Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 32. Ортогональное дополнение. Ортогональные подпространства 261
пространства. Векторы e
k+1
, e
, .. . , enпорождают (n −k)-мерное под-
k+2
пространство W2, ортогональное подпространству W1, что очевидно.
Докажем, что каждый вектор пространства En, ортогональный
всем векторам из W1, принадлежит подпространству W2. Действительно, если вектор
a = α1e1+ α2e2+ ···+ αne
n
ортогонален всем векторам из W1, то он ортогонален базисным векторам этого подпространства, т.е.
(a, ei) = αi= 0, i = 1, 2, . .. , k.
С учетом этих равенств получаем
a = α
k+1ek+1
+ α
k+2ek+2
+ ···+ αne
n
и, значит, a ∈ W2.
Легко проверить, что множество всех векторов евклидова пространства En, ортогональных всем векторам некоторого подпространства W1из En, образует подпространство W2этого пространства.
Определение 18. Подпространство W2, образованное всеми векторами из En, ортогональными ко всем векторам из подпространства
W1, называется ортогональным дополнением W1. Это подпространство
будем обозначать через W
⊥
.
1
Легко видеть, что если dim W = k, то dim W⊥= n −k для любого
подпространства W евклидова пространства En. Очевидно также, что
(W⊥)⊥= W.
Теорема 6.21. Всякое n-мерное евклидово пространство Enраз-
лагается в прямую сумму своего произвольного подпространства W
и его ортогонального дополнения W⊥:
En= W ⊕W⊥.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из утверждения, доказанного в этом параграфе, следует, что
W ∩W⊥= o,
а рассуждения, приведенные выше, показывают, что объединение базисов этих подпространств составляет базис всего пространства, поэтому из утверждения 6 (§ 25) получаем доказательство теоремы.
262 Глава 6. Евклидовы пространства
Следствие. Всякое n-мерное евклидово пространство Enразла-
гается в прямую сумму n своих одномерных подпространств:
En= W1⊕ W2⊕ ···⊕ Wn,
где dim Wi= 1, i = 1, 2, ... , n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть e1, e2, .. . , en— произвольный ортонормированный базис пространства En, W1— подпространство, порожденное вектором e1. Тогда из теоремы 6.21 следует
En= W1⊕ W
при этом dim W
⊥
= n − 1 и одним из базисов W
1
векторов e2, e3, .. . , en. Затем в W
⊥
прямым слагаемым выделяем под-
1
⊥
,
1
⊥
будет система
1
пространство, порожденное вектором e2:
⊥
),
2
1
где W
до W
W1⊕ (W2⊕ W
⊥
— это ортогональное дополнение подпространства W2⊂ W
2
⊥
. Продолжая это процесс, получим требуемое.
1
В заключение сделаем несколько замечаний. Если евклидово
пространство Enразлагается в прямую сумму
En= W ⊕W⊥,
то каждый вектор x ∈ Enоднозначно представим в виде суммы
x = y + z, где y ∈ W , а z ∈ W⊥. Вектор y называют ортогональной
проекцией вектора x на подпространство W. Далее, углом ϑ между
вектором x и подпространством W естественно считать угол
⊥
между вектором x и его ортогональной проекцией на W . Тогда
2
|y|
|x||y|
=
|y|
.
|x|
cos ϑ =
(x, y)
|x||y|
(y + z, y)
=
|x||y|
=
(y, y)
=
|x||y|
Пример. Найти базис ортогонального дополнения W⊥подпро-
странства W , натянутого на векторы, заданные в некотором ортонормированном базисе:
a1= (1, 0, 2, 1),
a2= (2, 1, 2, 3),
a3= (0, 1, −2, 1).
Решение. Выберем вначале из данной системы векторов максимальную линейно независимую подсистему, для этого вычислим ранг
матрицы:
§ 33. Действительные квадратичные формы 263
1 0 2 1
2 1 2 3
0 1 −2 1
∼
1 0 2 1
0 1 −2 1
0 1 −2 1
∼
1 0 2 1
0 1 −2 1
0 0 0 0
.
Ранг равен 2, и в качестве базиса подпространства W можно взять
векторы a1и a2. Найдем все векторы x = (x1, x2, x3, x4) евклидова
пространства E4, содержащиеся в W⊥. Для этого скалярные произведения (a1, x) и (a2, x) приравняем к нулю и получим систему уравнений
x1+ 2x3+ x4= 0,
x2− 2x3+ x4= 0 .
Общее решение системы:
(−2x3− x4, 2x − x4, x3, x4),
фундаментальная система решений:
(−2, 2, 1, 0), (−1, −1, 0, 1).
Обозначим
b1= (−2, 2, 1, 0),
b2= (−1, −1, 0, 1).
Так как dim W + dim W⊥= 4, то dim W⊥= 2, следовательно, векторы
b1и b2образуют базу подпространства W⊥. Заметим, что векторы b
и b2случайно получились ортогональными.
§ 33. Действительные квадратичные формы
В аналитической геометрии при изучении кривых второго порядка проводят преобразования декартовой системы координат с целью упрощения уравнения кривой. Это делается для того, чтобы по
получившемуся в результате преобразований уравнению распознать
кривую: не только выяснить ее вид, но и узнать индивидуальные
параметры. Если любое уравнение кривой второго порядка записать
1
в виде f (x, y) = 0, где f (x, y) — это некоторый многочлен второго
порядка от переменных x и y:
ax2+ 2abxy + by2+ cx + dy + h = 0, (6.36)
264 Глава 6. Евклидовы пространства
то при проведении всех преобразований уравнения, в частности, необходимо совершать поворот осей координат вокруг начала координат
на некоторый угол ϑ. В результате осуществляется такой переход
от декартовой системы координат xOy к новой декартовой системе
координат x0Oy0:
x = x0cos ϑ − y0sin ϑ,
(6.37)
y = x0sin ϑ + y0cos ϑ,
что нелинейная часть преобразованного уравнения кривой в новой
системе координат не содержит произведение x0y0:
a0x02+ b0y02+ c0x0+ d0y0+ h0= 0. (6.38)
Преобразование координат (6.37), как было показано в § 30, является
ортогональным и поэтому его можно толковать как невырожденное
преобразование неизвестных (определитель из его коэффициентов равен единице).
В развитии теории и ее приложений потребовалось увеличение
числа неизвестных до произвольного натурального числа n.
Определение 19. Действительной квадратичной формой f от
неизвестных
x1, x2, .. . , x
n
называется сумма произведений пар этих неизвестных с действительными коэффициентами
n
i=1
n
X
αijxixj. (6.39)
j=1
X
f =
Так как xixj= xjxi, то естественно положить:
αij= αji, i = 1, 2, ... , n, j = 1, 2, . .. , n. (6.40)
Таким образом, после приведения подобных в квадратичной форме, для i 6= j необходимо иметь в виду следующее замечание:
αijxixj+ αjixjxi= 2αijxixj, i = 1, 2, ... , n, j = 1, 2, . .. , n.
Определение 20. Матрица A, составленная из коэффициентов
αijквадратичной формы (6.39), называется матрицей квадратичной
формы f, а ее ранг r — рангом этой квадратичной формы. Если r = n,
§ 33. Действительные квадратичные формы 265
т. е. матрица невырожденная, то и квадратичная форма f называется
невырожденной.
Ввиду равенств (6.40) матрица любой квадратичной формы
является симметрической. Обратно, для любой симметрической мат-
рицы A n-го порядка можно записать вполне определенную квадратичную форму (6.39) от n неизвестных, имеющую элементы матрицы
A своими коэффициентами.
Квадратичную форму иногда удобно записывать в матричном
виде. Для этого через X обозначим столбец, составленный из неизвестных квадратичной формы:
X =
x
1
x
2
.
.
.
x
.
n
Тогда
XT= (x1, x2, .. . , xn).
Утверждение. Квадратичную форму (6.39) от n неизвестных
с матрицей A можно записать в виде произведения
f = XTAX. (6.41)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, произведение AX будет
матрицей, состоящей из одного столбца:
AX =
n
X
j=1
n
X
j=1
n
X
j=1
α1jx
α2jx
.
.
.
αnjx
j
j
.
j
Умножая эту матрицу слева на матрицу XT, мы получим матрицу, состоящую из одной строки и одного столбца, а именно правую
часть равенства (6.39). Утверждение доказано.
266 Глава 6. Евклидовы пространства
Сделаем в квадратичной форме (6.39) линейную замену неизвестных с действительными коэффициентами qij, или, как говорят,
произведем действительное линейное преобразование неизвестных:
x1= q11y1+ q12y2+ ···+ q1nyn,
x2= q21y1+ q22y2+ ···+ q2nyn,
(6.42)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
xn= qn1y1+ qn2y2+ ···+ qnnyn.
Обозначим через Q матрицу из коэффициентов правых частей
равенств (6.42):
Q =
q
11q12
q
21q22
.
.
.
q
n1qn2
... q
... q
.
.
.
.
.
.
... q
1n
2n
nn
.
.
.
.
Теорема 6.22. Если в действительной квадратичной форме
(6.39) от n неизвестных x1, x2, .. . , xnс матрицей A произвести действительное линейное преобразование неизвестных с матрицей Q, то
в результате получится другая квадратичная форма от новых неизвестных y1, y2, .. . , ynс матрицей
B = QTAQ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Y столбец, состоящий из
неизвестных y1, y2, .. . , yn:
Y =
y
1
y
2
.
.
.
y
.
n
Тогда линейное преобразование неизвестных (6.42) можно записать
в виде матричного равенства
X = QY. (6.43)
Отсюда и из свойства 4 операции транспонирования матриц (см. § 10)
получаем
XT= YTQT. (6.44)
§ 33. Действительные квадратичные формы 267
Подставляя (6.43) и (6.44) в запись (6.41) формы f , получаем
f = (YTQT)A(QY ) = YT(QTAQ)Y.
Обозначим
B = QTAQ,
тогда
f = YTBY.
Матрица B будет симметрической, поскольку
BT= (QTAQ)T= QTAT(QT)T= QTAQ = B.
Теорема доказана.
Предположим, что в квадратичной форме производится невырожденное линейное преобразование неизвестных, т. е. Q, а поэтому
и QT— матрицы невырожденные. Используя утверждение 2 (§ 18),
получим, что произведение QTAQ имеет ранг, равный рангу матрицы
A. Следовательно, ранг квадратичной формы не меняется при вы-
полнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.
Определение 21. Вид квадратичной формы называется каноническим, если все ее ненулевые слагаемые содержат только квадраты
неизвестных.
Возвращаясь к вопросу о преобразовании уравнения кривой второго порядка, рассмотренному в начале этого параграфа, поставим
теперь более общий вопрос: всегда ли можно найти такое невырож-
денное преобразование неизвестных квадратичной формы (6.39),
в результате которого данная квадратичная форма f будет приведена к каноническому виду
f = b1y
2
+ b2y
1
2
+ ···+ bny
2
2
, (6.45)
n
где y1, y2, .. . , yn— новые неизвестные?
Здесь заметим, что если квадратичная форма (6.39) с матрицей
A ранга r невырожденным линейным преобразованием неизвестных
приводится к каноническому виду (6.45), то число отличных от нуля
коэффициентов в (6.45) непременно равно r.
Действительно, в силу замечания, сделанного выше, ранг матрицы квадратичной формы (6.45) должен равняться рангу матрицы A,
т.е. должен быть равен числу r. Но матрица канонического вида имеет
268 Глава 6. Евклидовы пространства
диагональный вид
b10 ... 0
0 b2... 0
.
.
.
.
.
.
0 0 ... b
.
.
.
.
.
.
n
и равенство ее ранга числу r равносильно тому, что на ее главной
диагонали расположено ровно r ненулевых элементов.
Докажем основную теорему теории действительных квадратичных форм.
Теорема 6.23. Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана действительная квадратичная
форма (6.39) от n неизвестных x1, x2, .. . , xnс матрицей A. Если
e1, e2, .. . , en— некоторая ортонормированная база n-мерного евклидова
пространства En, то матрица A задает в этой базе симметрическое
преобразование ϕ. Из теоремы 6.19 следует, что в Enсуществует
ортонормированная база e
1
, e
0
, .. . , e
2
0
, каждый вектор которой является
n
0
собственным вектором преобразования ϕ. Тогда по теореме 5.15 преобразование ϕ в этой базе записывается диагональной матрицей B.
Так как A и B — матрицы одного и того же преобразования, то они
подобны и при этом
B = Q−1AQ, (6.46)
где Q — матрица перехода от базы e0к базе e:
e = Qe
0
(6.47)
(см. теорему 5.5). Матрица Q, как матрица перехода от ортонормированной базы к ортонормированной базе, по теореме 6.11 будет
ортогональной, т. е. Q−1= QT. Поэтому
B = QTAQ.
Из теоремы 6.22 теперь следует, что для окончания доказательства
теоремы достаточно произвести в квадратичной форме (6.39) ортогональное преобразование неизвестных с матрицей Q. Теорема доказана.
Для симметрических матриц эту теорему можно сформулировать
таким образом.
§ 33. Действительные квадратичные формы 269
Следствие 1. Всякая симметрическая матрица подобна диагональной. При этом подобие матриц может быть осуществлено трансформированием исходной матрицы некоторой ортогональной матрицей.
Хотя существует много различных ортогональных преобразований неизвестных, приводящих данную квадратичную форму к каноническому виду, однако сам этот канонический вид определяется
однозначно (с точностью до нумерации новых неизвестных).
Теорема 6.24. Каково бы ни было ортогональное преобразование
неизвестных, приводящее к каноническому виду квадратичную форму
f с матрицей A, коэффициентами этого канонического вида будут
характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть форма f с матрицей
A некоторым ортогональным преобразованием неизвестных приведена
к каноническому виду
f = β1y
2
+ β2y
1
2
+ ···+ βny
2
2
.
n
Обозначим через B матрицу этого канонического вида:
β10 . .. 0
B =
0 β2... 0
.
.
.
.
.
.
0 0 ... β
.
.
.
.
.
.
.
n
Тогда
B = QTAQ = Q−1AQ,
где Q — некоторая ортогональная матрица. Поскольку A и B подобны,
то в силу теоремы 5.13 характеристические многочлены этих матриц
равны:
|A − λE| = |B −λE|.
Очевидно, что
|B − λE| =
β1− λ 0 .. . 0
0 β2− λ ... 0
.
.
.
0 0 .. . βn− λ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
=
n
Y
(βi− λ).
i=1
Значит,
|A − λE| =
n
Y
(βi− λ)
i=1
270 Глава 6. Евклидовы пространства
и теорема доказана.
В матричной формулировке теорему 6.24 запишем как следствие.
Следствие 2. Какова бы ни была ортогональная матрица, приводящая к диагональному виду симметрическую матрицу A, на главной
диагонали полученной диагональной матрицы будут стоять характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.
Итак, канонический вид квадратичной формы, согласно теореме 6.24, вполне определен заданием самой квадратичной формы. Но
в некоторых задачах, в частности в задаче приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка, необходимо знать не только тот канонический вид, к которому приводится
данная действительная квадратичная форма, но и ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение.
В заключение укажем практический метод отыскания ортогонального преобразования неизвестных, приводящего квадратичную
форму к каноническому виду. Этот метод в существенной степени
опирается на схему и методы доказательства теоремы 6.23.
В соответствии с доказательством теоремы 6.23 достаточно научиться находить ортогональную матрицу Q, приводящую данную
симметрическую матрицу A к диагональному виду, или, точнее, находить ее обратную матрицу Q−1. Ввиду (6.46) это будет матрица
перехода от ортонормированной базы e к ортонормированной базе e0,
т.е. ее строки являются координатными строками (в базе e) ортонормированной системы из n собственных векторов симметрического
преобразования ϕ, определяемого матрицей A в базе e. Покажем, как
найти такую систему собственных векторов.
Пусть λ0— характеристический корень матрицы кратности k
матрицы A. Из доказательства теоремы 5.14 нам известно, что совокупность координатных строк всех собственных векторов преобразования ϕ, относящихся к собственному значению λ0, совпадает
с совокупностью ненулевых решений системы линейных однородных
уравнений
(AT− λ0E)X = 0, (6.48)
0
или в силу симметричности матрицы A
(A − λ0E)X = 0. (6.49)
Так как искомая ортогональная матрица, приводящая симметрическую
матрицу A к диагональному виду, существует, причем этот диагональный вид определяется вполне однозначно, то система (6.49) имеет
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]