Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 5. Функции нескольких переменных 151
то этот предел называется частной производной функции по переменной
в точке и обозначается
(),
(),
() или
().
Аналогично определятся частные производные функции в точке
по остальным переменным.
Замечание. Правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций нескольких переменных. При вычислении частной производной функции по одной
переменной все остальные переменные следует считать постоянными.
Опр
еделение. Частными производными второго порядка функции
= (
, , …,
), называются частные производные от ее частных про-
изводных первого порядка.
У функции двух переменных = (, ) существует четыре частных
производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
=
(
)
=
=
;
=
(
)
=
=
;
=
=
=
;
=
=
=
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков.
Определение. Частные производные второго или более высокого
порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными
частными производными.
152 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Теорема. Если производные
и
определены и непрерывны в
некоторой области, то они равны в этой области.
Пример 5.3.1. Найти частные производные второго порядка функ-
ции
(, ) =
+
.
Решение. Сначала вычислим частные производные первого порядка:
=
(
+
)
= 42,
=
(
+
)
= + 3
.
Теперь вычислим частные производные второго порядка:
=
(
)
=
(
42
)
= 122,
=
(
)
=
(
42
)
= 2,
=
=
(
+ 3
)
= 2,
=
=
(
+ 3
)
= 6.
Пример 5.3.2. Найти частные производные второго порядка функ-
ции
(, , )=
+
+ 1, > 0, 1.
Решение. Сначала вычислим частные производные первого порядка:
=
+
+ 1
=
,
=
+
+ 1
= ln ,
=
+
+ 1
=
+ 1
.
Теперь вычислим частные производные второго порядка:
=
(
)
=
(
)
= (1)
,
=
=
(
ln
)
=
ln
.
Глава 5. Функции нескольких переменных 153
=
(
)
=
+ 1
=
=
+ 1
+ 1
=
1
(
+ 1
)
/
.
Вычислим смешанные производные функции по и :
=
(
)
=
(
)
=
=
+
ln ,
=
=
(
ln
)
=
=
ln +
,
Вычислим смешанные производные функции по и :
=
(
)
=
(
)
= 0,
=
(
)
=
+ 1
= 0.
Аналогично получаем, что
= 0 и
= 0.
5.4. Дифференцируемые функции
Пусть функция = (, ) определена в некоторой окрестности
(
) точки
.
Определение. Полным приращением функции = (, ) в точке
(
, ), соответствующим приращениям и переменных и ,
называется разность
z = (
,
)
=
=
(
+ , +
)
(,
)
.
Опр
еделение. Функция = (
, ) н
азывается дифференцируемой в
точке
(
,
), если ее полное приращение в этой точке можно предста-
вить в виде
= + + (, )+ (, )y,
154 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
где , , lim
(,
)
= 0, lim
(,
)
= 0.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если
функция = (, ) дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке
она имеет обе частные производные.
Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функ-
ция = (, ) имеет частные производные в некоторой окрестности точки
(
, ) и эти производные непрерывны в самой точке
, то функ-
ция дифференцируема в точке
.
5.5. Экстремум функции нескольких переменных
Определение. Пусть функция (),
, определена в некото-
рой окрестности (
) точки . Функция () имеет в точке
максимум (строгий максимум), если
()(
)
(
)
()< (
)
(
)
.
Определение. Пусть функция (),
, определена в некото-
рой окрестности (
) точки . Функция () имеет в точке
минимум (строгий минимум), если
()(
)
(
)
()> (
)
(
)
.
Определение. Пусть функция (),
, определена в некото-
рой окрестности (
) точки . Функция () имеет в точке
экстремум (строгий экстремум), если функция имеет в точке
максимум или минимум (соответственно, строгий максимум или строгий минимум).
Глава 5. Функции нескольких переменных 155
Необходимое условие экстремума. Если функция () имеет в
точке
экстремум и в этой точке существуют (конечные) частные произ-
водные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю.
Определение. Точки, в которых частные производные первого порядка существуют и обращаются в ноль, называются стационарными точ-
ками.
5.5.1. Достаточное условие экстремума функции
Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
Пусть для функции = (, ) точка
(
,
) является стационарной.
Обозначим
= (
) =
(,
)
,
= (
)
=
(,
)
,
= (
)
=
(,
)
,
= (
)
=
=
.
1) Если > 0, то в точке
функция имеет экстремум, при этом
если > 0, то в точке
функция имеет минимум, а если < 0, то мак-
симум.
2) Если < 0, то в точке
функция не имеет экстремума.
3) Если = 0, то для выяснения вопроса о поведении функции в
точке
необходимо провести дополнительное исследование.
Достаточное условие экстремума функции n переменных n ≥ 3.
Пусть для функции = (
, …, ), 2, точка (
, …,
) яв-
ляется стационарной. Обозначим
156 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
,
=
(
)
, , = 1,2, … , ,
=
,
,
=
,,
,,
,
=
,,,
,,,
,,,
,
…,
=
,,
,,
…
,
…
,
… …
,,
… …
…
,
.
1) Если выполняются неравенства
> 0, > 0, …,
> 0, то в
точке
функция имеет минимум.
2) Если знаки
, = 1,2, … , , чередуются, причем
< 0, то в точке
функция имеет максимум.
Замечание. Вопрос о наличии экстремума функции 2 перемен-
ных в точке
сводится к тому, является ли знакоопределенной квадра-
тичная форма, заданная симметричной матрицей
=
,,
,,
…
,
…
,
… …
,,
… …
…
,
.
1) Если эта квадратичная форма является положительно определен-
ной, то функция имеет в точке
минимум, а если она является отрица-
тельно определенной, то максимум.
2) Если квадратичная форма является неопределенной, т. е. может
принимать значения противоположных знаков, то в точке
нет экстре-
мума.
Глава 5. Функции нескольких переменных 157
3) Если квадратичная форма является полуопределенной, т. е. не может принимать значения разных знаков, но обращается в ноль не только
при нулевых значениях аргументов, то вопрос о наличии экстремума в
точке
требует дополнительного исследования.
По критерию Сильвестра квадратичная форма, заданная матри-
цей , положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры
(= 1,2, … , ) положительны, и отрицательно определена
тогда и только тогда, когда знаки ее угловых миноров
(= 1,2, … , )че-
редуются, причём
< 0. Именно этот критерий использован в достаточ-
ном условии экстремума функции переменных, приведенном выше.
Пример 5.5.1.1. Исследовать на экстремум функцию
(, ) =(+ 2
)
+
(
1
)
.
Решение. Эта функция определена и дифференцируема во всех точ-
ках (, )
. Найдем стационарные точки как решения системы уравне-
ний
= 2
(
+ 2
)
= 0,
= 2
(
1
)
= 0,
= 2,
= 1.
Таким образом, найдена единственная стационарная точка (2; 1).
Для определения характера стационарной точки вычислим частные про-
изводные второго порядка:
= 2,
= 0,
= 2,
следовательно, в точке имеем
= 2 > 0,
=
2 0
0 2
= 4 > 0.
Значит, точка является точкой минимума.
Пример 5.5.1.2. Исследовать на экстремум функцию
(, )= 4
+ + 24+ 321.
158 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
Решение. Эта функция определена и дифференцируема во всех точ-
ках (, )
. Найдем стационарные точки из системы уравнений:
= 8+ 24= 0,
= 4+ 2+ 24+ 32 = 0.
Решая систему, получаем три стационарных точки
(4; 0),
(2; 0), (3,2). Для определения характера стационарных точек вы-
числим частные производные второго порядка:
= 8,
= 8+ 24,
= 2.
1) Рассмотрим точку
(4; 0), имеем
=
(
4; 0
)
= 0,
=
(
4; 0)= 8,
=
(
4; 0
)
= 2,
=
= 0 2 (8
)
= 64 < 0.
Так как < 0, то в точке
нет экстремума.
2) Рассмотрим точку
(2; 0), имеем
=
(
2; 0
)
= 0,
=
(
2; 0
)
= 8,
=
(
2; 0
)
= 2,
=
= 0 2 8= 64 < 0.
Так как < 0, то в точке
также нет экстремума.
3) Рассмотрим точку
(3; 2), имеем
=
(
3; 2
)
= 16,
=
(
3; 2
)
= 0,
=
(3; 2) = 2,
=
= 16 2 0
= 32 > 0.
Глава 5. Функции нескольких переменных 159
Так как > 0, то точка является точкой экстремума. При этом > 0,
поэтому
— точка минимума.
Пример 5.5.1.3. Исследовать на экстремум функцию
(, )=
+ 3+ 10.
Решение. Эта функция определена и дифференцируема во всех точ-
ках (, )
. Найдем стационарные точки из системы уравнений
= 3+ 6= 0,
= 4+ 3
= 0.
Решая систему, получаем две стационарные точки:
(0; 0) и
(6; 3). Для определения характера стационарных точек вычислим част-
ные производные второго порядка:
= 6+ 6,
= 6,
= 12
.
1) Рассмотрим точку
(0; 0), имеем
=
(
0; 0)= 0,
=
(
0; 0)= 0,
=
(
0; 0)= 0,
=
= 0.
Так как = 0, то требуется дополнительное исследование. Заметим, что
(; 0)=
+ 10, следовательно,
(
0; 0)= 10,
(; 0)> 10 < 0,
(; 0)< 10 > 0,
т. е. в окрестности точки
(0; 0) функция принимает значения как
большие
(
0; 0
)
, так и меньшие
(
0; 0
)
. Поэтому точка
не является
точкой экстремума функции .
160 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
2) Рассмотрим точку
(6; 3), имеем
=
(
6; 3
)
= 18,
=
(
6; 3)= 36,
=
(
6; 3
)
= 108,
=
= 18 (108)36
= 648 > 0.
Так как > 0, то точка
является точкой экстремума. При этом < 0,
поэтому
— точка максимума.
Пример 5.5.1.4. Исследовать на экстремум функцию
(, )=
+ 2
.
Решение. Эта функция определена и дифференцируема во всех точ-
ках (, )
. Найдем стационарные точки из системы уравнений
= 422= 0,
= 422= 0.
Решая систему, получаем три стационарных точки
(0; 0),
(1; 1),
(1,1). Для определения характера стационарных точек вы-
числим частные производные второго порядка:
= 122,
= 2,
= 122.
1) Рассмотрим точку
(0; 0), имеем
=
(
0; 0
)
= 2,
=
(
0; 0
)
= 2,
=
(
0; 0
)
= 2,
=
= 2 (2)(2
)
= 0.
Так как = 0, то требуется дополнительное исследование.
Предположим, что = , тогда
(, )= 2
4= 2
(
2
)
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]