Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Непрерывная математика теория и практика. Неопределенные и определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функции нескольких переменн
.pdf
Глава 6. Дифференциальные уравнения 181
=
sign
1
+ 1
.
Введем новую константу
=
; получим решение в виде
=
1
+ 1
, .
Напомним, что решением дифференциального уравнения вида (6.3)
может быть как функция
= (
)
,
так и функция
= (). В
результате
преобразования дифференциального уравнения в знаменателе были запи-
саны функции и
1, каждая из которых может обращаться в ноль,
поэтому решениями дифференциального уравнения могут оказаться функ-
ции = 0,
=
1,
= 1
. Заметим, что решение = 0 входит в получен-
ное выше решение при значении константы
= 0, поэтому потерянным
решением эта функция не является. Подстановкой в уравнение проверяем,
что функции
=
1 и
= 1
являются решением дифференциального
уравнения:
((±1)
1
)
=
(±1)
= 0 .
Итак, получен окончательный вид общего решения:
=
1
+ 1
, ;
= 1
;
= 1
.
6.2. Уравнение вида = (+ + ), 0, 0
Уравнение вида = (+ + ), 0, 0, можно свести к
уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены функции:
= +
+ ;
182 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= +
;
=
.
Отсюда получаем новое дифференциальное уравнение
= (
)
,
которое является уравнением с разделяющимися переменными.
Пример 6.2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
= cos
(
)
.
Реш
ение. Введем новую функцию
=
;
= 1;
=
+ 1.
Получаем дифференциальное уравнение относительно функции ():
+ 1 = cos .
Разделим переменные:
= cos 1;
cos
1
= .
Проинтегрируем полученное уравнение:
cos
1
= .
Вычислим интеграл, стоящий в левой части, для этого воспользуемся
формулой понижения степени:
sin
=
1 cos 2
2
cos1 = 2 sin
2
,
следовательно,
Глава 6. Дифференциальные уравнения 183
cos
1
=
sin
=
= ctg
2
+ , .
Получаем общее решение ctg
= + . Возвращаясь к исходной
функции , находим
ctg
2
= + , .
В
результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе было записано выражение cos 1, которое может обращаться в
ноль, поэтому решениями дифференциального уравнения могут оказаться
функции
= 2, , т. е. = 2, . Подстановкой функций
= 2 в уравнение + 1 = cos проверяем, что эти функции действи-
тельно являются решениями:
(
2
)
+ 1 = cos
(
2
)
= 1, .
Итак, получен окончательный вид общего решения:
ctg
2
= + , ;
=
+ 2, .
Пр
имер 6.2.2. Для уравнения (23+ 1)= 1 найти общее ре-
шение и частные решения, удовлетворяющие одному из условий:
(0)
= 1/4 и
(2)
= 1.
Решение. Введем новую функцию
=24+ 1;
= 2 4
;
=
2
4
,
получаем дифференциальное уравнение относительно функции ():
184 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
2
4
= 1;
=
24
.
Разделим переменные:
=
24
;
24
= .
П
роинтегрируем полученное уравнение
:
24
= .
В
ычислим интеграл, стоящий в левой части:
24
=
(
24
)
+ 2
24
=
=
1
2
+ 2
24
=
=
2
+ ln
|
23|+ , .
Получаем общее решение
+ ln
|
24|= + . Возвращаясь к исходной
функции , находим
24+ 1
2
+ ln|2
(
2
4+ 1 )4|= + , ,
следовательно,
ln
|
241
|
= 2
+
, .
В результате преобразования дифференциального уравнения в зна-
менателе было записано выражение 24, которое может обращаться в
ноль, поэтому решением дифференциального уравнения может оказаться
Глава 6. Дифференциальные уравнения 185
функция = 2, т. е. 24+ 1 = 2. Подставляя функцию = 2 в уравнение
= 1, получаем, что эта функция является решением:
2
2
(2)
4
= 1 .
Итак, получен окончательный вид общего решения:
ln
|
2
41
|
= 2
+ , ;
241 = 0.
Н
айдем частное решение, удовлетворяющее условию
(0)
= 1/4.
Подставляя значения
= 0, =
1/4 в общее решение, находим частное
решение 241 = 0.
Н
айдем частное решение, удовлетворяющее условию
(2)
= 1. Под-
ставляя значения
= 2
, = 1 в общее решение, получаем
ln
|
2 2 4 1 1|= 2 1 + = 2,
следовательно, находим частное решение ln
|
241
|
= 2
2.
6.3. Однородные уравнения
Определение. Функция (,
)
называется однородной функцией
степени , если для всех {0} верно равенство
(,
)
=
(,
)
.
Опр
еделение. Однородным называется уравнение вида
(
, )+ (, )= 0
,
где
функции (
, ) и (, ) я
вляются однородными функциями одина-
ковой степени.
Легко проверить, что однородное дифференциальное уравнение
(
, )+ (, )= 0
может быть записано в виде
= (,
)
,
186 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
где функция (, ) — однородная функция нулевой степени, т. е. (, )
удовлетворяет условию (,
)
= (
, ) для всех
{0}
.
О
днородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися
переменными с помощью замены функции на новую функцию по фор-
муле =
.
Пример 6.3.1. Для дифференциального уравнения
=
+
найти общее решение и частное решение, удовлетворяющее условию
(1)
= 0.
Решение. В данном уравнении функция
(
,
)
=
+
являются
однородной функцией степени 0, поэтому дифференциальное уравнение
является однородным. Выполним замену:
= = + ,
получаем
+ = +
,
=
.
Разделим переменные:
=
;
=
.
Проинтегрируем полученное уравнение
:
=
.
По
лучаем решение дифференциального уравнения:
= ln
|
|
+ , .
Возвращаясь к исходной функции , с учетом формулы = /
находим общее решение:
Глава 6. Дифференциальные уравнения 187
/
= ln
||
+ , .
Найдем частное решение, удовлетворяющее условию
(1)
= 0. Под-
ставляя = 1 и = 0 в общее решение
/
= ln
||
+ , находим = 0,
следовательно, частное решение, удовлетворяющее условию
(1)
= 0,
имеет вид
/
= ln
||
.
Пример 6.3.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
+ 2)= 0.
Решение. В данном уравнении обе функции (, )= + 2 и
(, )= являются однородными функциями степени 1, поэтому диф-
ференциальное уравнение является однородным. Выполним замену:
= = + ,
получаем
(
+ 2)(+
)
= 0.
Разделим обе части уравнения на :
(
1 + 2)(+
)
= 0.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
(
1 + )= 0.
Разделим переменные:
=
1 +
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
=
1 +
,
получаем
ln
||
+ = ln|1 + |, .
Возьмем экспоненту от обеих частей последнего равенства:
= 1 + , .
Возвращаясь к исходной функции , с учетом формулы = / находим
188 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
= 1 +
, ,
следовательно,
=
, .
В процессе преобразования дифференциального уравнения, после
разделения переменных, в знаменателе были записаны выражения + 1
и .
Выражение = 0 является потерянным решением, так как при под-
становке = 0 в исходное уравнение получаем тождество:
(
0 + 2)0
0
= 0.
Кроме того, функция = 0 (здесь мы рассматриваем функцию () неза-
висимой переменной ) не может быть получена из общего решения диф-
ференциального уравнения =
ни при каком значении константы
.
Выражение + 1 равно нулю при = 1. Однако решение = 1
не является потерянным, так как получается из общего решения диффе-
ренциального уравнения = + 1 при = 0.
Итак, получен окончательный вид общего решения:
=
, ;
= 0.
Пример 6.3.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
(
)
+ (2+ )= 0.
Решение. В данном уравнении обе функции (, )=
и
(, )= (2+
)
являются однородными функциями степени 2, поэто-
му дифференциальное уравнение является однородным. Выполним замену
= = + ,
получаем
Глава 6. Дифференциальные уравнения 189
(
)
+
(2
+
)(
+
)
= 0.
Р
азделим обе части уравнения на
:
(
1)+ (2 + )(+
)
= 0
.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
(
+ 31)+ (2 + )= 0.
Разделим переменные:
=
+ 2
+ 31
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
=
+ 2
+ 31
.
Вычислим интеграл, стоящий в правой части:
+ 2
+ 31
=
=
1
3
3
+ 6
+ 31
=
=
1
3
(
+ 31)
+ 31
=
=
1
3
ln
|
+ 31|+ , .
Получаем решение дифференциального уравнения:
ln|
|
=
1
3
ln
|
+ 31|, .
Во
зьмем экспоненту от обеих частей последнего равенства, после упроще-
ния функции получим
=(
+ 31), .
Возвращаясь к исходной функции , с учетом формулы = / находим
=
+ 3
1, ,
190 А. В. Абрамян. Непрерывная математика: теория и практика
следовательно,
=
+ 3, .
В процессе преобразования дифференциального уравнения, после
разделения переменных, в знаменателе были записаны и
+ 31.
Выражение = 0 не является потерянным решением, так как при
подстановке = 0 в исходное уравнение получаем соотношение
(
0
)
0
+ (2 0 +
)
= 0,
т. е. равенство
= 0, которое не является тождеством.
Выражение
+ 31 обращается в ноль хотя бы при одном ве-
щественном значении , поэтому решениями дифференциального уравнения может оказаться функция = , где вещественное число является
корнем уравнения
+ 31 = 0. Однако решение = не является
потерянным, так как получается из общего решения =(
+ 31)
при выборе = 0.
Итак, получено общее решение
+ 3= , .
6.4. Уравнение, сводящееся к однородному
Рассмотрим уравнение вида
=
+ +
+ +
в случае, когда это уравнение не сводится к уравнению с разделяющимися
переменными или к уравнению = (+ + ), 0, 0, которое
мы решали в п. 6.2. Обозначим
=
.
Далее рассмотрим два случая.
Случай 1. Если = 0, то строки определителя пропорциональны
и, следовательно, дифференциальное уравнение можно переписать в виде:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]