дуги = (
),
, может быть вычислена по формуле
= 1 +
()
.
Пример 3.2.1.1. Вычислить длину дуги кривой =
/
от точки
(0; 0) до точки (1; 1).
Решен
ие. С учетом формулы для вычисления длины дуги имеем
Глава 3. Приложения определенного интеграла 119
=
1 +
9
4
=
=
4
9
1 +
9
4
1 +
9
4
=
=
8
27
1 +
9
4
=
=
8
27
13
4
1.
Пример 3.2.1.2. Вычислить длину дуги кривой = ln cos ,
[0; ], 0 < < /2.
Решение. С учетом формулы для вычисления длины дуги имеем
=
1 + tg
=
=
cos
.
Умножим и разделим подынтегральную функцию на cos , получаем
=
cos
cos
=
=
sin
1 sin
=
=
1
2
ln
sin + 1
sin 1
=
= ln
1 + sin
1 sin
.
Пример 3.2.1.3. Вычислить длину дуги параболы =
от точки
(0; 0) до точки (1; 1).
120 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. С учетом формулы для вычисления длины дуги имеем
= 1 + 4
.
Мы получили интеграл от дифференциального бинома с параметрами
=
0, = 2, =
1
2
.
Так как
+ 1
+ =
0 + 1
2
+
1
2
= 1,
то выбираем третью подстановку:
1
+ 4 =
2
= 2 = .
Приведем интеграл к виду, более удобному для выполнения замены
переменных:
=
1
+ 4
=
=
(
4
)
.
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию на простые дроби:
(
4
)
=
(
2
)(
+ 2
)
=
=
1
8
1
+ 2
+
1
4
1
(
+ 2
)
+
+
1
8
1
2
+
1
4
1
(
2
)
.
Теперь переходим к вычислению интеграла:
=
1
8
1
+ 2
+
1
4
1
(
+ 2
)
+
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]