Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 3. Возведение в степень. Извлечение корней из комплексных чисел 31
В частности, она верна для всех действительных чисел. Например, из
(1.45) следует
√
n
где k = 0, 1, 2, . .. , n − 1. Если a — любое положительное действительное число, то легко увидеть, что все значения
1 =
p
n
1(cos 0 + i sin 0) = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
, (1.48)
n
√
n
a можно
получить умножением всех значений (1.48) корня n-й степени из
числа 1 на число, равное арифметическому корню n-й степени из
числа a.
Пример 1. Используя тригонометрическую форму записи, вычис-
лить (1 + i√3 )
150
.
Решение. Применим формулу Муавра:
1 + i√3
= 2
150
150
=2cos
150π
cos
3
π
+ i sin
3
+ i sin
π
3
150π
3
150
= 2
=
150
(cos 50π + i sin 50π) =
150
= 2
(cos 0 + i sin 0) = 2
150
.
Пример 2. Функции cos 3ϕ и sin 3ϕ выразить через cos ϕ и sin ϕ.
Решение. Запишем куб суммы двумя способами:
(cos ϕ + i sin ϕ)3= cos 3ϕ + isin 3ϕ,
(cos ϕ + i sin ϕ)3= cos3ϕ + 3i cos2ϕ sin ϕ + 3i2cos ϕ sin2ϕ + i3sin3ϕ =
= (cos3ϕ − 3 cos ϕ sin2ϕ) + i(3 cos2ϕ sin ϕ − sin3ϕ).
Приравнивая действительные и мнимые части в правых частях полученных равенств, получаем:
cos 3ϕ = cos3ϕ − 3 cos ϕ sin2ϕ,
sin 3ϕ = 3 cos2ϕ sin ϕ − sin3ϕ.
√
Пример 3. Вычислить
6
2.
Решение. Запишем число 2 в тригонометрической форме и при-
меним формулу вычисления корня
b =
√
6
2 =
p
6
2(cos 0 + i sin 0) =
+
√
6
2(cos
2kπ
6
+ i sin
2kπ
),
6
32 Глава 1. Комплексные числа
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
k = 0; b0=
k = 1; b1=
k = 2; b2=
k = 3; b3=
k = 4; b4=
k = 5; b5=
√
6
2cos
+
+
√
6
+
√
6
2 (cos π + i sin π) = −
+
√
6
+
√
6
+
√
6
2cos
2cos
2cos
2cos
0
+ i sin
6
π
3
2π
3
4π
3
5π
3
0
6
+ i sin
+ i sin
+ i sin
+ i sin
=
π
3
2π
3
4π
3
5π
3
√
6
2;
+
;
;
√
6
2;
+
;
.
корня
На рис. 1.7 изображены найденные значения b0, b1, b2, b3, b4, b
√
6
2 и отмечены все значения e0, e1, e2, e3, e4, e5корня
√
6
1.
M
e
1
1 = e
e
5
b
1
√
0
b0=
6
2
+
D
b
5
−(
+
√
6
2) = b
3
b
2
e
2
e3= −1
e
4
b
4
Рис. 1.7
O
5
Так как
arg bi= arg ei,
√
6
то, умножая последовательно ei, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, на
значения корня
√
6
2.
2, получим все
+
В завершение этого параграфа заметим, что справедливо более
общее утверждение, а именно: все значения корня n-й степени из
§ 3. Возведение в степень. Извлечение корней из комплексных чисел 33
комплексного числа a можно получить умножением одного из этих
значений на все значения корня n-й степени из единицы. Действи-
тельно, пусть b — одно из значений корня n-й степени из числа
a, т. е. bn= a, а e — произвольное значение корня n-й степени из
единицы, т. е. en= 1. Тогда (be)n= bnen= 1, следовательно, be является
одним из значений корня
√
n
a. Умножая b на все значения
√
n
1, получим
n различных значений корня n-й степени из числа a, т.е. все значения
этого корня.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Выполнить действия:
а) (2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(2 + 3i)(3 + 4i);
(5 + i)(7 −6i)
б)
;
3 + i
в) (2 + i)3+ (2 −i)3;
(1 + i)
г)
(1 − i)
2. Вычислить i77, i98, i
5
.
3
−57
, in, где n — целое число.
3. Вычислить√i .
√
4. Вычислить
2
5 − 12i , не переводя в тригонометрическую форму.
5. Решить уравнения:
а) z2− (1 + i)z + 6 + 3i = 0;
б) z2+ (2i −7)z + 13 − i = 0.
6. Записать числа в тригонометрической форме:
√
3
а) 1; б) i; в) −1 + i√3 ; г) 1 + i
, д) cos α − i sin α.
3
7. Вычислить:
а) (√3 + i)30; б)
(−1 + i√3 )
(1 − i)
20
15
(−1 − i√3 )
+
(1 + i)
20
15
.
8. Решить уравнения:
а) |z| + z = 8 + 4i; б) |z|+ z = 8 + 12i.
9. На комплексной плоскости найти все точки z, удовлетворяющие
неравенствам:
а) |z − i| < 3; б) |z − 3 + i| > 2; в) |π − arg z| <
2 Б.К. Дураков
π
; г) z = z.
4
34 Глава 1. Комплексные числа
10. Функции cos 4ϕ и sin 4ϕ выразить через cos ϕ и sin ϕ.
11. Вычислить:
2
z
z1z2и
12. Вычислить и изобразить результаты на комплексной плоскости:
а)
√
6
1
z
2
i ; б)
, если z1= 1 − i√3 , z2=√3 + i.
√
3
1 + i ; в)
√
3
2 − 2i .
Г л а в а 2
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО
В школьном курсе математики изучают выражения вида akxk,
где x — переменная (неизвестное), которая может принимать любые
действительные значения, а ak— числовой коэффициент. При этом
степень k — любое, в том числе и отрицательное, целое число. Такие
выражения в элементарной алгебре называют одночленами.
В настоящей главе рассматриваются выражения, которые являются формальными конечными суммами одночленов от одного неизвестного x, причем все степени x — целые неотрицательные. Если
некоторое такое выражение традиционно обозначить через f (x), то
его, после приведения подобных относительно одинаковых степеней x,
всегда можно записать в следующем виде:
f(x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0. (2.1)
§ 4. Основные определения
Операции над многочленами
Определение 1. Любое выражение вида (2.1), где x — неизвест-
ное, а an, a
многочленом от x. Если все коэффициенты многочлена равны нулю,
то такой многочлен называется нулевым. Под степенью ненулевого
многочлена будем понимать наивысшую степень его неизвестного x,
входящую в многочлен с ненулевым коэффициентом. Степень ненулевого многочлена f (x) будем обозначать ст.(f(x)). Степень нулевого
многочлена неопределена.
Так, если в правой части (2.1) коэффициент an6= 0, то f(x) —
многочлен степени n, при этом an— старший коэффициент, anxn—
старший член многочлена f(x), a0— свободный член. Всюду далее
при записи многочленов в виде (2.1) будем считать, что старший коэф-
, .. . , a1, a0— числовые коэффициенты, будем называть
n−1
фициент ненулевого многочлена отличен от нуля. Если же потребуется
к записи многочлена приписать несколько слагаемых с нулевыми коэффициентами, то это будет отмечено специально. Для сокращенной
записи многочленов будут употребляться символы f (x), g(x), ϕ(x),
ψ(x) и т. п.
2*
36 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
В этой главе рассматриваются многочлены с комплексными
коэффициентами от неизвестного x, которое может принимать
любые комплексные значения.
Определение 2. Два многочлена f(x) и g(x) будут считаться
равными (или тождественно равными), если равны их коэффициенты
при одинаковых степенях неизвестного.
При этом будем записывать f(x) = g(x) и, наоборот, под такой записью всюду далее будет пониматься только тождественное равенство
многочленов f (x) и g(x). Заметим, что наряду с записью многочленов
в виде (2.1), когда его члены расположены по убыванию степеней
неизвестного, при необходимости будем записывать многочлены иначе,
например, располагая его члены по возрастанию этих степеней.
Заметим, что любой многочлен можно рассматривать и как
функцию комплексного переменного. В теории функций две функции
считаются равными на множестве X, если для всех x ∈ X равны их
соответствующие значения. Очевидно, что если два многочлена равны
в алгебраическом смысле, то они будут равны и как две функции
комплексного переменного. Справедливо и обратное утверждение, но
оно не столь очевидно.
В соответствии с определением 1 все отличные от нуля комплексные числа являются многочленами нулевой степени. Число нуль
также многочлен; это единственный многочлен, степень которого не
определена.
Определим основные операции над многочленами. Пусть f(x)
и g(x) — два многочлена с комплексными коэффициентами. Для
удобства запишем эти многочлены по возрастающим степеням неизвестного:
f(x) = a0+ a1x + ··· + a
g(x) = b0+ b1x + ··· + b
m−1
n−1
x
n−1
x
+ anxn, an6= 0;
m−1
+ bmxm, bm6= 0.
Для определенности будем считать, что m 6 n; тогда перепишем g(x)
следующим образом:
g(x) = b0+ b1x + ··· + b
Определение 3. Под суммой многочленов f(x) и g(x) будем
понимать такой многочлен
h(x) = c0+ c1x + ··· + c
m−1
x
m−1
+ bmxm+ 0x
n−1
x
n−1
m+1
+ cnxn,
+ ···+ 0xn.
§ 4. Основные определения. Операции над многочленами 37
коэффициенты которого равны сумме коэффициентов многочленов
f(x) и g(x) при одинаковых степенях неизвестного, т. е.
ci= ai+ bi, i = 0, 1, .. . , n.
При этом запишем
h(x) = f(x) + g(x).
Если m < n, то степень многочлена h(x) будет равна n, если же m = n,
то при an= −bnстепень h(x) будет меньше, чем n.
Операция сложения многочленов имеет несколько свойств.
1. Сложение коммутативно:
f(x) + g(x) = g(x) + f (x). (2.2)
2. Сложение ассоциативно:
f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) + g(x)] + h(x). (2.3)
Справедливость этих двух свойств вытекает непосредственно из
определения операции сложения многочленов. Действительно, сложение многочленов сводится к сложению соответствующих их коэффициентов, а сложение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно.
3. Существует нейтральный по сложению многочлен, т.е. такой
многочлен O(x), что для любого многочлена f (x) выполняется равенство
f(x) + O(x) = f(x). (2.4)
Очевидно, что число 0 является многочленом O(x). Нейтральный
по сложению многочлен O(x) называется нулевым многочленом. Да-
лее нулевой многочлен обозначим символом 0. Нетрудно проверить,
что, кроме многочлена 0, нет других нейтральных по сложению
многочленов.
4. Для любого многочлена f (x) существует противоположный,
т.е. такой многочлен g(x), для которого выполняется равенство
f(x) + g(x) = O(x). (2.5)
Очевидно, что для f (x) = a0+ a1x + ··· + a
воположным будет многочлен
f(x) = −a0− a1x − ··· − a
n−1
x
n−1
x
n−1
n−1
− anxn. (2.6)
+ anxnпроти-
38 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Противоположный многочлен для f (x) обозначим как −f(x).
Многочлен −f (x) является единственным противоположным для
f(x).
Операцию вычитания многочленов зададим как обратную к сложению, а именно:
f(x) −g(x) = f(x) + (−g(x)),
где −g(x) — противоположный для g(x) многочлен.
Пусть многочлены f(x) и g(x) записаны по возрастающим степеням неизвестного (см. выше).
Определение 4. Под произведением f(x)g(x) будем понимать
такой многочлен
h(x) = d0+ d1x + ··· + d
n+m−1
n+m−1
x
+ d
n+m
x
n+m
,
коэффициенты которого вычисляются по формуле
X
di=
akbl, i = 0, 1, .. . , n + m −1, n + m. (2.7)
k+l=i
Таким образом, для того чтобы вычислить коэффициент diмногочлена h(x), необходимо перемножить все такие коэффициенты akи
blмногочленов f (x) и g(x), сумма k + l индексов которых равна i, а
затем эти произведения сложить. Например,
d0= a0b0, d1= a0b1+ a1b0, ... , d
Очевидно, что d
6= 0, поэтому степень произведения двух много-
n+m
n+m
= anbm.
членов равна сумме степеней сомножителей. Теперь понятно, что
произведение двух ненулевых многочленов никогда не будет равным
нулю.
Необходимо отметить основные свойства операции умножения
многочленов.
1. Умножение коммутативно:
f(x)g(x) = g(x)f (x). (2.8)
Так как умножение комплексных чисел коммутативно, то из
формул (2.7) можно без труда вывести равенство (2.8).
2. Умножение ассоциативно:
f(x)[g(x)d(x)] = [f(x)g(x)]d(x). (2.9)
§ 4. Основные определения. Операции над многочленами 39
Докажем справедливость равенства (2.9). Пусть помимо многочленов f (x) и g(x) дан еще ненулевой многочлен
d(x) = c0+ c1x + ··· + c
s−1
s−1
x
+ csxs, cs6= 0.
Вычислим коэффициент при xi, i = 0, 1, .. . , n + m + s в произведении
f(x)[g(x)d(x)]. Из (2.7) ясно, что он равен
X
k+j=i
ak(
X
l+t=j
blct) =
X
akblct.
k+l+t=i
Теперь найдем такой коэффициент в произведении [f(x)g(x)]d(x):
X
j+t=i
X
(
k+l=j
akbl)ct=
X
akblct.
k+l+t=i
Значит, коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного
многочленов f(x)[g(x)d(x)] и [f(x)g(x)]d(x) равны и формула (2.9)
верна.
3. Роль единицы (нейтрального элемента) при умножении мно-
гочленов выполняет число 1 как многочлен нулевой степени:
1f(x) = f (x)1 = f (x). (2.10)
Рассмотрим, при каких условиях многочлен f (x) обладает об-
ратным многочленом f−1(x):
f(x)f−1(x) = 1. (2.11)
Если степень n многочлена f(x) отлична от нуля, то равенство
(2.11) невозможно, так как степень многочлена в его правой части
равна нулю, а степень многочлена f(x)f−1(x) не меньше, чем n 6= 0.
Таким образом, равенство (2.11) будет выполняться только в том
случае, когда f(x) является многочленом нулевой степени, т. е. любым
числом z 6= 0. Очевидно, что тогда f−1(x) = z−1.
Поскольку операция деления многочленов, как обратная умножению, должна определяться по формуле
f(x) : g(x) = f(x)g−1(x),
а, как теперь известно, g−1(x) существует, только если g(x) — многочлен нулевой степени, то понятно, что операция деления, как обратная
умножению, для многочленов не существует.
40 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
4. Закон дистрибутивности:
[f(x) + g(x)]h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x). (2.12)
Как и при доказательстве ассоциативности произведения, справедливость равенства (2.12) будет доказана, если удастся показать,
что коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного в многочленах [f (x) + g(x)]h(x) и f (x)h(x) + g(x)h(x) равны.
Очевидно, что
X
(ak+ bk)ct=
k+t=i
X
k+t=i
akct+
X
bkct.
k+t=i
Но левая часть этого равенства является коэффициентом при xiв
многочлене [f(x) + g(x)]h(x), а правая — коэффициент при той же
степени неизвестного в многочлене f (x)h(x) + g(x)h(x).
Несмотря на то, что операция деления многочленов не существует, имеется (как и для целых чисел) алгоритм деления многочленов
с остатком. Этот алгоритм получим при доказательстве теоремы 2.1.
Теорема 2.1. Для любых двух ненулевых многочленов f (x)
и g(x) существуют такие многочлены q(x) и r(x), что выполняется
равенство
f(x) = g(x)q(x) + r(x), (2.13)
причем либо r(x) = 0, либо степень многочлена r(x) строго меньше
степени g(x). Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие равенству
(2.13), определяются для f (x) и g(x) однозначно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть многочлены f (x) и g(x) имеют степени n и m соответственно. Если n < m, то можно считать q(x) = 0,
f(x) = r(x) и равенство (2.13) будет справедливо.
Пусть теперь n > m. Запишем многочлены f(x) и g(x) по убыванию степеней неизвестного:
f(x) = anxn+ a
g(x) = bmxm+ b
n−1
m−1
x
x
n−1
+ ···+ a1x + a0, an6= 0,
m−1
+ ···+ b1x + b0, bn6= 0.
Образуем многочлен:
a
n
f1(x) = f(x) −
n−m
x
b
m
g(x). (2.14)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]