Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 26. Характеристические корни и собственные векторы 221
§ 26. Характеристические корни
и собственные векторы
Пусть
α11α12... α
α21α22... α
A =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
αn1αn2... α
— квадратная матрица порядка n с действительными элементами.
Определение 26. Матрица
1n
2n
.
.
.
nn
A − λE =
α11− λ α
α
21
.
.
.
α
n1
12
.. . α
α22− λ .. . α
.
.
.
α
n2
.
.
.
.
.
.
.. . αnn− λ
1n
2n
,
где E — единичная матрица порядка n, а λ — некоторое неизвестное,
называется характеристической матрицей для матрицы A.
Утверждение 1. Определитель матрицы A − λE является мно-
гочленом от λ степени n.
Доказательство этого утверждения представлено, например,
в [1].
Все коэффициенты этого многочлена можно вычислить. Так, ко-
эффициент при λ
n−1
равен (−1)
n−1
(α11+ α22+ ···+ αnn), а свободный
член равен определителю матрицы A.
Определение 27. Многочлен n-й степени |A −λE| называется
характеристическим многочленом матрицы A, а его корни (действительные и комплексные) называются характеристическими корнями
этой матрицы.
Теорема 5.13. Подобные матрицы имеют одинаковые характери-
стические многочлены и, следовательно, одинаковые наборы характеристических корней.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрицы A и B подобны, т. е.
B = Q−1AQ,
где Q — некоторая невырожденная матрица. Тогда, учитывая, что
матрица λE перестановочна с любой квадратной матрицей такого же
222 Глава 5. Линейные пространства
−1
порядка, а
Q
= |Q|−1, получаем
|B − λE| =
Q−1AQ − λE
=
Q−1(A − λE)Q
=
= |Q|−1· |A −λE| · |Q| = |A −λE|,
что и требовалось доказать.
Понятие характеристического многочлена и характеристических
корней легко распространяется на линейные преобразования линейных
пространств. В самом деле, если ϕ — линейное преобразование пространства Vn, то все матрицы этого преобразования, возникающие при
его записи в разных базах пространства, подобны между собой (см.
теорему 5.5). Теперь, учитывая теорему 5.13, можно сформулировать
утверждение 2.
Утверждение 2. Несмотря на то, что линейное преобразование ϕ
в разных базах пространства задается различными матрицами, все эти
матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены и, значит,
одинаковые характеристические корни.
Определение 28. Если A — любая матрица линейного преоб-
разования ϕ пространства Vn, то многочлен n-й степени |A − λE|
называется характеристическим многочленом преобразования ϕ, а его
корни (действительные и комплексные) называются характеристическими корнями этого преобразования.
Характеристические корни играют большую роль во многих разделах математики – это очень важный инструмент при исследовании
линейных пространств, а также при решении многих прикладных
задач линейной алгебры.
Определение 29. Пусть ϕ — линейное преобразование про-
странства Vnи b ∈ Vn— некоторый ненулевой вектор, для которого
справедливо
bϕ = λ0b, (5.41)
где λ0— действительное число. Тогда вектор b называют собственным
вектором преобразования ϕ, а λ0— собственным значением, или
собственным числом данного преобразования. При этом говорят, что
собственный вектор b относится к собственному значению λ0.
Определение 30. Все множество характеристических корней
линейного преобразования ϕ пространства Vn, где каждый корень рассматривается столько раз, какова его кратность в характеристическом
многочлене, называется спектром линейного преобразования.
§ 26. Характеристические корни и собственные векторы 223
Заметим, что из условия b 6= o следует, что число λ0, удовлетворяющее условию (5.41), определяется для данного вектора однозначно.
Далее, по определению, нулевой вектор не может быть собственным,
несмотря на то, что он удовлетворяет условию (5.41) при любом λ0.
Приведем два диаметрально противоположных по наличию собственных векторов примера линейных преобразований линейных пространств.
Пример 1. Пусть ϕ — это такое преобразование всех векторов-
отрезков плоскости, при котором образом каждого вектора b является
вектор bϕ, полученный в результате поворота вектора b на угол ϑ вокруг начала координат. Нетрудно проверить, что ϕ — преобразование
линейное. Если ϑ 6= 2kπ, то ϕ не имеет собственных векторов; если
же ϑ = 2kπ для некоторого k 6= 0, то все ненулевые векторы плоскости
будут собственными, относящимися к собственному значению λ0= 1.
Пример 2. Пусть ϕ — это такое преобразование всех векторов-
отрезков плоскости, при котором образом каждого вектора b является
вектор bϕ, полученный в результате растяжения вектора, например
в два раза. Нетрудно проверить линейность и этого преобразования.
Но теперь каждый ненулевой вектор плоскости является собственным
и все они имеют одно и то же собственное значение λ0= 2.
Теорема 5.14. Действительные характеристические корни линейного преобразования ϕ, если они существуют, и только они будут
собственными значениями этого преобразования.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть b — собственный вектор линейного
преобразования ϕ линейного пространства Vn, относящийся к собственному значению λ
0
bϕ = λ0b. (5.42)
Выберем в Vnбазу
e1, e2, .. . , en, (5.43)
и пусть
(β1, β2, .. . , βn) (5.44)
— координаты вектора b в этой базе. Если
α11α12... α
α21α22... α
A =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
αn1αn2... α
1n
2n
.
.
.
nn
(5.45)
224 Глава 5. Линейные пространства
— матрица преобразования ϕ в базе (5.43), то, используя утвержде-
ние 3 из § 24, получаем
bϕ = (β1, β2, .. . , βn)A. (5.46)
Учитывая (5.42) и (5.46), можно записать матричное равенство
(β1, β2, .. . , βn)
α11α12... α
α21α22... α
.
.
.
.
.
.
αn1αn2... α
.
.
.
1n
2n
.
.
.
nn
= (λ0β1, λ0β2, .. . , λ0βn), (5.47)
которое равносильно системе равенств
(α11− λ0)β1+ α21β2+ ···+ αn1βn= 0,
α12β1+ (α22− λ0)β2+ ···+ αn2βn= 0,
(5.48)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
α1nβ1+ α2nβ2+ ···+ (αnn− λ0)βn= 0.
Так как b 6= o, то не все числа β1, β2, .. . , βnравны нулю. Тогда равенства (5.48) показывают, что система однородных линейных уравнений
(α11− λ0)x1+ α21x2+ ···+ αn1xn= 0,
α12x1+ (α22− λ0)x2+ ···+ αn2xn= 0,
(5.49)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
α1nx1+ α2nx2+ ···+ (αnn− λ0)xn= 0.
имеет ненулевое решение; значит, по теореме 4.17, ее определитель
равен нулю:
∆ =
α11− λ
α
α
12
.
.
.
1n
α
0
21
... α
α22− λ0... α
α
.
.
.
2n
.
.
.
... αnn− λ
n1
n2
.
.
.
= 0. (5.50)
0
Транспонируя определитель и используя свойство 1 определителей,
получаем
∆T= |A − λ0E| = 0, (5.51)
т.е. собственное значение λ0оказалось характеристическим корнем
матрицы A, а значит, и линейного преобразования ϕ, притом понятно,
что действительным.
§ 26. Характеристические корни и собственные векторы 225
Пусть теперь, наоборот, λ0будет действительным характеристическим корнем преобразования ϕ и, следовательно, матрицы A. Тогда
имеет место равенство (5.51), а потому и равенство (5.50), получающееся после транспонирования определителя. То есть существуют
ненулевые решения системы линейных однородных уравнений (5.49).
Поскольку эта система имеет действительные коэффициенты, то ее
решения также будут действительными. Пусть (β1, β2, .. . , βn) — любое ненулевое решение системы (5.49), тогда справедливы равенства
(5.48). Обозначим через b вектор пространства Vn, который в базе
(5.43) имеет координаты (5.44). Вектор b ненулевой, и справедливо
равенство (5.47), а поэтому и (5.42). Таким образом, вектор b —
собственный вектор преобразования ϕ, относящийся к собственному
значению λ0. Теорема доказана.
Следствие. Пусть ϕ — линейное преобразование пространства
Vn. Тогда множество всех собственных векторов преобразования ϕ,
относящихся к собственному значению λ0, вместе с нулевым вектором
образуют линейное подпространство пространства Vn.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из процесса доказательства теоремы 5.14
следует, что множество всех собственных векторов преобразования ϕ,
относящихся к собственному значению λ0, совпадает с совокупностью
всех ненулевых решений системы линейных однородных уравнений
(5.49). Доказательство теперь вытекает из теорем 4.18 и 5.1. Следствие доказано.
Часто необходимо знать, можно ли для данного линейного преобразования ϕ линейного пространства так подобрать базу, чтобы
матрица преобразования ϕ в этой базе была диагональной. Вообще
говоря, далеко не всякое линейное преобразование может быть задано
диагональной матрицей. Мы рассмотрим здесь одно достаточное условие.
Теорема 5.15. Линейное преобразование ϕ тогда и только тогда
задается в базе e1, e2, .. . , enдиагональной матрицей, когда все векторы
этой базы являются собственными векторами преобразования ϕ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть все векторы базы — собственные
векторы преобразования ϕ:
eiϕ = λiei, i = 1, 2, ... , n. (5.52)
8 Б.К. Дураков
226 Глава 5. Линейные пространства
Запишем эти равенства с нулевыми коэффициентами в правых частях
при остальных базисных векторах:
e1ϕ = λ1e1+ 0e2+ ···+ 0en,
e2ϕ = 0e1+ λ2e2+ ···+ 0en,
(5.53)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
enϕ = 0e1+ 0e2+ ···+ λnen.
Тогда матрица преобразования ϕ в этой базе диагональная:
λ10 ... 0
0 λ2... 0
.
.
.
.
.
.
0 0 .. . λ
.
.
.
.
.
.
. (5.54)
n
Пусть, наоборот, в базе e1, e2, .. . , enпространства Vnпреобразование
ϕ записывается диагональной матрицей (5.54). Тогда верны равенства
(5.53), а значит, и равенства (5.52). Следовательно, все векторы базы
есть собственные векторы преобразования ϕ. Теорема доказана.
С помощью этой теоремы вопрос о существовании базы пространства, в которой линейное преобразование ϕ запишется диагональной матрицей, заменен вопросом о существовании базы пространства, каждый вектор которой является собственным вектором этого преобразования. Теперь естественно поставить вопрос: при каких
условиях все собственные векторы линейного преобразования ϕ линейного пространства образуют базу этого пространства? Для начала
докажем утверждение.
Утверждение 3. Собственные векторы b1, b2, .. . , bkлинейного
преобразования ϕ, относящиеся к различным собственным значениям,
составляют линейно независимую систему.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство будем проводить индукцией по k. При k = 1 утверждение справедливо, так как один собственный вектор, поскольку он отличен от нуля, составляет линейно
независимую систему. Предположим, что утверждение верно для всех
удовлетворяющих условию систем векторов, число которых строго
меньше, чем k. Пусть
biϕ = λibi, i = 1, 2, ... , k
и при i 6= j
λi6= λj.
§ 26. Характеристические корни и собственные векторы 227
Запишем равенство
α1b1+ α2b2+ ···+ αkbk= o (5.55)
и определим коэффициенты в его левой части. Применим к обеим
частям равенства (5.55) линейное преобразование ϕ:
α1(b1ϕ) + α2(b2ϕ) + ··· + αk(bkϕ) = o. (5.56)
Учитывая, что все векторы biсобственные и относятся к соответствующим собственным значениям λiполучим
α1λ1b1+ α2λ2b2+ ···+ αkλkbk= o. (5.57)
Умножим равенство (5.55) на λkи вычтем полученное из равенства (5.57):
α1(λ1− λk)b1+ α2(λ2− λk)b2+ ···+ α
k−1(λk−1
По индуктивному предположению система векторов b1, b2, .. . , b
− λk)b
= o. (5.58)
k−1
k−1
линейно независима, поэтому все коэффициенты в левой части равенства
должны быть равны нулю:
αi(λi− λk) = 0, i = 1, 2, ... , k − 1.
По условию λi− λk6= 0, i = 1, 2, ... , k − 1, следовательно,
αi= 0, i = 1, 2, ... , k − 1.
Тогда равенство (5.55) принимает вид
αkbk= o. (5.59)
Поскольку bk— собственный вектор, то bk6= o, поэтому αk= 0. Таким
образом, равенство (5.55) возможно, только если все коэффициенты
в его левой части одновременно равны нулю. Это влечет линейную
независимость векторов b1, b2, .. . , bk. Утверждение доказано.
Определение 31. Будем говорить, что линейное преобразование
ϕ пространства Vnимеет простой спектр, если все его характеристи-
ческие корни действительны и различны.
Если преобразование ϕ имеет простой спектр, то (в соответствии
с теоремой 5.14) это преобразование имеет n различных действительных собственных значений. Тогда из доказанного утверждения 3
8*
228 Глава 5. Линейные пространства
следует, что в пространстве Vnсуществует база, каждый вектор которой является собственным для преобразования ϕ. В соответствии
с теоремой 5.15 преобразование ϕ в этой базе запишется диагональной
матрицей. Таким образом мы доказали теорему 5.16.
Теорема 5.16. Если линейное преобразование ϕ пространства
Vnимеет простой спектр, то существует база пространства, каждый
вектор которой — это собственный вектор преобразования ϕ, и тогда
в этой базе преобразование запишется диагональной матрицей.
Для квадратных матриц получаем такое следствие.
Следствие. Всякая квадратная матрица, все характеристические
корни которой действительны и различны, подобна диагональной матрице, или, как говорят, такая матрица приводится к диагональному
виду.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу следствия 2 теоремы 5.4 любая
квадратная матрица A в некоторой базе линейного пространства задает линейное преобразование ϕ, причем характеристические корни
матрицы и преобразования совпадают. Теперь применим теоремы 5.16
и 5.5.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
2 −1 1
−1 2 −1
.
0 0 1
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение
2 − λ −1 1
−1 2 − λ −1
0 0 1 − λ
λ
1,2
= (1 − λ)2(3 − λ) = 0,
= 1, λ3= 3.
Если λ = 1 и b = (β1, β2, β3) — соответствующий этому собственному
значению вектор, то по определению верно равенство
(β1, β2, β3)
2 −1 1
−1 2 −1
0 0 1
= (β1, β2, β3).
§ 26. Характеристические корни и собственные векторы 229
Отсюда получаем систему уравнений
2β1− β
−β1+ 2β
β1− β2+ β3= β
2
2
= β1,
= β2,
3
или
β1− β2= 0,
−β1+ β2= 0,
β1− β2= 0.
Следовательно, β1= β2, β3— любое действительное число. Если положить β1= β2= α, а β3= γ, то собственные векторы, соответствующие
собственному значению λ = 1, можно записать в виде
b = (α, α, γ),
где α, γ — любые действительные числа.
Пусть теперь λ = 3 и b = (β1, β2, β3) — соответствующий этому
собственному значению вектор, тогда
2 −1 1
(β1, β2, β3)
−1 2 −1
= 3(β1, β2, β3).
0 0 1
Отсюда получаем систему уравнений
2β1− β
−β1+ 2β
β1− β2+ β3= 3β
2
2
= 3β1,
= 3β2,
3
или
β1+ β
β1+ β
β1− β2− 2β3= 0.
2
2
= 0,
= 0,
Значит, β1= −β2, β1= β3. Если положить β1= α, то собственные век-
торы, соответствующие собственному значению λ = 3, можно записать
в виде
b = (α, −α, α),
где α — любое действительное число.
230 Глава 5. Линейные пространства
Упражнения для самостоятельной работы
1. Найти какой-либо базис пространства многочленов с действительными коэффициентами от одного неизвестного, степень которых не
превышает данного натурального числа n.
2. Векторы e1, e2, e3и x заданы своими координатами в некотором
базисе. Показать, что векторы e1, e2, e3сами образуют базис и найти
координаты вектора x в этом базисе:
а) e1= (2, 1, −3), e2= (3, 2, −5), e3= (1, −1, 1), x = (6, 2, −7),
б) e1= (1, 2, −1, −2), e2= (2, 3, 0, −1), e3= (1, 2, 1, 4),
e4= (1, 3, −1, 0), x = (7, 14, −1, 2).
3. В базе e1, e2, e3трехмерного линейного пространства задан вектор
a = e1+ 2e2− e3.
Показать, что векторы
0
e
= 2e1+ 3e2+ e3,
1
0
e
= 3e1+ e2+ 4e3,
2
0
e
= e1+ 5e2+ 3e
3
3
сами образуют базу, и найти координаты вектора a в этой базе.
4. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:
а) поменять местами два вектора первого базиса;
б) поменять местами два вектора второго базиса;
в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
5. Пусть в базе e1, e2, e3трехмерного линейного пространства линей-
ное преобразование ϕ задается матрицей
−3 2 1
0 1 −2
.
2 0 1
Для вектора
a = 3e1− e2+ 2e
3
найти его образ aϕ в этой же базе.
6. Преобразование ϕ линейного пространства Vnопределено равен-
ством
xϕ = x + x0,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]