Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 28. Ортогональные системы. Ортонормированный базис 241
Пусть теперь для любых векторов a и b, записанных в базе
e1, e2, .. . , enв виде разложений (6.13), их скалярное произведение
вычисляется по формуле (6.14). Подставляя в эту формулу поочередно
любые пары векторов базы e1, e2, .. . , en, получим равенства (6.12); т. е.
эта база ортонормированная. Теорема доказана.
Из теоремы 6.8 с использованием доказательства теоремы 6.1
вытекает результат, который показывает, что в евклидовых пространствах, размерность которых больше трех, единственный метрический
инструмент — это скалярное произведение векторов. А именно справедлива теорема 6.9.
Теорема 6.9. Если в n-мерном линейном пространстве Vnвыбра-
на произвольная база, то в Vnможно так задать скалярное произведение, что в полученном евклидовом пространстве выбранная база будет
одной из ортонормированных баз. И обратно, если задано скалярное
произведение векторов, то можно выбрать базис так, что оно будет
равно сумме произведений одноименных координат.
Изучая линейные пространства, мы доказали теорему 5.1, из
которой следует, что для любого натурального числа n имеет место
∼
V
An. Таким образом, строение линейного пространства однознач-
=
n
но определяется его размерностью. Возникает вопрос: появляется ли
разнообразие в строении пространств с введением скалярных произведений векторов? Этот вопрос приобретает еще б´ольшую актуальность
в связи с тем, что в каждом конкретном линейном пространстве
скалярное произведение векторов можно задавать многими способами.
Мы распространим понятие изоморфизма на евклидовы пространства
и ответим на поставленный вопрос.
Определение 11. Евклидовы пространства E и E0называются
изоморфными, если между векторами этих пространств можно установить такое взаимно однозначное соответствие ϕ, что выполняются
условия:
1) соответствие ϕ будет изоморфизмом, т. е. E и E0изоморфны
между собой как линейные пространства;
2) соответствие ϕ сохраняет скалярное произведение, т. е. если
для a, b ∈ E образами в E0являются векторы a0= aϕ и b0= bϕ, то
(a, b) = (a0, b0). (6.15)
Как и для линейных пространств, факт изоморфизма евклидовых
пространств E и E0будем сокращенно записывать в виде E
∼
=
E0.
242 Глава 6. Евклидовы пространства
Из условия 1) определения 11 следует, что изоморфные ев-
клидовы пространства имеют равные размерности. Оказывается
справедливо и обратное утверждение.
Теорема 6.10. Если евклидовы пространства E и E0имеют
одинаковую размерность n, то они изоморфны:
∼
E
=
E0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в пространствах E и E0ортонормированные базы
e1, e2, .. . , e
n
(6.16)
и соответственно
0
0
e
, e
, .. . , e
1
2
0
. (6.17)
n
Обозначим через ϕ такое взаимно однозначное соответствие между
векторами пространств E и E0, при котором каждому вектору
n
X
a =
i=1
αie
i
пространства E соответствует вектор
n
X
a0=
i=1
αie
0
i
пространства E0, имеющий те же координаты в базе (6.17), что
и вектор a в базе (6.16). Очевидно, что ϕ — изоморфизм линейных
пространств E и E0и условие 1 определения 11 выполнено. Покажем,
что ϕ удовлетворяет и второму условию. Если
b =
n
X
βiei, b0=
i=1
n
X
i=1
βie
0
,
i
то в соответствии с теоремой 6.8 получаем
n
X
(a, b) =
αiβi= (a0, b0).
i=1
Теорема доказана.
Таким образом, для любого натурального числа n существует
единственное n-мерное евклидово пространство в том же смысле,
§ 28. Ортогональные системы. Ортонормированный базис 243
в каком для любого n существует единственное n-мерное действительное линейное пространство.
Пример 1. Векторы a = (4, 1, 2, 2) и b = (1, 3, 3, −9) заданы
в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства E4.
Определить угол ϕ между этими векторами.
Решение. Имеем
|a| =p(a, a) =√16 + 1 + 4 + 4 = 5,
|b| =p(b, b) =√1 + 9 + 9 + 81 = 10,
(a, b) = 4 + 3 + 6 + (−18) = −5,
cos ϕ =
(a, b)
|a||b|
=
−5
= −0,1, ϕ = arccos(−0,1) ≈ 174◦150.
5 · 10
Пример 2. Векторы e1, e2, e3, e4образуют ортонормированный
базис евклидова пространства E4. При каком значении λ векторы
f1= λe1+ e2+ e3+ e4,
f2= e1+ λe2+ e3+ e4,
f3= e1+ e2+ λe3+ e4,
f4= e1+ e2+ e3+ λe
4
составляют ортогональный базис? Нормировать этот базис.
Решение. Так как векторы e1, e2, e3, e4составляют ортонормиро-
ванную систему, то для всех i 6= j (fi, fj) = λ + λ + 1 + 1 = 0. Значит,
λ = −1 и
f1= −e1+ e2+ e3+ e4,
f2= e1− e2+ e3+ e4,
f3= e1+ e2− e3+ e4,
f4= e1+ e2+ e3− e
4
попарно ортогональны. Далее, |e
0
e
= 0,5(−e1+ e2+ e3+ e4),
1
0
e
= 0,5(e1− e2+ e3+ e4),
2
0
e
= 0,5(e1+ e2− e3+ e4),
3
0
e
= 0,5(e1+ e2+ e3− e4)
4
0
| =√1 + 1 + 1 + 1 = 2. Тогда векторы
i
составляют ортонормированный базис.
Пример 3. Проверить, что следующие векторы, заданные в некотором ортонормированном базисе, ортогональны, и дополнить их до
ортогонального базиса:
244 Глава 6. Евклидовы пространства
a1= (1, −2, 2, −3),
a2= (2, −3, 2, 4).
Решение. Так как (a1, a2) = 1 · 2 + (−2) · (−3) + 2 · 2 + (−3) ·4 =
= 12 − 12 = 0, то векторы a1и a2ортогональны. Найдем все векторы
x = (x1, x2, x3, x4) евклидова пространства E4, которые одновременно
ортогональны векторам a1и a2, т.е. (a1, x) = 0, (a2, x) = 0. Получаем
систему уравнений
x1− 2x2+ 2x3− 3x4= 0,
2x1− 3x2+ 2x3+ 4x4= 0.
Общее решение системы:
(2x3− 17x4, 2x3− 10x4, x3, x4),
фундаментальная система решений:
(2, 2, 1, 0), (−17, −10, 0, 1).
Обозначим
b3= (2, 2, 1, 0),
b4= (−17, −10, 0, 1).
Векторы b3и b4попарно ортогональны векторам a1и a2. Применим
процесс ортогонализации к векторам b3и b4. Пусть a3= b3, a4= λa3+
+ b4. Тогда
0 = (a3, a4) = (a3, λa3+ b4) = λ(a3, a3) + (a3, b4),
λ = −
(a4, b3)
(a3, a3)
= −
−34 − 20
= 6.
9
Таким образом,
a4= 6(2, 2, 1, 0) + (−17, −10, 0, 1) = (−5, 2, 6, 1).
Теперь система векторов
a1= (1, −2, 2, −3),
a2= (2, −3, 2, 4),
a3= (2, 2, 1, 0),
a4= (−5, 2, 6, 1)
составляет ортогональный базис евклидова пространства E4.
§ 29. Ортогональные преобразования евклидовых пространств 245
§ 29. Ортогональные преобразования
евклидовых пространств
Рассмотрим два вида специфичных линейных преобразований
евклидовых пространств, которые в дальнейшем понадобятся при изучении квадратичных форм: мы будем использовать их в качестве
основного инструмента при решении вопроса о приведении действительной квадратичной формы к каноническому виду. Заметим, что
всякое линейное преобразование евклидова пространства прежде
всего является его линейным преобразованием как линейного пространства.
Поскольку любое линейное преобразование линейного пространства в каждой его базе записывается матрицей, то мы вначале рассмотрим совокупность тех матриц, которыми, как это потом будет
доказано, наиболее эффективно записываются ортогональные преобразования евклидовых пространств.
Определение 12. Квадратная невырожденная матрица Q назы-
вается ортогональной, если ее обратная матрица равна транспонированной:
Q−1= QT. (6.18)
Из определения ясно, что для ортогональных матриц справедливы равенства
QQT= QTQ = E. (6.19)
Утверждение 1. Квадратная матрица Q тогда и только тогда
будет ортогональной, когда сумма квадратов всех элементов любой ее
строки (столбца) равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух ее различных строк (столбцов) равна
нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство утверждения немедленно
следует из равенств (6.19).
Из свойства 1 определителей |Q| = |QT|, поэтому для ортогональной матрицы Q справедливо
|Q|2= 1,
значит, |Q| = ±1, т. е. определитель ортогональной матрицы равен
±1.
246 Глава 6. Евклидовы пространства
Утверждение 2. Матрица, обратная к ортогональной, сама будет
ортогональной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, транспонируя обе части
равенства (6.18), получаем
(Q−1)T= (QT)T= Q = (Q−1)−1.
Теорема 6.11. Матрица перехода от ортонормированной базы
евклидова пространства к любой другой его ортонормированной базе
ортогональна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в евклидовом пространстве Enвыбраны две ортонормированные базы e1, e2, .. . , enи e
1
, e
0
, .. . , e
2
0
с мат-
n
0
рицей перехода Q
e0= Qe. (6.20)
Из (6.20) следует, что строки матрицы Q являются координатными
строками векторов базы e0в базе e. По условию база e ортонормированная, поэтому (по теореме 6.8) скалярное произведение векторов,
записанных в этой базе, равно сумме произведений соответствующих
координат векторов сомножителей. Поэтому, перемножая скалярно
векторы базы e0, мы будем «скалярно перемножать» соответствующие
строки матрицы Q. А поскольку база e0также ортонормированная, то
«скалярные произведения» строк матрицы Q будут равны или нулю,
или единице, в зависимости от того, «перемножаются» различные
строки или одинаковые. Поэтому, из утверждения 1 настоящего параграфа получаем, что матрица Q ортогональная.
Определение 13. Линейное преобразование ϕ евклидова про-
странства Enназывается ортогональным преобразованием этого евклидова пространства, если оно сохраняет скалярный квадрат любого
вектора, т. е.
(aϕ, aϕ) = (a, a) (6.21)
для любого вектора a из En.
Из определений 13 и 4 следует, что любое ортогональное преобразование евклидова пространства сохраняет длины векторов.
Теорема 6.12. Ортогональное преобразование ϕ евклидова про-
странства сохраняет скалярное произведение любых двух векторов, т. е.
(aϕ, bϕ) = (a, b) (6.22)
для любых векторов a и b из En.
§ 29. Ортогональные преобразования евклидовых пространств 247
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ϕ — ортогональное преобразование,
то
((a + b)ϕ, (a + b)ϕ) = (a + b,a + b). (6.23)
Используя свойства линейности и ортогональности преобразования
ϕ, а также аксиомы скалярного произведения, преобразуем отдельно
левую и правую части равенства (6.23):
((a + b)ϕ, (a + b)ϕ) = (aϕ + bϕ,aϕ + bϕ) =
= (aϕ, aϕ) + (aϕ, bϕ) + (bϕ, aϕ) + (bϕ, bϕ) =
= (aϕ, aϕ) + 2(aϕ, bϕ) + (bϕ, bϕ),
(a + b, a + b) = (a, a) + (a, b) + (b, a) + (b, b) = (a, a) + 2(a, b) + (b, b).
Сравним полученные выражения и после приведения подобных получим
2(aϕ, bϕ) = 2(a, b).
Равенство (6.22) доказано.
Из формулы (6.7) и замечания к определению 13 теперь ясно, что
ортогональное преобразование евклидова пространства сохраняет
не только длины векторов, но и углы между векторами пространства.
Теорема 6.13. Ортогональное преобразование евклидова пространства любую ортонормированную базу этого пространства отображает снова в ортонормированную базу. И наоборот, если линейное
преобразование евклидова пространства хотя бы одну ортонормированную базу переводит снова в ортонормированную, то это преобразование ортогонально.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕ — ортогональное преобразование
евклидова пространства En, а
e1, e2, .. . , e
n
— некоторая ортонормированная база этого пространства. Из опреде-
ления ортонормированной базы (см. 6.12)
(ei, ej) =
0, i 6= j,
1, i = j.
248 Глава 6. Евклидовы пространства
Отсюда и из определения ортогонального преобразования с применением теоремы 6.12 получаем
0, i 6= j,
(eiϕ, ejϕ) = (ei, ej) =
1, i = j.
Следовательно, система образов e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ — также ортонормированная база пространства En.
Пусть теперь линейное преобразование ϕ пространства Enотображает ортонормированную базу e1, e2, .. . , enснова в ортонормированную базу e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ этого пространства. Покажем, что в таком
случае преобразование ϕ будет сохранять скалярный квадрат любого
n
P
вектора пространства. Действительно, пусть a =
αiei— произволь-
i=1
ный вектор пространства En, тогда
n
X
aϕ =
αi(eiϕ).
i=1
Значит, вектор aϕ имеет в базе eϕ те же координаты, что и вектор a
в базе e. По условию теоремы обе базы ортонормированные поэтому
(по теореме 6.8) скалярный квадрат любого вектора равен сумме
квадратов его координат в любой из этих баз:
n
X
(a, a) =
i=1
2
α
= (aϕ, aϕ).
i
Таким образом, преобразование ϕ ортогональное. Теорема доказана.
Теорема 6.14. Ортогональное преобразование евклидова пространства в любой ортонормированной базе этого пространства задается ортогональной матрицей. Обратно, если линейное преобразование
евклидова пространства хотя бы в одной ортонормированной базе задается ортогональной матрицей, то это преобразование ортогонально.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕ — ортогональное преобразование
евклидова пространства En. Выберем произвольным образом ортонормированную базу e1, e2, .. . , enэтого пространства. По предыдущей теореме система образов e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ также будет ортонормированной
базой пространства En. Следовательно, матрица A преобразования ϕ
в базе e:
eϕ = Ae, (6.24)
§ 30. Геометрическая интерпретация ортогональных преобразований 249
есть матрица перехода от ортонормированной базы e к ортонормированной базе eϕ и (по теореме 11.6) она ортогональна.
Если теперь линейное преобразование ϕ пространства Enзадается в ортонормированной базе e1, e2, .. . , enортогональной матрицей A,
то имеет место равенство (6.24). Так как матрица A ортогональная, то
из утверждения 1 настоящего параграфа следует, что «скалярные произведения» ее строк равны либо нулю, либо единице, в зависимости
от того, «перемножаются» различные или одинаковые ее строки. В то
же время строки матрицы A являются координатными строками всех
векторов e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ в ортонормированной базе e. По теореме 6.8
скалярные произведения векторов, записанных в базе e, равны сумме
произведений одноименных координат сомножителей. В частности, это
справедливо и для векторов e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ. Из полученных фактов
вытекает
(eiϕ, ejϕ) =
отсюда понятно, что система векторов e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ есть ортонормированная база пространства En. Теперь из теоремы 6.13 получаем
ортогональность преобразования ϕ. Теорема доказана.
В заключение заметим, что любое ортогональное преобразова-
ние евклидова пространства является невырожденным. Действительно, из теоремы 6.14 следует, что ортогональное преобразование
в любой ортонормированной базе евклидова пространства задается
ортогональной матрицей. Поскольку все ортогональные матрицы невырожденные, то и ортогональные преобразования также невырожденные. Из утверждения 2 настоящего параграфа и следствия 2 теоремы
5.4 получаем, что обратное преобразование к ортогональному пре-
образованию также ортогонально.
0, i 6= j,
1, i = j;
§ 30. Геометрическая интерпретация ортогональных
преобразований
В этом параграфе мы будем рассматривать элементы (векторы)
евклидова пространства размерности два как направленные отрезки
плоскости, каждый из которых однозначно определяется своей длиной и направлением в обычных для евклидовой геометрии понятиях.
Тогда любые два вектора равных длин с одинаковым направлением
равны и поэтому можно считать, что все векторы в E2имеют общее
начало (выходят из одной точки плоскости). Мы покажем, что любое
250 Глава 6. Евклидовы пространства
ортогональное преобразование E2в таком его представлении будет
либо поворотом всех векторов плоскости вокруг их общего начала на
некоторый угол ϑ, либо последовательным выполнением поворота и
последующего отражения плоскости (относительно прямой, несущей
один из базисных векторов).
Сначала мы покажем, что любой ортнормированный базис в E
можно перевести в другой ортонормированный базис этого пространства либо поворотом базисных векторов вокруг общего начала на один
и тот же угол, либо поворотом и последующим отражением плоскости.
Нетрудно проверить, что оба эти преобразования пространства E
являются линейными. Справедлива теорема.
0
Теорема 6.15. Пусть e1, e2и e
0
, e
1
— два ортонормированных
2
базиса евклидова пространства E2с общим началом в точке O. Тогда
поворотом базиса e1, e2в плоскости этого пространства вокруг точки
O на некоторый угол ϑ можно перевести базис e1, e2либо в базис
0
0
e
, e
, либо в базис e
1
2
0
, −e
1
0
. Таким образом, базис e
2
0
0
, e
1
можно полу-
2
чить из базиса e1, e2либо поворотом, либо поворотом и последующим
отражением (относительно прямой, несущей вектор e
e
2
0
e
2
0
e
1
e
2
0
).
1
0
e
2
2
2
ϑ
e
1
e
2
0
e
1
ϑ
e
1
0
e
2
Рис. 6.1
0
e
2
ϑ
e
1
0
e
1
e
2
ϑ
e
1
0
e
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Базис e1, e2определяет некоторое положительное направление вращения плоскости, а именно то направление,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]