Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 1. Построение системы комплексных чисел 11
координаты которого находятся по следующему правилу:
c = (α + γ, β + δ). (1.2)
Убедимся, что выполняются все известные свойства операции
сложения.
Коммутативность сложения:
a + b = (α + γ, β + δ) = (γ + α, δ + β) = b + a.
Таким образом, для любых a, b ∈ K имеет место
a + b = b + a. (1.3)
Ассоциативность сложения. Если c = (ζ, η), то
(a + b) + c = ((α + γ) + ζ, (β + δ) + η) =
= (α + (γ + ζ), β + (δ + η)) = a + (b + c).
Окончательно имеем
(a + b) + c = a + (b + c) (1.4)
для всех a, b, c ∈ K.
Существование нейтрального по сложению числа. В качестве
нейтрального по сложению числа возьмем точку
o = (0, 0). (1.5)
Действительно, a + o = (α + 0,β + 0) = (α, β) = a. Других нейтральных по сложению чисел в K нет. Действительно, если o1— другое
нейтральное число, то o = o + o1= o1+ o = o1.
Существование противоположного числа. Число b называется
противоположным для a, если a + b = o. Очевидно, что для a = (α, β)
противоположным является число
b = (−α, −β). (1.6)
Если c — другое противоположное для a число, то
b = b + o = b + (a + c) = (b + a) + c = o + c = c.
Значит, для каждого числа a ∈ K имеется единственное противоположное, которое будем обозначать −a. Заметим, что если a 6= o,
то a 6= −a.
12 Глава 1. Комплексные числа
Определение 2. Разностью a −b называется комплексное число,
которое получается следующим образом:
a − b = a + (−b). (1.7)
Так как для каждого комплексного числа b существует единственное противоположное число −b, то операция вычитания определена однозначно.
Определение 3. Пусть a = (α, β), b = (γ, δ). Под произведением
ab двух комплексных чисел a и b будем понимать такую точку c,
координаты которой находятся по правилу:
ab = (α, β)(γ, δ) = (αγ − βδ, αδ + βγ). (1.8)
Как и сложение, умножение комплексных чисел имеет те же
свойства, что и произведение действительных чисел.
Коммутативность умножения:
ab = (α, β)(γ, δ) = (αγ − βδ, αδ + βγ) = (γα − δβ, γβ + δα) = ba.
Таким образом,
ab = ba (1.9)
для всех a, b ∈ K.
Ассоциативность умножения. Пусть c = (ζ,η). Тогда
(ab)c = ((α, β)(γ, δ))(ζ, η) = (αγ − βδ, αδ + βγ)(ζ, η) =
= ((αγ −βδ)ζ − (αδ + βγ)η, (αγ − βδ)η + (αδ + βγ)ζ) =
= (αγζ −βδζ − αδη − βγη, αγη − βδη + αδζ + βγζ) =
= (α(γζ −δη) −β(γη + δζ), α(γη + δζ) + β(γζ − δη)) =
= (α, β)(γζ − δη, γη + δζ) = (α, β)((γ, δ)(ζ, η)) = a(bc).
Значит, при любых a, b, c ∈ K справедливо равенство
(ab)c = a(bc). (1.10)
Существование нейтрального по умножению числа. Таким
числом является
Действительно,
ae = (α, β)(1, 0) = (α ·1 − β · 0, α · 0 + β · 1) = (α, β) = a.
e = (1, 0). (1.11)
§ 1. Построение системы комплексных чисел 13
Если e1— другое нейтральное по умножению число, то
e = ee1= e1e = e1.
Таким образом, e будет единственным нейтральным по умножению
комплексным числом.
Существование обратного числа. Число b называется обратным для a, если ab = e. Если a = (α, β), а b = (x, y), то
(α, β)(x, y) = (αx − βy, αy + βx) = (1, 0).
Приравнивая соответствующие координаты, получаем
αx − βy = 1,
(1.12)
βx + αy = 0.
Умножая первое уравнение на α, второе — на β и складывая, получим
(α2+ β2)x = α.
Это уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда,
когда α2+ β26= 0, т. е. когда a 6= o = (0, 0). При выполнении этого
условия
α
x =
α2+ β
.
2
Подставляя найденное значение x во второе уравнение системы, находим значение y:
−β
y =
α2+ β
.
2
Число, обратное для a, будем обозначать a−1. Таким образом, для любого комплексного числа a 6= o с координатами a = (α, β) справедливо
a−1=
α2+ β
α
,
2
α2+ β
−β
. (1.13)
2
Убедимся, что выполняется свойство дистрибутивности. Пусть
a = (α, β), b = (γ, δ), c = (ζ, η). Тогда
a(b + c) = (α, β)((γ, δ) + (ζ, η)) = (α, β)(γ + ζ, δ + η) =
= (α(γ + ζ) −β(δ + η), α(δ + η) + β(γ + ζ)) =
= (αγ + αζ − βδ − βη, αδ + αη + βγ + βζ) =
= ((αγ −βδ) + (αζ −βη), (αδ + βγ) + (αη + βζ)) =
14 Глава 1. Комплексные числа
= (αγ −βδ,αδ + βγ) + (αζ −βη, αη + βζ) = ab + ac.
Таким образом для любых комплексных чисел a, b, c справедливо
равенство
a(b + c) = ab + ac. (1.14)
Поскольку умножение комплексных чисел коммутативно, то, очевидно, выполняется и равенство
(a + b)c = ac + bc. (1.15)
Операцию деления комплексных чисел зададим как обратную к
умножению.
Определение 4. Число c = (x, y) будем называть частным от
деления числа a = (α, β) на число b = (γ, δ), если a = bx.
Отсюда
(α, β) = (γ,δ)(x, y) = (γx − δy, γy + δx).
Составим систему уравнений:
γx − δy = α,
(1.16)
δx + γy = β.
Умножим первое уравнение на γ, второе — на δ и сложим. В результате получим
(γ2+ δ2)x = αγ + βδ. (1.17)
Уравнение (1.17) имеет единственное решение тогда и только
тогда, когда γ2+ δ26= 0. Следовательно, если b 6= o = (0, 0), то из (1.17)
αγ + βδ
x =
γ2+ δ
.
2
Теперь исключим x из системы (1.16). Для этого первое уравнение
умножим на −δ, второе — на γ и сложим. Получим
(γ2+ δ2)y = βγ − αδ. (1.18)
Как и выше, если b 6= o = (0, 0), то уравнение (1.18) имеет единственное решение:
βγ − αδ
y =
γ2+ δ
.
2
§ 1. Построение системы комплексных чисел 15
В итоге получаем: если b 6= o = (0, 0), то
a
b
=
αγ + βδ
γ2+ δ
2
βγ − αδ
,
γ2+ δ
. (1.19)
2
Нетрудно проверить, что
a
= ab−1.
b
Итак, на K определены основные арифметические операции и,
значит, завершено построение системы комплексных чисел.
Проверим новые операции на множестве R действительных чисел. Пусть a, b ∈ R. Так как R ⊂ K, то a, b ∈ K. Выше уже отмечалось,
что каждое действительное число — это соответствующая точка на
оси абсцисс в выбранной системе координат. Поэтому a и b как
комплексные числа записываются таким образом: a = (a, 0), b = (b, 0).
Применим к a и b те арифметические операции, которые были определены на K. Из (1.2), (1.7), (1.8) и (1.19) получаем
a + b = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
a − b = (a, 0) − (b, 0) = (a − b, 0),
ab = (a, 0)(b, 0) = (ab, 0),
a
ab
=
b
b
=
a
, 0.
b
0
,
2
2
b
Таким образом, применение операций на K к точкам оси абсцисс дает
те же результаты, что и соответствующие операции на R. Следовательно, K есть алгебраическое расширение множества действительных
чисел R. Это дает нам возможность не различать действительное
число a и точку (a, 0) ∈ K, что в конечном счете позволит перейти к
другой, более удобной форме записи комплексных чисел.
Теперь осталось выяснить, содержит ли K корень уравнения
(1.1). Обозначим через i комплексное число (0, 1). Тогда
i2= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0).
Выше было условлено не отличать действительное число −1 от
комплексного числа (−1, 0), поэтому
i2= −1. (1.20)
16 Глава 1. Комплексные числа
Очевидно, что число i является корнем уравнения (1.1) и по-
ставленная в начале этого параграфа задача решена полностью.
Далее перейдем к другой, более удобной форме записи комплексных чисел. Пусть (α,β) — произвольное комплексное число. Очевидно,
(α, β) = (α, 0) + (0, β).
Но (0, β) = (0,1)(β, 0). Учитывая, что (α, 0) = α, (β, 0) = β и (0, 1) = i,
окончательно получаем
(α, β) = α + iβ = α + βi. (1.21)
Если комплексное число записано в виде a = α + iβ либо
a = α + βi, то любую из этих форм записи комплексного числа будем называть алгебраической. По сложившейся терминологии число
i называется мнимой единицей, α действительной, а iβ — мнимой
частями комплексного числа. Плоскость, точки которой использованы
для построения множества комплексных чисел, называют комплекс-
ной плоскостью, а оси абсцисс и ординат в выбранной прямоугольной
декартовой системе координат — соответственно действительной и
мнимой осями.
Теперь приведем правила, по которым выполняются все введенные нами арифметические операции, если комплексные числа записывают в алгебраической форме (1.21). Используя (1.2), (1.7), (1.8) и
(1.19), легко убедиться в справедливости равенств:
(α + iβ) + (γ + iδ) = (α + γ) + i(β + δ);
(α + iβ) − (γ + iδ) = (α − γ) + i(β − δ);
(α + iβ)(γ + iδ) = (αγ −βδ) + i(αδ + βγ);
α + iβ
γ + iδ
αγ + βδ
=
γ2+ δ
2
βγ − αδ
+ i
γ2+ δ
.
2
В последнем равенстве предполагается, что γ + iδ 6= 0 + i0.
Нет никакой необходимости запоминать все эти формулы. В
первых двух надо лишь раскрыть скобки и привести подобные относительно действительных и мнимых частей. При умножении двух
комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, нужно формально перемножить слагаемые, содержащиеся в каждой скобке (как
двухчлен на двухчлен), учитывая, что i2= −1, а затем выделить
действительную и мнимую части полученной суммы.
§ 1. Построение системы комплексных чисел 17
Выполнение операции деления также легко формализуется, если
предварительно числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, отличающееся от знаменателя лишь знаком при мнимой части.
Действительно,
α + iβ
γ + iδ
(α + iβ)(γ − iδ)
=
(γ + iδ)(γ − iδ)
(αγ + βδ) + i(βγ − αδ)
=
γ2+ δ
2
=
αγ + βδ
=
γ2+ δ
βγ − αδ
+ i
2
γ2+ δ
2
Заметим, что операции сложения и вычитания комплексных
чисел, записанных в алгебраической форме, хорошо интерпретируются на комплексной плоскости. Действительно, если a = α + iβ и
b = γ + iδ, то радиусы-векторы точек a и b имеют координаты (α, β)
и (γ, δ) соответственно. Но тогда, сравнивая формулу сложения комплексных чисел и правило сложения векторов в координатной форме,
получаем, что точка a + b совпадает с концом вектора, который является суммой указанных выше радиусов-векторов. Таким образом, при
сложении комплексных чисел можно применять «правило параллелограмма». Аналогично интерпретируется операция вычитания (рис. 1.2).
M
β + δ
b
δ
a + b
.
β
O
γ
a
α + γ
α
D
a − b
−b
Рис. 1.2
Примеры
1) (2 + i)(1 − i) + (−1 + 2i)(2 −i) = (2 − 2i + i −i2) + (−2 + i + 4i −
− 2i2) = (2 + 1 − 2 + 2) + i(−2 + 1 + 1 + 4) = 3 + 4i.
2
5 − 5i
2
=
= 1 − i.
5
2)
3 − i
2 + i
(3 − i)(2 −i)
=
(2 + i)(2 −i)
6 − 3i −2i + i
=
22− i
18 Глава 1. Комплексные числа
§ 2. Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел. Сопряженные числа
В предыдущем параграфе при построении системы комплексных
чисел каждая точка плоскости отождествлялась с некоторым комплексным числом. При этом на плоскости была введена прямоуголь-
ная декартова система координат, что позволило в конечном счете
записывать комплексные числа в алгебраической форме. Однако при
использовании только этой формы записи в дальнейшем комплексные
числа будет сложно возводить в большую по абсолютной величине степень, практически невозможно дать геометрическую интерпретацию
операций умножения и деления, принципиальные проблемы возникают
при извлечении корней n-й степени из комплексных чисел и т. п. Для
того чтобы разрешить эти и многие другие вопросы (в частности,
связанные с постановкой и решением многих задач прикладного характера), вводится так называемая тригонометрическая форма записи
комплексных чисел. Суть ее заключается в следующем.
Пусть a = α + iβ — произвольное комплексное число, отлич-
ное от нуля. Соединим начало координат с точкой A(α, β) и длину
полученного отрезка обозначим r. Далее, величину угла между по-
ложительным направлением оси абсцисс и направлением из начала
координат на эту точку обозначим ϕ∗(см. рис. 1.3). Величина угла ϕ
(в радианной мере) в полярной системе координат обычно изменяется
в пределах 0 6 ϕ < 2π, хотя (как будет видно из дальнейших рассуждений) возможен и выход величины угла за пределы полуинтервала
[0; 2π).
M
A(α, β)
r
β
ϕ
O
∗
Всюду в дальнейшем исключительно для сокращения записей и краткости речи под термином
типа угол ϕ будем понимать величину (меру) угла (обозначаемую ϕ) как геометрической фигуры,
образованной двумя лучами (возможно, совпадающими), имеющими общее начало.
α
Рис. 1.3
B
D
§ 2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Сопряженные числа 19
Из прямоугольного треугольника OAB имеем
α2+ β2= r2, α = r cos ϕ, β = r sin ϕ. (1.22)
При этом очевидно, что r = +pα2+ β2. Подставляя α и β из
(1.22) в формулу a = α + iβ, получаем тригонометрическую форму
записи комплексного числа a:
a = r(cos ϕ + i sin ϕ). (1.23)
Определение 5. Число r называется модулем, а угол (величина
угла) ϕ — аргументом комплексного числа a 6= 0.
Для модуля и аргумента имеют место обозначения:
r = |a|, ϕ = arg a.
Аргумент числа a считается положительным, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным — в противном
случае. При этом любой из углов ϕ + 2kπ, где k — целое, также
считается аргументом числа a.
Число 0 аргумента не имеет, но модуль этого числа определяется равенством |0| =√02+ 02= 0. Таким образом, можно вы-
числить модуль любого комплексного числа, при этом r > 0 и r = 0
только для числа 0.
Заметим, что если заданы модуль r0и аргумент ϕ0, то существует лишь одно комплексное число a0с такими параметрами. Действительно, на комплексной плоскости все числа с аргументом ϕ0расположены на полупрямой, которая выходит из начала координат и образует
с положительным направлением оси абсцисс угол ϕ0. Очевидно, на
этой полупрямой только одна точка a0расположена на расстоянии r
от начала координат. Предположим, что отличное от нуля комплексное
число a = α + βi может иметь две тригонометрические формы записи:
a = r1(cos ϕ1+ i sin ϕ1) и a = r2(cos ϕ2+ i sin ϕ2).
Тогда α = r1cos ϕ1= r2cos ϕ2и β = r1sin ϕ1= r2sin ϕ2. Отсюда
0
r1= +pα2+ β2= r
2
и
cos ϕ1= cos ϕ2, sin ϕ1= sin ϕ2.
20 Глава 1. Комплексные числа
Поэтому
r1= r2= |a| и ϕ1= ϕ2+ 2kπ
при целом k, т.е. ϕ1= arg a и ϕ2= arg a. Таким образом, любое
отличное от нуля комплексное число однозначно записывается в
тригонометрической форме, причем аргумент определяется с точностью до слагаемых, кратных 2π.
Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме,
то операции умножения и деления проще выполнять и легко интерпретировать. Действительно, пусть числа a и b записаны в тригонометрической форме:
a = r(cos ϕ + i sin ϕ), b = s(cos ψ + i sin ψ).
Перемножим их:
ab = [r(cos ϕ + i sin ϕ)][s(cos ψ + i sin ψ)] =
= [r cos ϕ + ir sin ϕ][s cos ψ + is sin ψ] =
= rs[(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)] =
= rs[cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)].
Окончательно:
ab = rs[cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)]. (1.24)
Отсюда |ab| = rs и arg ab = ϕ + ψ и, значит,
|ab| = |a||b|, (1.25)
arg ab = arg a + arg b. (1.26)
Из (1.25) и (1.26) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент
произведения равен сумме аргументов сомножителей. Очевидно,
что это правило легко распространяется на любое конечное число
сомножителей. Правило для аргумента произведения нужно понимать
с точностью до слагаемого, кратного 2π.
Пусть теперь b 6= 0, при этом очевидно, что s 6= 0. Тогда
a
r(cos ϕ + i sin ϕ)
=
b
s(cos ψ + i sin ψ)
rs[(cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ − cos ϕ sin ψ)]
=
[r(cos ϕ + i sin ϕ)][s(cos ψ − i sin ψ)]
=
[s(cos ψ + i sin ψ)][s(cos ψ −i sin ψ)]
s2(cos2ψ + sin2ψ)
=
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]