Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 35. Некоторые алгебры с двумя бинарными операциями 291
между собой по модулю 5. Получим множество
P = hC0, C1, C2, C3, C4i.
Операции сложения и умножения на P зададим так, как в предыдущем примере. Ниже приведены таблицы Кэли для сложения и
умножения на P.
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 1 0
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
· 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Эти таблицы и правила операций показывают, что в (P ; +, ·) нет
делителей нуля, (P ; +) — абелева группа и (P∗; ·) — также абелева
группа. Следовательно, (P ; +, ·) — это конечное поле. Такое поле
называют полем Галуа из пяти элементов и в литературе обозначают
GF(5).
Алгебры, построенные в примерах 10 и 11, различаются своим
строением не случайно. Различия обусловлены числами 6 и 5. В
первом случае число 6 = 2 ·3 — составное, во втором 5 = 1 ·5 = 5 · 1 —
простое. Предоставляем вам убедиться самостоятельно в том, что при
составном целом положительном n = m · k, m 6= 1, k 6= 1 кольцо Z
вычетов по модулю n будет содержать делители нуля и поэтому полем
не будет. При простом n = p это кольцо будет полем Галуа из p
элементов GF(p). Заметим, что любое конечное поле называется полем
n
Галуа (по имени их первого исследователя, гениального математика
Эвариста Галуа), строение этих полей хорошо изучено. Подробнее с
такими полями читатель может ознакомиться в [7, с. 403]. Далее, в
этой же книге [7] можно изучить доказательство следующей теоремы
Теорема Веддербарна. Конечное тело T всегда коммутативно и
поэтому является конечным полем Галуа.
10*
292 Глава 7. Основные алгебраические структуры
В завершение приведем еще одно определение.
Определение 22. Подмножество R1⊆ R кольца (R;+,·), за-
мкнутое относительно операций (+) и (·) и являющееся кольцом
относительно этих операций, называется подкольцом кольца (R; +, ·).
Определение 23. Подмножество P1⊆ P поля (P ; +, ·), замкну-
тое относительно операций (+) и (·) и являющееся полем относительно
этих операций, называется подполем поля (P ; +, ·).
Из этих определений ясно, что (Z; +, ·) — это подкольцо колец
(K; +, ·), (R; +, ·) и (Q; +, ·), которые сами являются полями, в то же
время поле (Q; +, ·) — подполе полей (K; +, ·) и (R; +, ·), а поле (R; +, ·)
есть подполе поля (K; +, ·).
Упражнения для самостоятельной работы
1. Выяснить, является ли группой каждое из приведенных множеств
по указанной операции над его элементами:
а) неотрицательные целые числа относительно сложения;
б) положительные рациональные числа относительно деления;
в) матрицы порядка n с целыми элементами и определителем,
равным ±1 относительно умножения;
г) действительные многочлены степени n от неизвестного x относительно сложения.
2. Построить группу симметрий правильного пятиугольника и записать ее таблицу Кэли.
3. Построить группу симметрий тетраэдра и записать ее таблицу Кэли.
4. Записать все подстановки симметрической группы S3, найти все ее
подгруппы и построить таблицу Кэли S3.
5. Выяснить, какие из следующих множеств являются кольцами (но не
полями) и какие полями относительно естественных или указанных
операций:
а) целые числа, кратные данному натуральному n;
б) комплексные числа вида a + bi с целыми a и b;
в) комплексные числа вида a + bi с рациональными a и b;
г) матрицы порядка n с целыми элементами относительно сложения и умножения матриц;
д) многочлены от одного неизвестного x с целыми коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения.
6. Показать, что множество скалярных матриц порядка n относительно
обычных операций сложения и умножения с целыми элементами обра-
§ 35. Некоторые алгебры с двумя бинарными операциями 293
зуют кольцо (но не поле), а с действительными элементами образуют
поле.
7. Выяснить, является ли кольцом множество всех многочленов с
коэффициентами из кольца Z6вычетов по модулю 6.
8. Доказать, что множество всех многочленов с коэффициентами из
поля GF(5) вычетов по модулю 5 является кольцом.
9. Многочлен f(x) = x4+ 3x3+ 2x2+ x + 4 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 5.
10. Построить таблицу Кэли поля GF(7) вычетов по модулю 7.
Г л а в а 8
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Основная задача этой главы состоит в построении и изучении
«векторной алгебы» как, с одной стороны, необходимого инструмента
изучения аналитической геометрии и как самостоятельного раздела
математики, имеющего очень важное прикладное значение — с другой. Мы будем исходить из того, что читатель, окончивший среднюю
школу, интуитивно представляет простейшие геометрические объекты,
такие как точка, прямая, луч, отрезок, плоскость и т. п. Далее, студент
должен быть хорошо знаком с простейшими понятиями и задачами
аналитической геометрии: понятием направленного отрезка на плоскости и в пространстве, декартовой прямоугольной системой координат
на плоскости и в пространстве, расстоянием между двумя точками,
делением отрезка в данном отношении и т. п. При небходимости этот
материал можно найти в любом учебнике по аналитической геометрии,
например, в [8]. В этой главе будут рассматриваться плоскости и
трехмерное физическое пространство, известные еще по школьному
курсу.
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве.
Линейные операции над векторами
Определение 1. Любой направленный отрезок на плоскости или
в пространстве будем называть вектором, соответственно на плоскости
или в пространстве.
Понятие «вектор» уже ранее употреблялось в главах 4 и 5.
Исторически слово «вектор» возникло в смысле приведенного сейчас определения 1. С развитием математики и физики появились
математические объекты, основные свойства которых совпадали со
свойствами уже известных «векторов» (по определению 1) и, вполне
естественно, эти новые объекты (которые рассматривались ранее в
главах 4 и 5) также стали называть векторами. Более подробная связь
была описана в §16 гл. 4 и §22 гл. 22.
Как известно, отрезок называется направленным, если указано,
какая из его граничных точек является началом, а какая концом.
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 295
При этом, как правило, векторы обозначают двумя способами. Когда
небходимо указать начало и конец вектора, его обозначают двумя
большими латинскими буквами AB, где A — точка начала вектора,
а B — точка его конца, отличная от A. Геометрически вектор AB
изображают (рисуют) в виде стрелки, где A — начало стрелки, а B ее
конец. Часто начало вектора называют точкой его приложения. Если
начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называют
нулевым.
В тех случаях, когда нет необходимости отмечать начало и конец
вектора, его обозначают одной малой жирной латинской буквой a и
рисуют также в виде стрелки, при этом предполагая, что всегда можно
указать точки начала и конца этого вектора (рис 8.1). Нулевой вектор
мы будем обозначать символом 0.
B
a
A
Рис. 8.1
Если ненулевой вектор рассматривается в декартовой прямоугольной системе координат, то его начало и конец однозначно определяют прямую, на которой он расположен, а положение стрелки задает
направление этого вектора. Нулевой вектор направления не имеет.
Поскольку вектор является отрезком (направленным), то, как всякий
отрезок, он имеет длину. Обычно для обозначения длины вектора
используют символ модуля (или абсолютной величины) числа. Длину
вектора AB обозначают |AB|, а для a длину записывают как |a|.
Единственный геометрический вектор (стрелка), имеющий нулевую
длину, — это нулевой вектор, |0| = 0.
Определение 2. Ненулевые векторы называются коллинеарными, или параллельными, если прямые, которые эти векторы определяют, параллельны или совпадают.
При этом параллельные векторы могут быть одинаково или противоположно направленными. Считается, что нулевой вектор параллелен любому вектору (рис. 8.2).
a
a
b
Рис. 8.2
b
296 Глава 8. Векторная алгебра
Определение 3. Векторы a и b называются пропорциональными,
если они параллельны и |a| = λ|b| для некоторого неотрицательного
действительного числа λ.
Определение 4. Два ненулевых геометрических вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если прямые, которые
эти векторы определяют, перпендикулярны.
Нулевой вектор полагают ортогональным любому вектору. Необходимо уметь различать равные и неравные векторы.
Определение 5. Векторы называются равными, если они параллельны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Нулевые
векторы считаются равными, ненулевой и нулевой вектор — неравными.
Из определения 5 следует, что равные векторы могут иметь
разные точки приложения (начальные точки). Если в выбранной прямоугольной декартовой системе координат (на плоскости или в пространстве) рассмотреть множество V всех векторов (плоскости или
пространства), начало которых находится в начале координат, то мы
получим все различные векторы или на плоскости, или в пространстве.
Любой другой вектор, точка приложения которого отлична от начала
координат, будет равен одному из V.
Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат с началом в точке O = (0, 0). Рассмотрим множество V2всех
геометрических векторов плоскости, начало которых находится в начале выбранной системы координат. Тогда каждый вектор из V2однозначно определяется положением (координатами) точки конца этого
вектора. Рассмотрим произвольный вектор a из V2. Пусть a = OA,
где A — точка конца вектора a. Если в выбранной прямоугольной
декартовой системе координат точка A имеет координаты (α, β), то,
как известно из школьного курса, вектор a будет иметь кординаты
(α − 0, β −0) = (α, β) в выбранной системе координат (рис. 8.3).
y
A(α, β)
β
a
0
Рис. 8.3
α
x
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 297
Тогда можно геометрический вектор a однозначно записать алгебраическим символом — числовой строкой
a = OA = (α, β).
Таким образом, мы получили, что каждому геометрическому вектору из V2соответствует единственная упорядоченная числовая строка
длины два и каждая упорядоченная числовая строка длины два определяет единственный геметрический вектор в V2.
В §16 гл. 4 рассматривается n-мерное векторное (арифметическое) пространство An, элементами которого являются все упорядоченные числовые строки длины n. Таким образом, мы установили взаимно
однозначное соответствие между элементами V2и A2. Заметим, при
таком соответствии: строке i = (1, 0) соответствует вектор i = {1, 0},
расположенный по оси абсцисс выбранной декартовой прямоугольной
системы координат, строке j = (0, 1) – вектор j = {0, 1}, расположенный по оси ординат. Поскольку строки i = (1, 0) и j = (0, 1) не пропорциональны, то они линейно независимы и, следовательно, составляют
базис пространства A2. Согласно определению 4 векторы i = {1, 0} и
j = {0, 1} ортогональны и имеют единичную длину. Поэтому, если в
A2ввести скалярное произведение двух строк (§27 гл. 6) как сумму
произведений одноименных координат строк сомножителей, то тогда
строки i = (1, 0) и j = (0, 1) образуют ортонормированный базис уже
в евклидовом пространстве E2.
В определениях 7 и 8 гл. 4 вводятся две операции на строках
Anдля любого натурального n: сложение строк и умножение строки
на действительное число. Рассмотрим геометрическую интерпретацию
этих операций. Пусть в заданной декартовой прямоугольной системе
координат с началом в точке O точка A имеет координаты (α1, β1),
а точка B координаты (α2, β2). Тогда геометрическому вектору OA
из V2соответствует числовая строка (α1, β1) из A2, а вектору OB —
строка (α2, β2). Выберем на плоскости точку C с координатами (α1+
+ α2, β1+ β2) и рассмотрим четырехугольник OBCA. Длина стороны
OA равна длине вектора OA:
|OA| = +qα
2
1
+ β
2
.
1
Вычислим длину стороны BC, т. е. длину вектора BC:
|
BC| = +q((α1+ α2) − α2)2+ ((β1+ β2) − β2)2= +qα
+ β
2
.
1
2
1
298 Глава 8. Векторная алгебра
Таким образом, длины сторон OA и BC равны. Аналогично показывается, что длина стороны OB равна длине стороны AC. Следовательно,
четырехугольник OBCA — параллелограмм, а вектор OC — его диагональ. Но геометрическому вектору OC из V2соответствует числовая
строка (α1+ α2, β1+ β2) (рис. 8.4). Как известно из определения 1 §22,
для построения на элементах V2линейного пространства, прежде всего
на V2, необходимо ввести две операции: сложение геометрических
векторов и умножение их на действительные числа. Теперь понятно,
что в качестве операции сложения на V2логично применять известное «правило параллелограмма», где суммой любых двух ненулевых
геометрических векторов из V2будет вектор из V2, который является
диагональю параллелограмма, построенного на векторах слагаемых,
как на сторонах.
y
C(α1+ α2, β1+ β2)
B(α2, β2)
A(α1, β1)
0
Рис. 8.4
x
Рассмотрим вторую операцию линейного пространства — умножение его элементов на действительные числа. Пусть, как и ранее,
в заданной декартовой прямоугольной системе координат с началом
в точке O точка A имеет координаты (α, β). Тогда геометрическому
вектору OA из V2соответствует числовая строка (α, β) из A2. Умножим эту строку (как элемент из A2) на некоторое число λ и получим
строку (λα, λβ), которая соответствует вектору OB с концом в точке
B с координатами B(λα,λβ). Вектор OA определяет на плоскости
прямую, проходящую через начало координат. Поэтому ее уравнение
можно записать как y = kx для некоторого углового коэффициента k.
Поскольку точка A лежит на этой прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению β = kα. Очевидно, что координаты (λα,λβ) точки
B также удовлетворяют уравнению прямой y = kx. Следовательно,
точка B также лежит на прямой y = kx, т. е. геометрические векторы
OA и OB лежат на одной прямой. Очевидно, что длины векторов OA
и OB пропорциональны как отрезки. Понятно, что коэффициентом
пропорциональности этих отрезков будет число λ. Значит, векторы OA
и OB пропорциональны. Так как (λα, λβ) = λ(α, β), то естественно
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 299
определить умножение в V2как
OB = λOA.
Таким образом, мы доказали изоморфизм
∼
V
A2.
=
2
Определение пропорциональных векторов теперь можно сформулировать следующим образом.
Определение 6. Векторы a и b называются пропорциональными,
если существует такое число λ, что выполняется равенство a = λb, при
этом число λ называется коэффициентом пропорциональности этих
векторов.
Замечание 1. Если λ > 0, то, когда векторы a и b ненулевые,
они одинаково направлены, а если λ < 0 — противоположно направлены. Это вытекает из равенства (λα, λβ) = λ(α, β) — между
соответствующими данным векторам числовыми строками. Если
λ > 0, то концы векторов a и b расположены по одну сторону от
начала координат, если λ < 0 — разные стороны.
Замечание 2. Поскольку V
∼
A2, то операции сложения гео-
=
2
метрических векторов и умножения их на действительные числа
имеют те же свойства, которые имели операции сложения строк
и умножения их на число в A2(см. §16 гл. 4). Так же на геометрические векторы из V2переносятся понятия из A2линейных
комбинаций, линейной зависимости и независимости векторов.
Необходимо дать геметрическую интерпретацию понятия линейной зависимости двух векторов в V2. По определению, если система
векторов a, b линейно зависима, то один вектор линейно выражается
через другой, т. е.
a = λb,
для некоторого числа λ. Но тогда эти векторы пропорциональны, т. е.
коллинеарны. Таким образом, справедлива теорема 8.1.
Теорема 8.1. Два вектора линейно зависимы тогда и только
тогда, когда они коллинеарны.
Следствие. Два вектора образуют линейно независимую систему
тогда и только тогда, когда они непараллельны.
300 Глава 8. Векторная алгебра
Линейное пространство A2имеет размерность два, следовательно, пространство геометрических векторов V2также двумерно, а векторы i = (1, 0) и j = (0, 1) образуют его ортонормированный базис.
Теперь любой вектор OA с концом и точке A(α, β) будем записывать
в виде
OA = αi + βj. (8.1)
Геометрически это означает, что вектор OA является диагональю в
параллелограмме, построенном на векторах αi и βj как на сторонах.
Замечание 3. Любые два непараллельных вектора a и b на
плоскости образуют линейно независимую систему (см. следствия
теоремы 8.1.), а потому базис двумерного пространства геометрических векторов.
Сформулируем это в виде теоремы.
Теорема 8.2. Если a и b — два непараллельных вектора на
плоскости, то для любого вектора x этой плоскости существуют
однозначно определенные действительные числа α и β такие, что
выполняется равенство
x = αa + βb.
Базис i, j является частным, но здесь (в аналитической геометрии) наиболее удобным.
Теорему 8.2 полезно формулировать иначе.
Теорема 8.20. Любые два непараллельных вектора на плоскости
порождают все множество векторов этой плоскости, или составляют
минимальную систему порождающих множества всех векторов плоскости.
Мы рассмотрели все вопросы, связанные с положением векторов на плоскости: координатизация, линейные операции над векторами, взаимное расположение векторов (параллельность, перпендикулярность) и пр. Будет очень полезно самостоятельно подробно изучить
аналогичные вопросы, связанные с положением векторов в трехмерном
пространстве. Здесь мы расставим только необходимые акценты и
отметим наиболее важные результаты.
Определения геометрических векторов, их параллельности (коллинеарности), пропорциональности, перпендикулярности (ортогональности), равенства двух векторов, понятие длины вектора, нулевого
вектора сформулированы в первой части этого параграфа и для плоскости, и для трехмерного пространства.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]