Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
Б. К. Дураков
КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебник
Красноярск
СФУ
2017
УДК 512.8(07)+514.12(07)
ББК 22.14я73+22.151.54я73
Д840
Рецензенты:
Н. Д. Подуфалов, доктор физико-математических наук, академик
РАО;
А. И. Созутов, доктор физико-математических наук, профессор
Института математики и фундаментальной информатики Сибирского
федерального университета
Дураков, Б. К.
Д840 Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии :
учебник / Б. К. Дураков. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2017. –
422 с.
ISBN 978-5-7638-3736-0
Представлены разделы курса алгебры и аналитической геометрии (комплексные числа, многочлены от одного неизвестного, матрицы и определители и т. д.).
Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлениям подготовки: 11.00.00 «Электроника, радиотехника, системы связи», 11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные
технологии», 11.03.03 «Конструирование и технология электронных
средств», 11.05.11 «Радиоэлектронные системы и комплексы», 12.00.00
«Фотоника, приборостроение, оптические и биотехнические системы и технологии», 12.03.01 «Приборостроение».
Электронный вариант издания см.: УДК 512.8(07)+514.12(07)
http://catalog.sfu-kras.ru ББК 22.14я73+22.151.54я73
ISBN 978-5-7638-3736-0 © Сибирский федеральный
университет, 2017
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6
Г л а в а 1. Комплексные числа. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9
§ 1. Построение системы комплексных чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9
§ 2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Сопряженные числа 18
§ 3. Возведение в степень. Извлечение корней из комплексных чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. . 26
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 33
Г л а в а 2. Многочлены от одного неизвестного. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 35
§ 4. Основные определения. Операции над многочленами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 35
§ 5. Делители многочленов. Алгоритм Евклида . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 42
§ 6. Корни многочленов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 52
§ 7.Неприводимые многочлены . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 62
§ 8. Рациональные дроби . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 68
§ 9. Вычисление корней многочленов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 78
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 85
Г л а в а 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 88
§ 10. Матрицы. Операции над матрицами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 88
§ 11. Определители. Основные определения и теоремы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 96
§ 12. Свойства определителей. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 102
§ 13. Обратная матрица . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .108
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .113
Г л а в а 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 115
§ 14. Общие определения. Квадратные системы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .115
§ 15. Метод последовательного исключения неизвестных . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .121
§ 16. n-мерное векторное пространство . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .131
§ 17.Линейная зависимость векторов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .134
§ 18. Ранг матрицы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 152
§ 19. Системы линейных уравнений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .162
§ 20. Подпространства n-мерного векторного пространства An. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 166
4 Оглавление
§ 21. Системы линейных однородных уравнений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .169
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .177
Г л а в а 5. Линейные пространства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .180
§ 22. Определение линейного пространства. Изоморфизм . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .180
§ 23. Конечномерные пространства. Базы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .187
§ 24. Линейные преобразования линейных пространств. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .197
§ 25. Линейные подпространства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .209
§ 26. Характеристические корни и собственные векторы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .221
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .230
Г л а в а 6. Евклидовы пространства. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .232
§ 27.Скалярное произведение векторов линейного пространства. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .232
§ 28. Ортогональные системы. Ортонормированный базис. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .236
§ 29. Ортогональные преобразования евклидовых пространств. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .245
§ 30. Геометрическая интерпретация ортогональных преобразований . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .249
§ 31. Симметрические преобразования евклидовых пространств . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .253
§ 32. Ортогональное дополнение. Ортогональные подпространства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .260
§ 33. Действительные квадратичные формы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 263
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .274
Г л а в а 7. Основные алгебраические структуры . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 276
§ 34. Некоторые алгебры с одной бинарной операцией . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .277
§ 35. Некоторые алгебры с двумя бинарными операциями. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .285
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .292
Г л а в а 8. Векторная алгебра . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .294
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 294
§ 37.Скалярное произведение двух векторов-отрезков. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .308
§ 38. Векторное произведение векторов-отрезков. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .312
§ 39. Смешанное произведение векторов-отрезков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .320
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .323
Г л а в а 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 325
§ 40. Прямая на плоскости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .325
§ 41. Плоскость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .342
§ 42. Прямая в пространстве . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 349
§ 43. Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой с плоскостью в
пространстве. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .354
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .359
Оглавление 5
Г л а в а 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго по-
рядка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .360
§ 44. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в
пространстве. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .360
§ 45. Кривые второго порядка. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .365
§ 46. Поверхности второго порядка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .376
§ 47.Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных
сечений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .386
§ 48. Поверхности вращения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .404
§ 49. Кривые второго порядка как сечения конической поверхности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .407
§ 50. Линейчатые поверхности второго порядка. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .409
Упражнения для самостоятельной работы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .414
Послесловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .416
Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .417
Библиографический список . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .421
Предисловие
В учебнике изложены следующие разделы курса алгебры и
аналитической геометрии: комплексные числа, многочлены от одного
неизвестного, матрицы и определители, системы линейных уравнений,
линейные и евклидовы пространства, основные алгебраические структуры, векторная алгебра, прямая и плоскость, и кривые, и поверхности
второго порядка.
В связи с переходом на двухуровневую систему подготовки студентов изменились и учебные планы, и рабочие программы дисциплин.
Количество времени на изложение материала резко уменьшилось. Но
при этом нельзя сокращать объем курсов, исключая некоторые разделы. Поскольку очевидно, что такой подход не будет способствовать
успешному развитию науки и техники. В настоящее время без глубоких знаний физики и математики невозможно получение новых,
современных результатов в любом научно-техническом направлении.
Поэтому необходимо те разделы курса математики, которые являются
классическими, предлагать студентам на самостоятельное изучение.
Все эти разделы очень хорошо представлены в учебниках и учебных
пособиях известных авторов. В данном учебнике реализован именно
такой принцип подачи материала студентам. Например, в последней
главе «Кривые и поверхности второго порядка» не изучаются канонические уравнения и кривых, и поверхностей. Цель этой главы —
показать студенту, что любое уравнение второго порядка на плоскости определяет только три типа кривых, а в пространстве — только
семь типов поверхностей. Подробно ознакомиться с каноническими
уравнениями кривых и поверхностей (с их очень важными характеристиками) студент может (и должен) самостоятельно с помощью
многочисленных учебников, указанных в нашем списке литературы.
Предлагаемый учебник в первую очередь предназначен для
студентов инженерно-физических специальностей технических вузов.
При изложении теории комплексных чисел (гл. 1) ставилась практическая цель — не только научить читателя выполнять все известные
действия над комплексными числами, но и показать естественность их
появления.
В гл. 2 автор не ставил задачу полностью изложить классическую теорию многочленов. Ввиду громоздкости и неконструктивно-
Предисловие 7
сти для дальнейшего изучения математики, доказательства некоторых
известных результатов не приведены. С ними можно ознакомиться
в других учебниках, например, в книге А. Г. Куроша «Курс высшей
алгебры». Для приложений в других областях математики представлен
материал, связанный с разложением рациональных дробей в сумму
простейших.
В гл. 3 студенты знакомятся с понятием определителя квадратной матрицы, при этом им не потребуется знать теорию перестановок
и подстановок. Здесь используется индуктивный подход к введению
понятия определителя.
Для того чтобы представить теорию систем линейных уравнений,
необходимо дать определение понятия ранга матрицы. В большой
степени из-за этого, в гл. 4 достаточно подробно описано n-мерное
векторное пространство An. Вместе с тем основные идеи и методы,
представленные в этой главе, затем широко использованы в гл. 6.
В гл. 6 рассматриваются только два линейных преобразования евклидовых пространств: ортогональные и симметрические. данные преобразования являются инструментом для построения ортогональных преобразований неизвестных действительных квадратичных
форм, приводящих эти формы к каноническому виду. Параграф «Действительные квадратичные формы» служит основой для исследования
общего уравнения кривых и поверхностей второго порядка в курсе
аналитической геометрии.
В гл. 7 студенты познакомятся с основными алгебраическими
структурами.
Описанный в гл. 8 материал не только представляет прикладной
интерес (в физике, механике и др.), но и является «инструментом» для
изучения аналитической геометрии и других разделов математики.
В гл. 9 рассматриваются геометрические объекты первого порядка: прямая и плоскость. Здесь выводятся их уравнения, изучается
взаимное расположение этих объектов и пр.
В заключительной гл. 10 изучаются кривые и поверхности второго порядка. Выше был отмечен принцип изложения материала в этой
главе.
Идея издания учебника по основным разделам высшей алгебры
и аналитической геометрии курса математики для технических специальностей высшей школы принадлежит моему учителю — профессору
Виктору Михайловичу Бусаркину, к сожалению, ныне покойному. Мне
посчастливилось продолжительное время работать вместе с Виктором
Михайловичем.
8 Предисловие
От автора
Выражаю глубокую благодарность заслуженному деятелю науки
РФ, академику РАО, доктору физико-математических наук, профессору Н. Д. Подуфалову за внимание, поддержку и ценные замечания.
Выражаю также благодарность доценту О. В. Кравцовой за помощь
в работе по изучению и усвоению студентами данного материала,
доценту Д. Е. Лейнартасу за помощь в оформлении учебника и моему
внуку, студенту магистратуры первого курса Института математики и
фундаментальной информатики СФУ Б. Е. Дуракову за техническую
помощь, особенно в оформлении рисунков.
В течение нескольких десятилетий на кафедре высшей математики Красноярского государственного технического университета и кафедре высшей математики–2 Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета фактически
проводилась апробация учебника.
Б. К. Дураков
Г л а в а 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Существует несколько приемов введения комплексных чисел.
Здесь предлагается классическая схема, объясняющая необходимость
построения новой числовой системы.
Очевидно, что далеко не каждое линейное уравнение с натуральными коэффициентами имеет целое неотрицательное решение.
С введением целых отрицательных чисел область решения таких
уравнений была явно расширена. Решение любого уравнения первого
порядка с целыми коэффициентами стало возможно лишь с появлением рациональных чисел. Исследование простейшего квадратного
уравнения x2− 2 = 0 привело в конечном счете к появлению полной
системы действительных чисел. В настоящее время не все квадратные
уравнения с действительными коэффициентами решаются в школьном
курсе математики. Если дискриминант уравнения отрицательный, то
по школьным учебникам такое уравнение решений не имеет. Самое
простое среди квадратных уравнений, не имеющих действительных
корней, — это уравнение
x2+ 1 = 0. (1.1)
§ 1. Построение системы комплексных чисел
Поставим перед собой следующую задачу: построить новую
систему чисел, которая, во-первых, содержала бы корень уравнения
(1.1) и, во-вторых, была бы алгебраическим расширением системы
действительных чисел.
Второе условие в этой задаче означает, что новая система чисел
должна содержать все действительные числа как подмножество и
все числовые операции для новой системы, если они применяются к
действительным числам, должны совпадать с известными операциями
над действительными числами.
Обозначим через R множество всех действительных чисел, а
буквой K — множество всех точек плоскости. Далее станем рассматривать эти точки как элементы новой числовой системы. Выберем
на плоскости декартову систему координат (рис. 1.1). Будем считать,
10 Глава 1. Комплексные числа
что по оси абсцисс располагаются действительные числа, и при этом
начало координат совпадает с числом 0. Каждая точка плоскости
теперь однозначно определяется своими координатами, т. е. парой действительных чисел.
M
β a = (α, β)
O
Рис. 1.1
α
D
Далее точки плоскости будем обозначать малыми латинскими
буквами (иногда с индексами), а их координаты — малыми греческими
буквами (также иногда с индексами). Таким образом,
K = h(α, β) | α, β ∈ Ri.
Новая числовая система будет полностью построена, когда станут определены все основные операции для ее элементов, и, строго
говоря, только после этого элементы K можно называть числами. Понимая это, до окончательного построения числовой системы формально назовем точки плоскости, а значит и все элементы K, комплексными числами. Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и
только тогда, когда равны их соответствующие координаты.
Очевидно, что каждое действительное число α как точка плоскости имеет координаты (α, 0). Таким образом, R ⊂ K.
Определим арифметические операции над комплексными числами в соответствии со вторым условием задачи. При этом воспользуемся тем, что каждое комплексное число — это упорядоченная пара
действительных чисел, и определение всех арифметических операций
над комплексными числами сведем к известным арифметическим операциям над действительными числами. Все арифметические операции
над комплексными числами будем называть привычными терминами,
обозначать привычными знаками, но при этом необходимо понимать,
что они применяются к числовым парам, т. е. точкам плоскости, координаты которых являются действительными числами.
Определение 1. Пусть даны два комплексных числа
a = (α, β), b = (γ, δ). Суммой a + b назовем такое комплексное число c,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]