Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 16. n-мерное векторное пространство 131
общее решение системы:
x1=
5c + 8
, x2=
9
−2c − 5
, x3= c, x4= 0,
9
где c — любое действительное число. Запишем это решение в векторном виде:
5c + 8
9
,
−2c − 5
, c, 0.
9
Пусть, например, c = 1, тогда получим одно из частных решений
системы
(13/9, −7/9, 1, 0).
§ 16. n-мерное векторное пространство
В школьных курсах математики и физики изучают величины,
которые невозможно однозначно охарактеризовать только одним числом: точки и векторы (как направленные отрезки) в фиксированной
системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве, скорость материальной точки, сила, приложенная к материальной точке
и др. Изучение таких величин в существенной степени опирается на
геометрические свойства двухмерного или трехмерного пространства.
Однако в геометрии, механике, физике и других областях научной
и практической деятельности приходится иметь дело с такими объектами, которые нельзя однозначно охарактеризовать только тремя
числами. Рассмотрим, например, шар в трехмерном пространстве: три
числа будут определять положение его центра и еще одно число — его
радиус.
Необходимостью изучения таких объектов обусловлена целесообразность рассмотрения совокупности всевозможных упорядоченных
систем из n чисел. За основу построения такой совокупности естественно взять уже изученную в школе систему всевозможных числовых строк длины 3 с соответствующими операциями над ними, возникшую при изучении векторов трехмерного пространства, выходящих
из начала координат. Фактически следует построить «алгебраическую
структуру», в которой элементами будут числовые строки произвольной одинаковой длины с такими операциями над ними, которые, будучи примененными к строкам длины 3, совпадали бы с известными
линейными операциями над этими строками, или, что то же самое,
над трехмерными векторами.
5*
132 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Определение 6. Упорядоченная числовая строка
a = (α1, α2, .. . , αn) (4.20)
называется n-мерным вектором. Действительные числа αi, i = 1, 2, . ..
.. . , n будут называться компонентами вектора a. Векторы a и
b = (β1, β2, .. . , βn) (4.21)
будут считаться равными, если αi= βiдля всех i = 1, 2, . . . , n.
Для обозначения векторов будем употреблять строчные латинские буквы, а для обозначения их компонент — строчные греческие.
На множестве всех n-мерных векторов с действительными
компонентами определим две операции: сложение двух векторов
и умножение вектора на действительное число.
Определение 7. Суммой двух векторов (4.20) и (4.21) будем
называть вектор
a + b = (α1+ β1, α2+ β2, .. . , αn+ βn), (4.22)
т. е. n-мерный вектор, компоненты которого получаются сложением
соответствующих компонент векторов a и b.
Определение 8. Произведением вектора (2.20) на действительное число γ будем называть вектор
γa = (γα1, γα2, .. . , γαn), (4.23)
т. е. n-мерный вектор, компоненты которого получаются умножением
числа γ на все компоненты вектора a. При этом векторы a и γa будем
называть пропорциональными.
Операции сложения векторов и умножения вектора на число
имеют свойства:
1) a + b = b + a для всех n-мерных векторов a и b;
2) a + (b + c) = (a + b) + c для всех n-мерных векторов a, b и c;
3) существует вектор o, такой, что для всех n-мерных векторов
a выполняется a + o = a;
4) для любого вектора a существует n-мерный вектор b, такой,
что a + b = o;
5) γ(a + b) = γa + γb для всех n-мерных векторов a, b и любого
числа γ;
6) (γ + δ)a = γa + δa для всех чисел γ, δ и всех n-мерных
векторов a;
§ 16. n-мерное векторное пространство 133
7) γ(δa) = (γδ)a для всех чисел γ, δ и всех n-мерных векторов a;
8) 1a = a для всех n-мерных векторов a.
Используя приведенные правила и определение равенства векторов, легко получить справедливость свойств 1, 2, 5, 6, 7, 8 —
оставляем это читателю как легкие упражнения.
В качестве вектора o следует взять строку (0, 0, . .. , 0), которую
впредь будем называть нулевым вектором; справедливость свойства 3
теперь проверить не составляет сложности.
Если a = (α1, α2, .. . , αn), то обозначим b = (−α1, −α2, .. . , −αn),
и тогда очевидно, что a + b = o, так что свойство 4 также справедливо.
Вектор b = (−α1, −α2, .. . , −αn) будем называть противоположным
для вектора a = (α1, α2, .. . , αn) и обозначать −a.
Очень важно понять, что вектор o = (0, 0, . .. , 0) является единственным вектором, удовлетворяющим свойству 3. Действительно,
предположим, что имеются два таких вектора: o и o0. Тогда из свойства 3 получаем
o + o0= o, o0+ o = o0.
Из свойства 1 теперь следует, что o = o0.
Необходимо также знать, что каждый вектор имеет только один
ему противоположный. Если допустить, что существует вектор a, для
которого имеются два противоположных b и b0, то, используя свойства
1 и 2, получим
b0+ a + b = (b0+ a) + b = o + b = b, b0+ a + b = b0+ (a + b) = b0+ o = b0.
Значит, b = b0.
На множестве всех n-мерных векторов можно определить операцию вычитания как обратную операции сложения:
a − b = a + (−b).
Определение 9. Совокупность всех n-мерных векторов с дей-
ствительными компонентами, рассматриваемая с определенными в ней
операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число, называется n-мерным векторным (или арифметическим)
пространством. Обозначать такие пространства будем символом An,
где индекс n указывает на размерность элементов (длину числовых
строк) пространства.
В качестве примера, являющегося основой для построения An,
рассмотрим множество векторов-отрезков плоскости или трехмерного пространства. Геометрические определения операций сложения
134 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
и умножения на число над такими векторами известны. Для сложения — это «правило параллелограмма», для умножения на число γ —
это получение такого вектора-отрезка, длина которого изменена в |γ|
раз, а направление либо сохраняется, либо меняется на противоположное, в зависимости от знака числа γ. Параллельные векторы-отрезки
одинаковых направлений и равных длин считаются равными между собой. Поэтому если все векторы-отрезки поместить в декартову систему
координат, то можно считать, что все векторы-отрезки выходят из начала координат. Каждому вектору-отрезку соответствует единственная
упорядоченная числовая строка длины 3 (или 2 для плоских векторов) — его декартовы координаты. Геометрические операции сложения
векторов-отрезков и умножения их на число реализуются в выбранной
декартовой системе координат для соответствующих числовых строк
так же, как мы определили эти операции для векторов произвольной
длины: (4.22), (4.23).
Этот пример имеет большое значение для изучения пространства An. Основные характерные геометрические свойства пространства
векторов-отрезков мы привнесем в An, но уже в алгебраической форме.
§ 17. Линейная зависимость векторов
В школьном курсе математики доказываются теоремы, которые
по существу дают полную информацию о системах порождающих для
трехмерного и двухмерного пространств векторов-отрезков. Приведем
формулировку известной из школьного курса теоремы для трехмерного
пространства.
Теорема. Если a, b и c — три некомпланарных (т. е. не па-
раллельных одновременно никакой плоскости) вектора трехмерного
пространства, то для любого вектора x существуют однозначно определенные числа α, β и γ, такие, что верно равенство
x = αa + βb + γc. (4.24)
Рассмотрим множество всех линейных комбинаций (см. определение 12 в § 12) векторов a, b и c:
hαa + βb + γc | ∀α,β, γ ∈ Ri. (4.25)
С одной стороны, при любых коэффициентах α, β, γ линейная комбинация αa + βb + γc, представляя собой сумму произведений векторов трехмерного пространства на числа, является некото-
§ 17. Линейная зависимость векторов 135
рым вектором-отрезком этого пространства. С другой — из теоремы
следует, что любой трехмерный вектор-отрезок можно представить
в виде некоторой линейной комбинации из (4.25). Значит, с геометрической точки зрения множество (4.25) будет множеством всех
векторов-отрезков трехмерного пространства, а векторы a, b, c порождают его (при надлежащих коэффициентах линейная комбинация
заданных трех векторов задает любой вектор-отрезок). Можно ли
обойтись меньшим числом порождающих векторов для трехмерного
пространства? Из геометрических соображений понятно, что нет. Действительно, все линейные комбинации одного ненулевого вектора a
расположены на той прямой, на которой лежит этот вектор и образуют
одномерное пространство. Далее, любые два непараллельных вектора,
например a и b, лежат в некоторой плоскости и, теперь понятно,
порождают двухмерное пространство.
Из всего сказанного ясно, что в пространствах A1, A2и A
существуют минимальные системы порождающих эти пространства
векторов. Причем число векторов в каждой такой системе равно индексу в обозначении пространства. Этот факт дает новые возможности
для оперирования с векторами-отрезками в пространствах малых размерностей. Фактически это означает, что всю геометрию пространств
малых размерностей можно выразить на алгебраическом языке. Достаточно вспомнить, какую роль в изучении трехмерного пространства
играют три вектора i, j, k. (Заметим, что это частный случай векторов
a, b и c из (4.25).)
Естественно, возникает желание построить аналогичные порождающие системы векторов в пространствах An, где n > 3. Но в этих
пространствах мы не имеем таких понятий, как длина вектора, угол
между векторами, параллельность векторов, компланарность векторов,
которые существенно использовались в доказательстве теоремы, сформулированной в начале параграфа. Поэтому мы начнем построение
порождающих систем в пространствах больших размерностей с перевода на алгебраический язык таких геометрических понятий, как
3
параллельность и компланарность векторов в A3, и обобщения их для
Anпри n > 3.
Пусть три вектора a, b и c трехмерного пространства компланарны. Так как мы считаем все векторы трехмерного пространства
выходящими из начала координат, то a, b и c расположены в одной
плоскости. Поскольку минимальная система порождающих векторов
для плоскости состоит из двух векторов, то среди выбранных векторов
один является линейной комбинацией двух других. Без ограничения
136 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
общности можем считать, что a линейно выражается через b и c:
a = βb + γc (4.26)
при подходящих значениях коэффициентов β и γ. Если, наоборот, для
тройки векторов a, b и c трехмерного пространства выполняется равенство (4.26), то вектор a, очевидно, находится в плоскости векторов
b и c. Следовательно, эти три вектора компланарны.
Таким образом, равенство (4.26) — равносильная алгебраическая
форма записи геометрического свойства компланарности векторов a, b
и c. В n-мерных пространствах больших размерностей термин «компланарность» ввиду его геометрического происхождения заменяют
другим.
Определение 10. Система векторов
a1, a2, .. . , a
k
(4.27)
пространства Anназывается линейно зависимой, если хотя бы один
из этих векторов является линейной комбинацией остальных (линейно
выражается через остальные).
Имеется другая форма этого весьма важного определения.
Определение 11. Система векторов
a1, a2, .. . , a
k
пространства Anназывается линейно зависимой, если существует такой набор чисел γ1, γ2, .. . , γk, в котором не все числа равны нулю,
и при этом выполняется равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o. (4.28)
Очевидно, что понятие линейной зависимости векторов в Anесть
обобщение понятий компланарности в A3и коллинеарности в A2.
Докажем эквивалентность определений 10 и 11.
Пусть система векторов a1, a2, .. . , akлинейно зависима по определению 10. Тогда один из векторов этой системы линейно выражается
через остальные. Без ограничения общности (сменив при необходимости нумерацию векторов в системе) можем считать, что a1является
линейной комбинацией остальных векторов
a1= γ2a2+ γ3a3+ ···+ γkak.
§ 17. Линейная зависимость векторов 137
Запишем это равенство так:
a1− γ2a2− γ3a3− ···− γkak= o.
Обозначив δi= −γi, i = 2, 3, ... , k, получаем
a1+ δ2a2+ ···+ δkak= o.
Так как первый коэффициент в последнем равенстве отличен от нуля,
то система векторов a1, a2, .. . , akлинейно зависима по определению 11.
Если теперь система векторов a1, a2, .. . , akлинейно зависима по
определению 11, то существует такой набор чисел γ1, γ2, .. . , γk, среди
которых не все равны нулю, и при этом выполняется равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o.
Без ограничения общности будем считать, что γ16= 0. Тогда это равен-
ство можно переписать в виде
Обозначим −
γ
a1= −
γ
i
= δii = 2, 3, . .. , k. Тогда последнее равенство прини-
γ
1
γ
2
a2−
1
γ
3
a2− ···−
γ
1
γ
k
ak.
γ
1
мает вид
a1= δ2a2+ δ3a3+ ···+ δkak.
Поэтому система векторов a1, a2, .. . , akлинейно зависима по определению 10.
Введем теперь в Anпонятие, аналогичное понятию некомпланарности векторов в A3, как отрицание определений 10 и 11.
Определение 12. Система векторов
a1, a2, .. . , a
k
пространства Anназывается линейно независимой, если ни один из
этих векторов не является линейной комбинацией остальных (не выражается линейно через остальные).
Или в другой форме, по определению 13.
Определение 13. Система векторов
a1, a2, .. . , a
k
138 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
пространства Anназывается линейно независимой, если равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o (4.29)
может выполняться только тогда, когда все коэффициенты в левой
части одновременно равны нулю: γ1= 0, γ2= 0, . . . , γk= 0.
Докажем эквивалентность этих определений. Пусть система векторов
a1, a2, .. . , a
k
линейно независима по определению 12. Предположим, что эта система не является линейно независимой по определению 13. Тогда
существует такой набор чисел γ1, γ2, .. . , γk, среди которых не все
равны нулю и при этом выполняется равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o.
Без ограничения общности будем считать, что γ16= 0. Тогда последнее
равенство можно переписать в виде
a1= δ2a2+ δ3a3+ ···+ δkak,
γ
где δi= −
i
, i = 2, 3, . .. , k. Это невозможно, так как система векторов
γ
1
a1, a2, .. . , akлинейно независима по определению 12. Получили про-
тиворечие с предположением.
Пусть теперь система векторов a1, a2, .. . , akлинейно независима по определению 13. Предположим, что эта система не является
линейно независимой по определению 12. Тогда один из векторов
этой системы линейно выражается через остальные. Без ограничения
общности можем считать, что a1линейно выражается через остальные
векторы:
a1= γ2a2+ γ3a3+ ···+ γkak.
Отсюда получаем
a1+ δ2a2+ ···+ δkak= o,
где δi= −γi, i = 2, 3, ... , k. Последнее равенство невозможно, поскольку первый коэффициент в его левой части отличен от нуля, а система
векторов a1, a2, .. . , akлинейно независима по определению 13. Получили противоречие с предположением. Таким образом, эквивалентность
определений 12 и 13 доказана.
С введением понятий линейной зависимости и линейной независимости векторов в Anподготовлена основа для построения в этих
§ 17. Линейная зависимость векторов 139
пространствах минимальных систем векторов, порождающих все пространство An. Предварительно отметим несколько простых, но важных
свойств линейной зависимости.
Свойство 1. Система пространства An, состоящая из одного
вектора a, линейно зависима тогда и только тогда, когда a = o.
Действительно, если a = o, то 1a = o и система линейно зависима по определению 11. Если a — линейно зависимая система, то
существует число γ 6= 0, такое, что γa = o. Тогда a = o.
Свойство 2. Если система векторов пространства Anсодержит
линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.
Действительно, пусть система векторов
a1, a2, .. . , a
k
содержит линейно зависимую подсистему, состоящую из t векторов.
Для упрощения проведения доказательства можем считать, что это
первые t векторов данной системы:
a1, a2, .. . , a
t
(в противном случае векторы исходной системы перенумеруем). По
определению 11, существуют такие числа γ1, γ2, .. . , γt, среди которых
не все равны нулю, и при этом выполняется равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γtat= o.
В левую часть этого равенства добавим слагаемые, содержащие
остальные векторы исходной системы с нулевыми коэффициентами:
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γtat+ 0a
+ ···+ 0ak= o.
t+1
Так как среди первых t коэффициентов последнего равенства имеется
хотя бы один ненулевой, то исходная система векторов линейно зависима.
Из этого свойства непосредственно вытекает следующее утверждение.
Свойство 3. Если система векторов пространства Anсодержит
два равных или два пропорциональных вектора, то она линейно зависима. Линейно зависимой будет, в частности, любая система векторов,
содержащая нулевой вектор.
Часто будем использовать это свойство в другой эквивалентной
формулировке.
140 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Свойство 30. Если система векторов пространства Anлинейно
независима, то любая ее подсистема также линейно независима.
Рассмотрим вопрос о существовании в Anминимальных систем
векторов, порождающих все пространство. Рассмотрим n-мерные векторы
ε1= (1, 0, .. . , 0),
ε2= (0, 1, .. . , 0),
(4.30)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
εn= (0, 0, .. . , 1),
называемые единичными векторами пространства An. (Здесь мы отступили от принципа обозначать векторы строчными латинскими буквами в силу традиционности обозначения этих векторов буквами εi.)
Покажем, что система векторов (4.30) линейно независима. Действительно, пусть
γ1ε1+ γ2ε2+ ···+ γnεn= o. (4.31)
Подставляя в (4.31) компоненты векторов εi, получим
γ1(1, 0, .. . , 0) + γ2(0, 1, .. . , 0) + ··· + γn(0, 0, .. . , 1) =
= (γ1, 0, .. . , 0) + (0, γ2, .. . , 0) + ··· + (0, 0, ... , γn) =
= (γ1, γ2, .. . , γn) = (0, 0, ... , 0).
Из последнего равенства этой цепочки и из определения равенства
двух векторов в Anясно, что γi= 0 для всех i = 1, 2, ... , n. Тогда
равенство (4.31) выполняется только при нулевых коэффициентах,
и поэтому система векторов (4.30) линейно независима.
Присоединим к системе (4.30) произвольный вектор x из пространства An:
ε1= (1, 0, .. . , 0),
ε2= (0, 1, .. . , 0),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
(4.32)
εn= (0, 0, .. . , 1),
x = (α1, α2, .. . , αn).
Так как очевидно, что
x = α1ε1+ α2ε2+ ···+ αnεn, (4.33)
то система векторов (4.32) линейно зависима для любого вектора x.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]