Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 9. Вычисление корней многочленов 81
Из последней леммы получаем, что все положительные корни
1
многочлена f(x) содержатся в интервале
N
1
, N
, а все отрица-
0
1
тельные корни — в−N2, −
N
.
3
Из существующих многочисленных методов разыскания верхней
границы положительных корней многочлена изложим лишь метод
Ньютона. Этот метод обычно дает хорошие результаты.
Лемма 2.7. Пусть f(x) — многочлен степени n с действительны-
ми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом. Если
при x = c многочлен f (x) и все его последовательные производные
f0(x), f00(x), .. . , f
(n)
(x) принимают положительные значения, то число
c служит верхней границей положительных корней.
Эта лемма очень просто доказывается с использованием формулы
Тейлора [1, с. 245].
Покажем, как можно использовать эту лемму для отыскания
числа c. Если an— старший коэффициент многочлена f (x), то производная f
многочлен f
(n)
(x) = n!anявляется положительным числом, поэтому
(n−1)
(x) будет возрастающей функцией от x. По свойству
непрерывных функций существует такое число c1, что при x > c1производная f
ная f
(n−2)
такое число c2> c1, что при x > c2производная f
(n−1)
(x) положительна. Следовательно, при x > c1производ-
(x) будет возрастающей функцией от x и поэтому найдется
(n−3)
(x) будет также
положительной. Продолжая этот процесс, получим искомое число c.
Замечание. Указание границ, между которыми должны со-
держаться действительные корни многочлена, вовсе не означает,
что такие корни на самом деле существуют. Однако если степень многочлена с действительными коэффициентами нечетна,
то такой многочлен обязательно должен иметь хотя бы один
действительный корень, поскольку его комплексные корни попарно
сопряжены.
Рассмотрим задачу определения общего количества действительных корней многочлена с действительными коэффициентами, а также
их расположения на числовой оси. А именно, научимся определять,
какое количество действительных корней многочлена находится в заданном интервале (a, b). Заметим, что почти все существующие методы
решения этой задачи громоздки. В настоящее время наиболее удобен
метод Штурма, которым и воспользуемся.
Вначале введем несколько определений.
82 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Определение 25. Пусть дана упорядоченная конечная система
действительных чисел, отличных от нуля, например
2, −3, −6, 5, −8, 7, 10, −12, −2, 1. (2.78)
Выпишем в том же порядке знаки этих чисел:
+, −, −, +, −, +, +, −, −, + . (2.79)
В системе знаков (2.79) шесть раз рядом стоят противоположные
знаки. В соответствии с этим мы будем говорить, что в упорядоченной
числовой системе (2.78) имеет место шесть перемен знаков.
Поставленную выше задачу будем решать для многочлена f (x)
с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней.
Если не выполняется последнее условие, то в соответствии с теоремой
2.6, разделив f (x) на наибольший общий делитель его и его производной, получим многочлен f1(x), который уже не будет иметь кратных
корней, но каждый действительный корень f1(x) будет корнем f(x) и
наоборот.
Определение 26. Пусть многочлен f(x) с действительными ко-
эффициентами не имеет кратных корней. Конечная упорядоченная
система отличных от нуля многочленов с действительными коэффициентами
f(x) = f0(x), f1(x), .. . , ft(x) (2.80)
называется системой Штурма для многочлена f (x), если для нее
выполняются условия:
1) соседние многочлены системы (2.80) не имеют общих корней;
2) последний многочлен ft(x) не имеет действительных корней;
3) если α — действительный корень одного из промежуточных
многочленов fk(x) системы (2.80), 1 6 k 6 t − 1, то f
(α) и f
k−1
k+1
(α)
имеют разные знаки;
4) если α — действительный корень многочлена f(x), то произ-
ведение f(x)f1(x) меняет знак с минуса на плюс, когда x переходит
через точку α слева направо.
Вопрос о существовании системы Штурма для многочлена f(x)
рассмотрим позднее, а здесь покажем, как можно использовать эту систему для вычисления количества действительных корней многочлена.
Пусть число c не является корнем многочлена f(x), для которого
(2.80) будет системой Штурма. Рассмотрим систему действительных
§ 9. Вычисление корней многочленов 83
чисел
f(c), f1(c), .. . , ft(c),
вычеркнем из нее числа, равные нулю, и обозначим через W (c) число
перемен знаков в оставшейся системе при x = c. Тогда справедлива
теорема 2.15.
Теорема 2.15 (Штурма). Если действительные числа a и b, a < b
не являются корнями многочлена f (x) с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней, то W(a) > W (b) и разность
W (a) − W (b) равна числу действительных корней многочлена f(x),
расположенных на интервале (a, b).
Доказательство этой теоремы представлено в [1]. Здесь мы покажем, как эта теорема позволяет определять количество действительных корней многочлена, удовлетворяющего ее условию.
Вообще говоря, в качестве числа a можно взять нижнюю границу
отрицательных корней многочлена f (x), а в качестве b — верхнюю границу положительных корней. На практике, однако, поступают иначе.
По лемме о модуле старшего члена существует такое положительное
число N, что при |x| > N знаки всех многочленов системы Штурма для f (x) будут совпадать со знаками их старших членов. Если
теперь M > N, то очевидно, что за пределами интервала (−M, M )
все многочлены системы Штурма для многочлена f (x) не имеют
действительных корней и теперь в качестве интервала (a, b) удобно
рассматривать интервал (−M, M ). При этом число M определять не
надо, необходимо лишь использовать тот факт, что это число, вообще
говоря, достаточно большое. Поэтому можно считать, что рассматривается интервал (−∞, +∞), а подразумевается конечный интервал
(−M, M ). Применяя теперь теорему Штурма к интервалу (−∞, +∞),
получим число всех действительных корней многочлена f (x). После
применения этой теоремы к интервалам (−∞, 0) и (0, +∞) узнаем,
сколько отрицательных и положительных корней имеет многочлен.
Очевидно, что, сужая границы интервалов (−∞, 0), (0, +∞), сначала
определим конечные интервалы (a,b) и (c, d), содержащие соответственно все отрицательные и положительные корни многочлена f(x),
а затем, разделяя полученные интервалы, окончательно получим cи-
стему конечных интервалов, каждый из которых содержит только
один корень многочлена. В таком случае будем говорить, что корни
многочлена отделены. К каждому из таких интервалов можно при-
менять теперь различные известные методы, позволяющие получить
значение корня с заданной точностью. Как правило, эти методы не
84 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
алгебраические (например метод хорд, касательных и т. п.), и поэтому
здесь их не приводим.
В завершение познакомимся с одним из методов построения
системы Штурма для многочлена f(x) с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней. В качестве многочлена f1(x)
возьмем f0(x). Таким выбором будет обеспечено выполнение условия
4) определения 26. В самом деле, пусть α — действительный корень
многочлена f (x) и, так как f (x) не имеет кратных корней, f0(α) 6= 0.
По известным свойствам непрерывных функций найдется интервал,
содержащий точку α, в котором f0(x) будет сохранять знак, а на
его концах значения f (x) будут разных знаков. Пусть для начала
f0(α) > 0, тогда в указанном интервале f(x) возрастает и поэтому
слева от α многочлен f (x) принимает отрицательные значения, а
справа — положительные. Тогда произведение f(x)f0(x) = f(x)f1(x)
при переходе x через α слева направо меняет знак с минуса на плюс.
Аналогично рассматривается случай, когда f0(α) < 0. Для построения
следующих многочленов системы Штурма для многочлена f (x) применим алгоритм, почти совпадающий с алгоритмом Евклида (нахождение
наибольшего общего делителя двух многочленов). Вначале разделим
f(x) на f1(x) и остаток от этого деления, взятый с противоположным
знаком, назовем f2(x):
f(x) = f1(x)q1(x) − f2(x).
Пусть уже найдены многочлены f
остатком от деления f
f
(x) на fk(x), взятым с обратным знаком:
k−1
(x) = fk(x)qk(x) − f
k−1
(x) и fk(x), тогда f
k−1
(x). (2.81)
k+1
(x) будет
k+1
Так как на каждом этапе деления степень остатка строго меньше степени делителя, то через конечное число шагов этот процесс
завершится построением последнего многочлена ft(x). Этот многочлен
будет отличаться от наибольшего общего делителя f(x) и f0(x), возможно, только знаком. Если степень многочлена ft(x) больше нуля, то
многочлены f (x) и f0(x) будут иметь общие корни, что невозможно,
ибо f(x) не имеет кратных корней. Значит, многочлен ft(x) имеет
степень 0 и поэтому не имеет действительных корней, откуда следует
выполнение условия 2) определения 26. Для доказательства справедливости условия 1) для построенной системы многочленов предположим, что два соседних fk(x) и f
равенства (2.81) вытекает, что α является корнем многочлена f
(x) имеют общий корень α. Тогда из
k+1
k−1
(x).
§ 9. Вычисление корней многочленов 85
Из предыдущего равенства описанного выше алгоритма
f
k−2
(x) = f
k−1
(x)q
(x) − fk(x)
k−1
следует, что α также корень многочлена f
(x). Поднимаясь в этом
k−2
алгоритме выше, в конце получим, что число α будет одновременно
корнем многочленов f (x) и f0(x), что невозможно по причине отсутствия у многочлена f(x) кратных корней. Наконец, выполнение условия 3) определения 26 вытекает непосредственно из равенства (2.81).
Действительно, если fk(α) = 0, то f
(α) = −f
k−1
k+1
(α).
Пример. Составить систему Штурма и отделить действительные
корни многочлена
f(x) = x3− 7x −7.
Решение. Возьмем f0(x) = f(x), f1(x) = f0(x) = 3x2− 7. При
делении 3f0на f1(x) в остатке получим −14x −21, так что в качестве
f2(x) можно взять 2x + 3. При делении 4f1(x) на f2(x) получим в
остатке −1, поэтому f3(x) = 1. Окончательно получили систему Штурма для f(x):
f0(x) = x3− 7x −7, f1(x) = 3x2− 7, f2(x) = 2x + 3, f3(x) = 1.
Составим таблицу распределения знаков:
a f0f1f2f3W (a)
–∞ – + – + 3
–2 – + – + 3
–1 – – + + 1
0 – – + + 1
+∞ + + + + 0.
Из таблицы и теоремы Штурма следует, что f (x) имеет один
положительный корень и два отрицательных в интервале (−2, −1).
Для уточнения расположения корней вычислим f (−3/2) = 1/8 > 0,
поэтому можно заключить, уже не обращаясь к ряду Штурма, что
корни расположены по одному в интервалах (−2, −3/2) и (−3/2, −1).
Для уточнения положения положительного корня заметим, что f(3) =
= −1 < 0, f(4) = 29 > 0, значит, корень расположен в интервале (3, 4).
Упражнения для самостоятельной работы
1. Разделить многочлен f(x) с остатком на многочлен g(x):
86 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
а) f (x) = 2x4− 3x3+ 4x2− 5x −1, g(x) = x2− 3x + 1;
б) f (x) = x3− 3x2− x −1, g(x) = 3x2− 2x + 1.
2. Найти наибольший общий делитель многочленов:
а) f (x) = x4+ x3− 3x2− 4x −1, g(x) = x3+ x2− x −1;
б) f (x) = x6+ 2x4− 4x3− 3x2+ 8x −5, g(x) = x5+ x2− x + 1;
в) f (x) = x5+ 3x2− 2x + 2, g(x) = x6+ x5+ x4− 3x2+ 2x −6.
3. Найти наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) и его
линейное выражение через f(x) и g(x):
f(x) = x4+ 2x3− x2− 4x −2, g(x) = x4+ x3− x2− 2x −2.
4. Доказать, что многочлены f(x) и g(x) взаимно простые и методом
неопределенных коэффициентов подобрать такие многочлены u(x) и
v(x), что f (x)u(x) + g(x)v(x) = 1:
f(x) = x4− 4x3+ 1, g(x) = x3− 3x2+ 1.
5. Выделив кратные неприводимые множители многочлена f (x), разложить его на неприводимые множители:
f(x) = x6− 15x4+ 8x3+ 51x2− 72x + 27.
6. Разделить многочлен f(x) с остатком на x −x0и вычислить значение f (x0):
а) f (x) = 2x5− 5x3− 8x, x0= −3;
б) f (x) = x5, x0= 1.
7. Разложить многочлен по степеням x − x0и найти значения его
производных в точке x0:
f(x) = x4+ 4x3+ 6x2+ 10x + 20, x0= −2.
8. Определить кратность корня x0многочлена f(x):
f(x) = x5− 6x4+ 2x3+ 36x2− 27x −54, x0= 3.
9. Найти наибольший общий делитель многочленов:
а) (x − 1)(x2− 1)(x3− 1)(x4− 1);
б) (x + 1)(x2+ 1)(x3+ 1)(x4+ 1).
§ 9. Вычисление корней многочленов 87
10. Разложить рациональную дробь на простейшие над R:
2
а)
x
;
x4− 16
б)
(x + 1)(x2+ 1)
;
2
1
x
в)
.
x3− 1
11. Составить ряд Штурма и отделить действительные корни многочленов:
а) f (x) = x3− 3x −1;
б) f (x) = x4− 12x2− 16x −4;
в) f (x) = 2x4− 8x3+ 8x2− 1.
Г л а в а 3
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. АЛГЕБРА
МАТРИЦ
Понятие числовой матрицы естественно возникает при рассмотрении систем линейных уравнений. В общем случае системы линейных
уравнений будут рассмотрены в главе 4, но первое знакомство с ними
происходит в школе, где рассматриваются линейные системы из двух
и трех уравнений от двух и трех неизвестных соответственно
a11x + a12y + a13z = b1,
a21x + a22y + a23z = b2,
a31x + a32y + a33z = b3.
Здесь aij, и bk— числовые коэффициенты системы, x, y, z —
неизвестные.
Среди прочих методов решения таких систем изучается и метод последовательного исключения неизвестных. Все операции этого
метода сводятся к выполнению некоторых действий только с коэффициентами системы. Поэтому вполне естественно, что коэффициенты
системы выписывают в отдельные прямоугольные таблицы (с сохранением порядка их взаимного расположения):
A =
a11a12a
a21a22a
a31a32a
13
23
33
, B =
b
1
b
2
b
3
и далее все необходимые действия проводят с построенными таблицами коэффициентов (подробно в главе 4). Эти таблицы являются
частным случаем более общего понятия.
§ 10. Матрицы. Операции над матрицами
Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица
из чисел, называемых элементами матрицы, содержащая некоторое
количество m строк и некоторое количество n столбцов.
Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых будут
действительные или комплексные числа. Матрицы обозначаются про-
§ 10. Матрицы. Операции над матрицами 89
писными латинскими буквами, а их элементы — строчными латинскими или греческими буквами с двумя нижними индексами: aij,
αij. Здесь первый индекс указывает на номер строки, а второй — на
номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.
Число строк и столбцов матрицы называется ее размерностью.
Так, если матрица A имеет m строк и n столбцов, то ее размерность
записывается в виде (m × n), а сама матрица имеет вид:
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
... a
... a
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
mn
. (3.1)
Если все элементы матрицы равны 0:
0 0 ... 0
0 0 ... 0
.
.
.
.
.
.
.
, (3.2)
.
.
.
.
.
0 0 ... 0
то такая матрица называется нулевой соответствующей размерности.
Особое значение имеют матрицы, в которых число строк и столбцов
одинаково. Такие матрицы называются квадратными. Как правило,
размерность квадратной матрицы записывают одним числом, которое
называется порядком матрицы. Все элементы квадратной матрицы,
имеющие одинаковые индексы a11, a22, .. . , ann, образуют главную диа-
гональ. Другая диагональ квадратной матрицы называется побочной.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны 0, то такая матрица называется диагональной.
Диагональные матрицы, в которых все элементы главной диагонали
равны между собой, называются скалярными. Скалярная матрица, в
которой все элементы главной диагонали равны единице, называется
единичной матрицей соответствующей размерности.
Определение 2. Две матрицы называются равными, если равны
их размерности и равны их соответствующие элементы, т. е. элементы,
расположенные на пересечениях строк и столбцов с одинаковыми
номерами в обеих матрицах.
90 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Определение 3. Пусть даны две матрицы A и B одинаковой
размерности (m × n):
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
1n
2n
.
.
.
mn
, B =
b
11b12
b
21b22
.
.
.
b
m1bm2
.
.
.
.. . b
.. . b
.
.
.
.. . b
1n
2n
.
.
.
mn
.
Суммой матриц A и B называется матрица C размерности
(m × n), каждый элемент cijкоторой есть сумма соответствующих
элементов матриц A и B:
cij= aij+ bij.
Для сложения матриц будем употреблять привычный символ +.
Заметим, что для обозначения других арифметических операций над
матрицами (вычитание, умножение матрицы на число и умножение
матриц) мы также будем использовать привычные символы. Таким
образом,
A + B =
a11+ b
a21+ b
am1+ b
11
21
.
.
.
m1am2
a12+ b
a22+ b
.
.
.
+ b
... a1n+ b
12
... a2n+ b
22
.
.
.
... amn+ b
m2
.
.
.
1n
2n
mn
. (3.3)
Отметим основные свойства операции сложения матриц.
1. A + B = B + A — коммутативность сложения.
2. (A + B) + C = A + (B + C) — ассоциативность сложения.
3. Для каждой размерности существует нейтральная по сложению матрица, обозначим ее 0, т. е. такая матрица соответствующей
размерности, что A + 0 = A для любой матрицы A. Очевидно, что
в качестве нейтральной по сложению можно взять нулевую матрицу
соответствующей размерности (3.2).
4. Для любой матрицы A существует противоположная, будем
ее обозначать −A, т. е. такая, что A + (−A) = 0. Чтобы получить
матрицу −A, нужно изменить знаки элементов матрицы A на противоположные.
Первые два свойства следуют из соответствующих свойств действительных и комплексных чисел. Оставляем читателю (в качестве
упражнений) доказать, что для каждой размерности существует единственная нейтральная по сложению матрица и для каждой матрицы
существует единственная противоположная ей матрица.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]