Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 24. Линейные преобразования линейных пространств 201
образ aϕ задается формулой
n
X
aϕ =
αibi. (5.23)
i=1
Докажем линейность этого преобразования. Пусть c =
гой вектор из Vn. Тогда
n
P
βiei— дру-
i=1
(a + c)ϕ =
"
n
X
i=1
(αi+ βi)e
i
=
#
ϕ =
n
X
(αi+ βi)bi=
i=1
n
X
i=1
αibi+
n
X
βibi= aϕ + cϕ.
i=1
Если γ — любое действительное число, то
(γa)ϕ =
"
n
X
i=1
(γαi)e
i
#
ϕ =
n
X
(γαi)bi= γ
i=1
n
X
αibi= γ(aϕ).
i=1
Определим теперь коэффициенты разложения каждого базисного вектора eiв этом же базисе (5.21). Очевидно,
ei= 0e1+ 0e2+ ···+ 1ei+ ···+ 0en.
Тогда из (5.22) получаем
eiϕ = bi, i = 1, 2, ... , n,
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Существует взаимно однозначное соответствие
между всеми линейными преобразованиями данного линейного пространства Vnи всевозможными упорядоченными наборами из n векторов этого пространства.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из теоремы 5.4 вытекает,
что при фиксированной базе
e1, e2, .. . , e
n
пространства Vnкаждому упорядоченному набору из n векторов
b1, b2, .. . , bnсоответствует единственное линейное преобразование ϕ
этого пространства. И наоборот, если задано линейное преобразование
202 Глава 5. Линейные пространства
ϕ пространства Vn, то образы базисных векторов bi= eiϕ, i = 1, 2, ...
... , n составляют однозначно определенную упорядоченную систему из
n векторов пространства Vn.
Изучим детальнее формулировку теоремы 5.4. Каждый вектор bi,
i = 1, 2, ... , n имеет свои координаты в базе (5.21):
b1= α11e1+ α12e2+ ···+ α1nen,
b2= α21e1+ α22e2+ ···+ α2nen,
(5.24)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
bn= αn1e1+ αn2e2+ ···+ αnnen.
Так как bi= eiϕ, i = 1, 2, ... , n, то
e1ϕ = α11e1+ α12e2+ ···+ α1nen,
e2ϕ = α21e1+ α22e2+ ···+ α2nen,
(5.25)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
enϕ = αn1e1+ αn2e2+ ···+ αnnen.
Из коэффициентов αijсоставим квадратную матрицу, обозначим ее A;
столбец из базисных векторов и столбец из образов базисных векторов
соответственно обозначим e и eϕ. Тогда
e1ϕ
e2ϕ
.
.
.
enϕ
=
α
11α12
α
21α22
.
.
.
α
n1αn2
... α
... α
.
.
.
.
... α
1n
2n
.
.
.
.
.
nn
e
1
e
2
.
.
.
e
, (5.26)
n
или
eϕ = Ae. (5.27)
Так как в формулировке теоремы 5.4 система векторов b1, b2, .. .
... , bnрассматривается как произвольная, то в равенстве (5.26) матрица A также произвольная. Поскольку любое линейное преобразование
ϕ линейного пространства Vnоднозначно определяется образами всех
векторов выбранной в Vnбазы, то равенство (5.26) позволяет сделать
важный вывод, который мы сформулируем в виде следствия из теоремы 5.4.
Следствие 2. Существует взаимно однозначное соответствие
между всеми линейными преобразованиями данного линейного пространства Vnи всеми квадратными матрицами порядка n.
Заметим, что это соответствие зависит, конечно, от выбора базы
пространства.
§ 24. Линейные преобразования линейных пространств 203
Определение 11. Матрица A из равенства (5.27) называется
матрицей линейного преобразования ϕ пространства Vn, записанного
в базе e. Будем также говорить, что A задает линейное преобразование
ϕ в базе e.
Возьмем произвольный вектор a в пространстве Vn, и пусть
(α1, α2, .. . , αn) — его координаты в базе e, т. е.
n
X
a =
αiei.
i=1
Покажем, как, зная матрицу A линейного преобразования ϕ пространства Vn, по координатам вектора a в базе e найти координаты его
образа aϕ в этой же базе.
Из записанного выше разложения вектора a и линейности ϕ
получаем
n
X
aϕ =
αi(eiϕ),
i=1
а это равенство равносильно матричному
aϕ = (α1, α2, .. . , αn)(eϕ).
Учитывая (5.25) и ассоциативность умножения матриц, получаем
утверждение 3.
Утверждение 3. Строка координат образа aϕ равна произве-
дению строки координат вектора a справа на матрицу A линейного
преобразования ϕ, все в базе e:
aϕ = [(α1, α2, .. . , αn)A] e.
Выберем в пространстве Vnдве различные базы e и e0с матрицей
перехода T , т. е.
e0= T e. (5.28)
Пусть в Vnзадано линейное преобразование ϕ, которое в базе e
записывается матрицей A, в базе e0— матрицей A0:
eϕ = Ae, e0ϕ = A0e0. (5.29)
Установим связь между матрицами A и A0, задающими в разных базах
одно и то же линейное преобразование.
204 Глава 5. Линейные пространства
Из второго равенства (5.29) с учетом (5.28) получаем
(T e)ϕ = A0(T e). (5.30)
Используя ассоциативность умножения матриц, запишем правую часть
полученного равенства в виде
A0(T e) = (A0T )e. (5.31)
Если (τi1, τi2, .. . , τin) — i-я строка матрицы T, то
(τi1e1+ τi2e2+ ···+ τinen)ϕ = τi1(e1ϕ) + τi2(e2ϕ) + ··· + τin(enϕ).
В соответствии с этим преобразуем левую часть равенства (5.30):
(T e)ϕ = T (eϕ) = T (Ae) = (T A)e.
Заменяя левую и правую части равенства (5.30) полученными выражениями, запишем
(T A)e = (A0T )e.
Если хотя бы одна строка матрицы T A будет отлична от соответствующей строки матрицы A0T , то две различные линейные комбинации
базисных векторов
e1, e2, .. . , e
n
окажутся равными друг другу, что невозможно в силу линейной независимости векторов базы e. Следовательно,
T A = A0T.
Матрица T как матрица перехода от базы к базе является невырожденной, и поэтому
A0= T AT−1, A = T−1A0T. (5.32)
Определение 12. Квадратные матрицы A и B называются по-
добными, если существует такая невырожденная матрица Q, что выполняется равенство
B = Q−1AQ.
При этом говорят, что матрица B получена из матрицы A трансформированием матрицей Q.
Полученные выше равенства (5.32) интерпретируем в виде важной теоремы 5.5.
§ 24. Линейные преобразования линейных пространств 205
Теорема 5.5. Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование, записанное в разных базах линейного пространства, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования ϕ
в базе e0получается трансформированием матрицы этого преобразования в базе e матрицей перехода от базы e0к базе e.
Заметим, что если матрица A задает линейное преобразование ϕ
в базе e, то любая матрица B, подобная матрице A:
B = O−1AQ,
также задает преобразование ϕ в базе, получающейся из базы e при
помощи матрицы перехода Q−1.
Рассмотрим всевозможные линейные преобразования данного
линейного пространства Vn. Выберем в Vnбазис e, тогда каждому
преобразованию ϕ соответствует квадратная матрица A:
eϕ = Ae.
Это соответствие взаимно однозначно (следствие 2 теоремы 5.4). Естественно ожидать, что операциям сложения и умножения матриц, а также умножения матрицы на число будут соответствовать аналогичные
операции над линейными преобразованиями.
Определение 13. Если ϕ и ψ — два линейных преобразования
пространства Vn, то суммой ϕ + ψ этих преобразований называется
преобразование, определяемое равенством
a(ϕ + ψ) = aϕ + aψ.
Докажем, что преобразование ϕ + ψ линейно. В самом деле, для
любых векторов a и b и любого действительного числа γ
(a + b)(ϕ + ψ) = (a + b)ϕ + (a + b)ψ =
= aϕ + bϕ + aψ + bψ = a(ϕ + ψ) + b(ϕ + ψ);
(γa)(ϕ + ψ) = (γa)ϕ + (γa)ψ = γ(aϕ) + γ(aψ) =
= γ(aϕ + aψ) = γ[a(ϕ + ψ)].
Определение 14. Пусть ϕ и ψ – два линейных преобразования
пространства Vn. Произведением ϕψ этих преобразований называется
преобразование, определяемое равенством
a(ϕψ) = (aϕ)ψ.
206 Глава 5. Линейные пространства
Преобразование ϕψ также является линейным:
(a + b)(ϕψ) = [(a + b)ϕ]ψ = (aϕ + bϕ)ψ =
= (aϕ)ψ + (bϕ)ψ = a(ϕψ) + b(ϕψ);
(γa)(ϕψ) = [(γa)ϕ]ψ = [γ(aϕ)]ψ = γ[(aϕ)ψ] = γ[a(ϕψ)].
Определение 15. Пусть ϕ — линейное преобразование про-
странства Vnи α — действительное число. Произведением αϕ преобразования на число называется преобразование, определяемое равенством
a(αϕ) = α(aϕ).
Покажем, что это преобразование также линейно:
(a + b)(αϕ) = α[(a + b)ϕ] = α(aϕ + bϕ) =
= α(aϕ) + α(bϕ) = a(αϕ) + b(αϕ);
(γa)(αϕ) = α[(γa)ϕ] = α[γ(aϕ)] = γ[α(aϕ)] = γ[a(αϕ)].
Обозначим через A и B матрицы линейных преобразований ϕ
и ψ в базе
e1, e2, .. . , en.
Тогда
eϕ = Ae, eψ = Be,
или в развернутом виде
e1ϕ
e2ϕ
.
.
.
enϕ
e1ψ
e2ψ
.
.
.
enψ
=
=
α
11α12
α
21α22
.
.
.
α
n1αn2
.
.
.
β11β12... β
β21β22... β
.
.
.
.
.
.
βn1βn2... β
... α
... α
.
.
.
.
.
.
... α
.
.
.
.
.
.
1n
2n
nn
1n
2n
nn
e
1
e
2
.
.
.
e
n
e
1
e
2
.
.
.
e
n
,
.
§ 24. Линейные преобразования линейных пространств 207
Используя эти матричные равенства, получаем
ei(ϕ + ψ) = eiϕ + eiψ =
n
X
j=1
αijej+
n
X
j=1
βijej=
n
X
(αij+ βij)ej,
j=1
значит,
e(ϕ + ψ) = (A + B)e.
Таким образом, мы доказали теорему 5.6.
Теорема 5.6. Матрица суммы линейных преобразований в любой базе равна сумме матриц этих преобразований в той же базе.
Далее, из определения произведения преобразований, используя
записанные выше матричные равенства, получаем
ei(ϕψ) = ei(ϕ)ψ =
n
X
j=1
αije
=
j
X
j=1
ψ =
n
α
ij
n
X
j=1
X
k=1
αij(ejψ) =
n
βjke
!
k
=
n
X
k=1
n
X
j=1
αijβ
jk
ek.
Отсюда
e(ϕψ) = (AB)e.
Сформулируем полученный результат в виде теоремы 5.7.
Теорема 5.7. Матрица произведения линейных преобразований
в любой базе равна произведению матриц данных преобразований
в этой же базе.
Наконец, для последней операции
ei(γϕ) = γ(eiϕ) = γ
n
X
j=1
αijej=
n
X
(γαij)ej,
j=1
или
e(γϕ) = (γA)e.
Теорема 5.8. Матрица произведения линейного преобразования
ϕ на число γ в любой базе равна произведению матрицы этого преобразования ϕ в той же базе на число γ.
208 Глава 5. Линейные пространства
Из теорем 5.6–5.8 следует, что операции над линейными преобразованиями данного линейного пространства обладают теми же
свойствами, что и операции над квадратными матрицами. В частности, операция сложения линейных преобразований коммутативна
и ассоциативна, операция умножения ассоциативна, но при n > 1 —
некоммутативна. Нулевое преобразование ω играет среди линейных
преобразований роль нейтрального по сложению элемента, т.е. нуля,
тождественное преобразование ε является единицей по умножению
линейных преобразований. Действительно, в любой базе пространства
преобразование ω задается нулевой матрицей, ε — единичной. Так
же, как и для матриц, легко определяется однозначное вычитание
линейных преобразований.
Пример 1. Показать, что преобразование xϕ = αx линейного про-
странства Vn, где α — фиксированное действительное число, линейно.
Записать матрицу этого преобразования в базе e1, e2, .. . , en.
Решение. Так как
(x + y)ϕ = α(x + y) = αx + αy = xϕ + yϕ,
(γx)ϕ = α(γx) = γ(αx) = γ(xϕ), где γ — действительное число,
то преобразование ϕ является линейным.
Далее,
e1ϕ = αe1+ 0e2+ ···+ 0e
e2ϕ = 0e1+ αe2+ ···+ 0e
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
enϕ = 0 e1+ 0e2+ ···+ αen.
n
n
Следовательно, матрица преобразования ϕ в базе e1, e2, .. . , enимеет
вид:
α 0 . .. 0
0 α ... 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 .. . α
Пример 2. Пусть в базе e1, e2, e3трехмерного линейного про-
странства линейное преобразование ϕ задается матрицей
−2 1 0
1 3 2
.
0 −4 1
Для вектора
§ 25. Линейные подпространства 209
a = 5e1+ e2− 2e
3
найти его образ aϕ в этой же базе.
Решение.
−2 1 0
(5, 1, −2)
1 3 2
= (−9, 16, 0),
0 −4 1
т.е.
aϕ = −9e1+ 16e2.
§ 25. Линейные подпространства
Изучая n-мерное векторное пространство An, мы в § 20 рассмотрели его подпространства. Затем мы показали, что любое линейное
пространство Vnизоморфно n-мерному векторному пространству An.
То есть в любом линейном пространстве имеются подпространства,
которые пока определяются через пространства An. Сформулируем
независимое определение.
Определение 16. Подмножество W линейного пространства V
называется линейным подпространством этого пространства, если оно
само является линейным пространством c теми же операциями, что
и в V .
Теорема 5.9. Для того чтобы непустое подмножество W про-
странства V было его линейным подпространством, достаточно выполнения следующих условий:
1) операция сложения векторов должна быть замкнута на W ,
т. е. a + b ∈ W для всех a, b ∈ W ,;
2) если вектор a принадлежит W , то для любого действительного
числа α произведение αa также должно содержаться в W.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a — некоторый вектор из W , тогда
из условия 2) нулевой вектор o пространства V содержится в W :
0 · a = o.
Противоположный вектор −a = (−1)a, очевидно, также принадлежит
W. Остальные аксиомы линейного пространства будут выполняться
в W , так как они выполняются в V ⊇ W.
210 Глава 5. Линейные пространства
В § 20 приводились примеры подпространств n-мерного векторного пространства An. Аналогично, подмножество пространства V ,
состоящее только из одного нулевого элемента, будет линейным подпространством пространства V. Его называют нулевым подпростран-
ством.
Рассмотрим пример, аналогичный примеру 3 в § 20. Пусть
a1, a2, .. . , ak— некоторая система векторов из V. Рассмотрим подмножество пространства V :
W = hγ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak| ∀γi∈ R, i = 1, 2, ... , ki,
т.е. W — это множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1, a2, .. . , ak. Применяя теорему 5.9, покажем, что W является
линейным подпространством пространства V. Действительно, пусть
b = β1a1+ β2a2+ ··· + βkak, c = γ1a1+ γ2a2+ ··· + γkak— два вектора
из W. Тогда
b + c = (β1+ γ1)a1+ (β2+ γ2)a2+ ···+ (βk+ γk)ak,
следовательно, по построению, a + b ∈ W. Понятно также, что вектор
δb = (δβ1)a1+ (δβ2)a2+ ···+ (δβk)a
k
принадлежит W при любом действительном числе δ.
Как и в § 20, подпространство W , порожденное векторами
a1, a2, .. . , ak, будем называть линейной оболочкой векторов a1, a2, .. .
... , ak, или подпространством, натянутым на эти векторы.
Утверждение 1. Всякое линейное подпространство конечномерного линейного пространства порождается конечной системой векторов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть W — линейное подпространство
пространства Vn. Если W не нулевое подпространство, то оно имеет
конечную базу.
Обозначим dim W размерность подпространства W ⊆ Vn. Тогда,
очевидно,
dim W 6 n,
причем dim W = n в том и только в том случае, когда W = Vn.
Размерность нулевого подпространства равна нулю.
Утверждение 2. Для всех натуральных чисел k, 0 6 k 6 n,
в пространстве Vnсуществуют линейные подпространства размерности k.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]