Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 33. Действительные квадратичные формы 271
k0линейно независимых решений. Находим такой набор решений
системы (6.49) методами, которые описаны в § 21, ортогонализируем
и нормируем полученную систему векторов так, как это описано
в § 28.
Перебирая в качестве λ0поочередно все различные характеристические корни симметрической матрицы A и учитывая, что сумма
кратностей этих корней равна n, мы получим систему из n собственных векторов преобразования ϕ, заданных их координатами в базе e.
Для завершения процедуры отыскания необходимого ортогонального
преобразования заметим, что полученная система векторов, в соответствии с утверждением § 31, уже будет составлять искомый ортонормированный базис e0.
В заключение рассуждений скажем, что существуют другие методы отыскания ортогональных преобразований неизвестных квадратичной формы, которые приводят ее к каноническому виду. Например,
метод последовательного выделения полных квадратов или, как его
еще называют, метод Лагранжа. С этим методом читатель может
познакомиться, например в [1].
Пример. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующую квадратичную форму к каноническому виду, и написать этот
канонический вид:
f = 3x
2
1
+ 2x
2
2
+ x
2
+ 4x1x2+ 4x2x3.
3
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы:
3 2 0
A =
2 2 2
0 2 1
и найдем ее характеристические корни. Решим характеристическое
уравнение:
3 − λ 2 0
2 2 − λ 2
0 2 1 − λ
= (3 − λ)(2 −λ)(1 − λ) −4(3 − λ) −4(1 − λ) = 0,
λ1= 2, λ2= −1, λ3= 5.
Можно сразу записать канонический вид данной квадратичной формы:
f = 2x
02
1
− x
02
2
+ 5x
02
.
3
272 Глава 6. Евклидовы пространства
Теперь будем искать ортогональное преобразование неизвестных, приводящее эту квадратичную форму к каноническому виду. Найдем
собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.
Если λ = 2 и b = (β1, β2, β3) — соответствующий этому собственному значению вектор, то по определению верно равенство:
3 2 0
(β1, β2, β3)
2 2 2
= 2(β1, β2, β3).
0 2 1
Отсюда получаем систему уравнений:
3β1+ 2β
2
= 2β1,
2β1+ 2β2+ 2β3= 2β2,
2β2+ β3= 2β
3
или
β1+ 2β
2
= 0,
β1+ β3= 0,
2β2− β3= 0.
Следовательно, β1= −β3, β2= β3/2. Если положить β3= −2α, то
собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 2,
можно записать в виде
b1= (2α, −α, −2α),
где α — любое действительное число.
Пусть λ = −1 и b = (β1, β2, β3) — соответствующий этому собственному значению вектор; тогда по определению верно равенство:
3 2 0
(β1, β2, β3)
2 2 2
= −(β1, β2, β3).
0 2 1
Отсюда получаем систему уравнений:
3β1+ 2β
2
= −β1,
2β1+ 2β2+ 2β3= −β2,
2β2+ β3= −β
3
§ 33. Действительные квадратичные формы 273
или
2β1+ β
2
= 0,
2β1+ 3β2+ 2β3= 0,
β2+ β3= 0.
Следовательно, β1= −β2/2, β3= −β2. Если положить β2= −2α, то
собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 2,
можно записать в виде
b2= (α, −2α, 2α),
где α — любое действительное число.
Пусть, наконец, λ = 5 и b = (β1, β2, β3) — соответствующий
этому собственному значению вектор; тогда по определению верно
равенство:
3 2 0
(β1, β2, β3)
2 2 2
= 5(β1, β2, β3).
0 2 1
Отсюда получаем систему уравнений:
3β1+ 2β
2
= 5β1,
2β1+ 2β2+ 2β3= 5β2,
2β2+ β3= 5β
3
или
−β1+ β
2
= 0,
2β1− 3β2+ 2β3= 0,
β2− 2β3= 0.
Значит, β1= β2, β3= β2/2. Если положить β2= 2α, то собственные
векторы, соответствующие собственному значению λ = 5, можно записать в виде
b3= (2α, 2α, α),
где α — любое действительное число. Положим везде α = 1 и, так
как характеристические корни все различны, получим ортогональный
базис пространства E3:
b1= (2, −1, −2), b2= (1, −2, 2), b3= (2, 2, 1).
274 Глава 6. Евклидовы пространства
После нормирования этих векторов будем иметь ортонормированный
базис
1
0
e
=
1
(2, −1, −2), e
3
1
0
=
2
(1, −2, 2), e
3
1
0
=
3
(2, 2, 1).
3
Тогда матрица ортогонального преобразования неизвестных квадратичной формы имеет вид
2/3 1/3 2/3
Q =
−1/3 −2/3 2/3
.
−2/3 2/3 1/3
Таким образом, форма f приводится к каноническому виду ортогональным преобразованием:
x1=
2
3
x2= −
x
1
0
+
1
1
3
x
3
0
x
−
1
2
0
+
2
2
x
3
0
x
,
3
3
2
0
+
2
0
x
,
3
3
x3= −
2
x
3
2
0
+
1
x
3
1
0
+
2
0
x
.
3
3
Упражнения для самостоятельной работы
1. Определить угол между векторами
x = (1,√3 ,√5 , . .. ,√2n − 1 ) и y = (1, 0, ... , 0),
заданных в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства En.
2. Проверить, что следующие векторы, заданными в некотором ортонормированном базисе, попарно ортогональны, и дополнить их до
ортогонального базиса.
a1= (1, 1, 1, −2),
a2= (1, 2, 3, −3).
§ 33. Действительные квадратичные формы 275
3. При каких значениях α и β базис, образованный векторами (заданными в некотором ортонормированном базисе)
α
0
e
=
1
e1+
3
1 − α
3
0
e
3
e2+ βe3, e
α
= βe1+
e2+
3
0
=
2
1 − α
3
1 − α
3
e1+ βe2+
e3,
α
e3,
3
является ортонормированным?
4. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:
a1= (2, 1, 3, −1),
a2= (7, 4, 3, −3),
a3= (1, 1, −6, 0),
a4= (5, 7, 7, 8).
5. Найти базис ортогонального дополнения W⊥подпространства W ,
натянутого на векторы, заданные в некотором ортонормированном
базисе:
a1= (1, 1, 1, 1),
a2= (−1, 1, −1, 1),
a3= (2, 0, 2, 0).
6. Дана матрица
−2/7 3/7 6/7
Q =
6/7 −2/7 3/7
3/7 6/7 −2/7
0
0
перехода от ортонормированного базиса e1, e2, e3к базису e
0
0
Доказать, что базис e
1
, e
2
0
, e
— ортонормированный.
3
1
, e
2
, e
0
3
7. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные формы к каноническому виду, и написать этот канонический
вид:
а) f = 6x
б) f = 11x
2
1
2
1
+ 5x
+ 5x
2
2
+ 7
2
+ 2x
2
2
− 4x1x2+ 4x1x3;
3
2
+ 16x1x2+ 4x1x3− 20x2x3.
3
.
Г л а в а 7
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
В настоящее время не без основания говорят об «алгебраизации»
математики, т. е. о проникновении идей и методов алгебры как в
теоретические, так и в прикладные разделы математики. С таким же
успехом можно говорить об «алгебраизации» некоторых современных
разделов физики и других областей деятельности людей. Например,
алгебраические средства играют существенную роль при исследовании
элементарных частиц в квантовой механике, свойств твердого тела и
кристаллов (здесь особое положение занимает теория представлений
групп), в анализе модельных задач экономики, при конструировании современных ЭВМ, в задачах кодирования сигналов (сообщений)
и т. д.
В этой главе студенты ознакомятся с основными алгебраическими структурами и увидят, что многие из них встречались и были
частично изучены в предыдущих главах, но не имели специальных
алгебраических названий. Значение алгебраических структур далеко
выходит за рамки теоретико-числовых применений. Здесь уместно
привести мнение одного из творцов квантовой механики П. Дирака,
которое было им высказано более 80 лет назад: «...Современная физика требует все более абстрактной математики и развития ее основ.
Так, неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, считающиеся
одно время просто плодом воображения или увлечения логическими
рассуждениями, теперь признаны весьма необходимыми для описания
общей картины физического мира». Под алгебраической структурой
понимается множество с несколькими операциями. При этом, как
правило, при изучении алгебраических структур природа элементов
основного множества данной структуры во внимание не берется.
Сейчас, в введении к этой главе, будет дано несколько общих
определений, а в последующих параграфах на их основе будут рассмотрены два типа основных алгебраических структур.
Определение 1. Пусть дано множество G. Будем говорить, что
в G определена n-арная алебраическая операция ϕ (где n — целое
неотрицательное число), если для любого упорядоченного набора из
n элементов a1, a2, .. . , anмножества G существует однозначно опреде-
§ 34. Некоторые алгебры с одной бинарной операцией 277
ленный элемент b этого же множества. При этом элемент b называют
результатом операции ϕ над элементами a1, a2, .. . , anи записывают
a1a2.. . anϕ = b.
Если n = 1, то операцию называют унарной, если n = 2, то операция
бинарная, если n = 3, тогда операция тернарная и т. д.
Унарная операция ставит в соответствие каждому элементу a
множества G однозначно определенный элемент aϕ этого же множества. Таким образом, унарная операция является некоторым однозначным отображением множества G в себя. Отдельно отметим значение
n = 0, в этом случае операция называется нульарной и означает, что в
множестве G фиксируется некоторый определенный элемент, который
не зависит от выбора в G каких-либо элементов или систем элементов.
Определение 2. Множество G называется алгеброй, если в нем
задана некоторая система Γ n-арных алгебраических операций, причем
для различных операций ϕ ∈ Γ числа n быть как различными, так и
совпадающими.
Такая система операций может быть и бесконечной. Примеры
алгебр такого рода — линейные пространства, определенные в гл. 5
настоящего пособия (см. определение 1 гл. 5). Здесь имеется одна бинарная операция, а именно сложение, бесконечное множество унарных
операций — это умножения элементов пространства на любые действительные числа, и одна нульарная, фиксирующая нулевой элемент
линейного пространства.
В следующих двух параграфах будут рассмотрены некоторые
алгебры с одной и двумя бинарными операциями.
§ 34. Некоторые алгебры с одной бинарной операцией
Рассмотрим множество G, в котором определена только одна
бинарная операция. В общем случае эту операцию будем обозначать ∗.
Если a и b — элементы из G, то результат операции ∗ над упорядоченной парой (a, b), будет записываться как a ∗b, а результат этой же
операции над парой (b, a) — b ∗a. В том случае, когда множество G
и операция, заданная на нем, известны, то для обозначения операции
используют привычные обозначения. Например, операцию сложения
действительных чисел будем обозначать символом +, а операцию
умножения — × или ·.
278 Глава 7. Основные алгебраические структуры
Определение 3. Множество G с одной бинарной операцией ∗
называется группоидом и обозначается (G; ∗).
Группоид (G; ∗) называется конечным, если множество G состоит
из конечного числа элементов, если же G бесконечно, то и группоид
(G; ∗) бесконечный. Для задания группоида на множестве G необходимо прописать правило, по которому для любых двух элементов
из G можно найти значение операции ∗. Если группоид конечный
G = {a1, a2, .. . , an}, то полную информацию о группоиде (G; ∗) запи-
сывают в виде квадратной таблицы, в которой n + 1 строк и столбцов.
В первой строке и первом столбце этой таблицы (они в дальнейшем
будут называться входными), начиная со вторых мест, располагают все
элементы a1, a2, .. . , anмножества G. В левом верхнем углу записывают
обозначение ∗ бинарной операции группоида G. Тогда на пересечении
i-й строки и j-го столбца размещают элемент из G, являющийся
результатом операции ai∗ aj. Такие таблицы называются таблицами
Кэли по имени английского математика Кэли (1821–1895).
Образец таблицы Кэли
∗ a1··· a
a
1
.
.
.
a
i
.
.
.
a
n
···
.
.
. ···
··· ai∗ aj···
.
.
. ···
··· ···
.
.
. ···
.
.
. ···
.
.
. ···
j
··· a
n
.
.
.
.
.
.
С помощью их можно задавать операцию группоида. Для этого
в каждую из n2внутренних (не входных) клеток следует записать
любой из n элементов множества G. Каждое полное заполнение всех
клеток задает вполне определенную бинарную операцию на G и,
значит, вполне определенный группоид. Легко подсчитать, что таких
2
различных группоидов получится n
n
.
Одними из простейших примеров группоидов являются: (R; +),
(K; +), (R0; ·), (K0; ·), где R и K — это, соответственно, множества всех
действительных и комлексных чисел, а R0и K0— те же множества без
нулевого элемента. Ниже будут подробно рассмотрены эти и другие
примеры группоидов.
Определение 4. Подмножество G1группоида (G; ∗) называется
замкнутым относительно операции ∗, если для любой пары a, b элементов из G, таких, что a, b ∈ G1выполняется a ∗ b ∈ G1. Очевидно,
§ 34. Некоторые алгебры с одной бинарной операцией 279
что относительно операции ∗, подмножество G1— это группоид и он
называется подгруппоидом группоида G.
В главе 1 было показано, что R ⊂ K, поэтому группоид (R; +)
есть подгруппоид группоида (K; +).
Определение 5. Если в группоиде (G; ∗) операция ∗ является
коммутативной, т. е. для любых a, b ∈ G выполняется равенство a ∗ b =
= b ∗ a, то группоид (G; ∗) называют коммутативным.
Отметим, что оба группоида: (R; +) и (K;+) коммутативные.
Очевидно, что коммутативность конечного группоида равносильна
симметричности его таблицы Кэли относительно главной диагонали.
Определение 6. Бинарная операция ∗ на множестве G называет-
ся ассоциативной, если для любых элементов a, b, c ∈ G выполняется
равенство
(a ∗ b) ∗c = a ∗ (b ∗ c).
Из школьного курса математики известно, что операция + в
группоиде (R; +) ассоциативна. Ассоциативность операции + в группоиде (K; +) доказана ранее в настоящем пособии, см. (1.4). Всюду
далее под N, Z+, Z и Q будем понимать, соответственно, множества
натуральных, целых неотрицательных, целых и рациональных чисел.
Группоиды (N; +), (Z+; +), (Z; +) и (Q; +) являются подгруппоидами
группоида (R; +) и, значит, группоида (K; +). Правило нахождения
разности чисел определяет бинарные операции на множествах Z, Q и
R и не задает операций на множествах N и Z+. Нетрудно убедиться,
что операция разности (−) не ассоциативна на множествах Z, Q и R.
Основная роль свойства ассоциативности операции заключается
в том, можно не расставлять скобки при выполнении бинарной операции со многими элементами.
Наиболее известные группоиды имеют так называемые нейтральные элементы.
Определение 7. Элемент σ группоида (G; ∗) называется правым
нейтральным, если для любого g ∈ G выполняются равенства
g ∗ σ = g,
элемент σ0группоида (G; ∗) называется левым нейтральным, если для
любого g ∈ G выполняются равенства
σ0∗ g = g.
280 Глава 7. Основные алгебраические структуры
Теорема 7.1. Если группоид имеет одновременно правый и
левый нейтральные элементы, то они равны. В этом случае такой
элемент называется нейтральным и он единственный в группоиде.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если группоид (G; ∗) имеет
правый σ и левый σ0нейтральные элементы, то
σ0∗ σ = σ0,
σ0∗ σ = σ.
Значит σ0= σ. Теорема доказана.
В группоидах (R0; ·), (K0; ·), (Z+; ·, ) и (Q0; ·) нейтральным элементом является единица, в группоидах (R; +), (K; +), (Z+; +), и
(Q; +) — число нуль. Заметим, что в группоидах (N;+), и (Z; −)
нейтральных элементов нет.
Очевидно, что элемент σ конечного группоида (G;∗) является
нейтральным тогда и только тогда, когда строка и столбец этого
элемента таблицы Кэли группоида (G; ∗) совпадают соответственно с
входной строкой и входным столбцом этой таблицы.
Определение 8. Элемент b группоида (G; ∗) с нейтральным эле-
ментом σ называется правым обратным для элемента a из (G; ∗), если
a ∗ b = σ,
а элемент c левый обратный для a, если
c ∗ a = σ.
Если
a ∗ b = b ∗ a = σ,
то b называют обратным элементом для a.
Замечание 1. В группоидах (G; +) обратные элементы называют
противоположными.
Если a — некоторый элемент произвольного группоида (G; ∗) с
нейтральным элементом σ, то он может не иметь обратных элементов,
может иметь только один обратный элемент, а может иметь несколько
обратных. В том случае, когда операция в группоиде (G; ∗) является
ассоциативной, число обратных элементов для каждого данного элемента вполне однозначно.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]