Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 30. Геометрическая интерпретация ортогональных преобразований 251
в котором угол от вектора e1до вектора e2равен
Обозначим через ϑ угол от вектора e1до вектора e
π
,а не
2
0
(см. рис. 6.1).
1
3π
2
Повернув базис e1, e2в плоскости пространства вокруг точки O в
положительном направлении на угол ϑ, мы совместим вектор e1с
вектором e
либо совместится с вектором e
ему вектором −e
0
. Тогда вектор e2, будучи перпендикулярным к вектору e1,
1
0
. Теорема доказана.
2
0
, либо совместится с противоположным
2
Найдем матрицы линейных преобразований E2, описанных в теореме 6.15. Поскольку длины всех четырех базисных векторов равны 1,
0
то e
в базе e1, e2имеет координаты cos ϑ, sin ϑ, т. е.
1
0
e
= e1cos ϑ + e2sin ϑ.
1
.
Для координат вектора e
0
, в соответствии с теоремой 6.15, имеется
2
две возможности:
либо
0
e
= e1cosϑ +
2
π
+ e2sinϑ +
2
π
,
2
т.е.
0
e
= e1(−sin ϑ) + e2cos ϑ,
2
либо
0
−e
= e1(−sin ϑ) + e2cos ϑ,
2
поэтому
0
e
= e1sin ϑ + e2(−cos ϑ).
2
Таким образом, матрица перехода от базиса e1, e2к базису e
вид:
в первом случае
cos ϑ sin ϑ
T =
−sin ϑ cos ϑ
0
1
, e
0
имеет
2
(6.25)
и определитель этой матрицы |T | равен 1, |T| = 1,
во втором случае
cos ϑ sin ϑ
T =
sin ϑ −cos ϑ
и определитель |T | = −1.
(6.26)
252 Глава 6. Евклидовы пространства
Определение 14. Два ортонормированных базиса евклидова пространства E2называются одноименными, если матрица перехода от
одного к другому имеет определитель равный 1, и разноименными,
если этот определитель равен −1.
Запишем формулы преобразования координат векторов, используя (5.15):
x = x0cos ϑ − y0sin ϑ,
y = x0sin ϑ + y0cos ϑ
в случае одноименных базисов и
x = x0cos ϑ + y0sin ϑ,
y = x0sin ϑ − y0cos ϑ
в случае разноименных базисов.
Легко проверить, что в обоих случаях матрица T является
ортогональной (обратная равна транспонированной). Поэтому линейные преобразования евклидова пространства E2, которые мы сейчас
рассмотрели, ортогональные, поскольку в ортонормированном базисе
записываются ортогональными матрицами.
Оказывается, что любые ортогональные преобразования E2исчерпываются рассмотренными выше линейными преобразованиями.
Действительно, по теореме 6.14 любое ортогональное преобразование E2в любой его ортонормированной базе задается ортогональной
матрицей. Осталось убедиться, что любую ортогональную матрицу
размерности два можно представить в виде (6.25) или (6.26). Докажем
теорему 6.16.
Теорема 6.16. Для любой ортогональной матрицы Q второго
порядка можно найти такой угол ϑ, что
cos ϑ sin ϑ
Q =
(6.27)
−sin ϑ cos ϑ
и определитель этой матрицы |Q| равен 1, или
cos ϑ sin ϑ
Q =
(6.28)
sin ϑ −cos ϑ
и определитель |Q| = −1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, матрицу Q можно рассматривать как матрицу перехода от произвольного ортонормированного
базиса e1, e2евклидова пространства E2к некоторому другому орто-
§ 31. Симметрические преобразования евклидовых пространств 253
0
нормированному базису e
0
, e
. Выше было показано, что базис e
1
2
0
, e
1
можно получить из базиса e1, e2либо поворотом, либо поворотом и
последующим отражением (относительно прямой, несущей вектор e
0
).
1
Мы видели, что в первом случае матрица Q имеет вид (6.27), во
втором случае — вид (6.28). Теорема доказана.
Заметим, что исследование ортогональных преобразований евклидова пространства E3ввиду большего числа степеней свободы при
переходе от одного ортонормированного базиса к другому, является
более усложненным (громоздким). Читатель может ознакомиться с
такими исследованиями в другой литературе, например в [8].
§ 31. Симметрические преобразования
евклидовых пространств
Рассмотрим еще одно линейное преобразование евклидовых про-
странств.
0
2
Определение 15. Линейное преобразование ϕ евклидова про-
странства Enназывается симметрическим, или самосопряженным, если для любых двух векторов a и b этого пространства выполняется
равенство
(aϕ, b) = (a, bϕ), (6.29)
т. е. если в скалярном произведении символ преобразования можно
переносить с одного множителя на другой.
Определение 16. Квадратная матрица A называется симметри-
ческой, если ее элементы, расположенные симметрично относительно
главной диагонали, равны между собой.
Очевидно, что матрица A тогда и только тогда будет сим-
метрической, когда она совпадает со своей транспонированной,
т.е. если
A = AT. (6.30)
Теорема 6.17. Симметрическое преобразование евклидова про-
странства в любой ортонормированной базе этого пространства задается симметрической матрицей. И наоборот, если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одной ортонормированной
базе задается симметрической матрицей, то это преобразование симметрическое.
254 Глава 6. Евклидовы пространства
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть вначале симметрическое преобразо-
вание ϕ в ортонормированной базе e1, e2, .. . , enзадается матрицей
A =
α11α12... α
α21α22... α
.
.
.
.
.
.
αn1αn2... α
.
.
.
1n
2n
.
.
.
, (6.31)
nn
т.е. справедливо равенство
eϕ = Ae.
Так как база e1, e2, .. . , enортонормированная, то из аксиом скалярного
произведения получаем
X
(eiϕ, ej) =
k=1
(ei, ejϕ) = ei,
n
αikek, e
n
X
k=1
αjke
!
j
!
k
= αij,
= αji.
Поскольку ϕ — преобразование симметрическое, то из (6.29)
αij= α
ji
для всех i и j. Матрица A, следовательно, симметрическая.
Теперь пусть, наоборот, линейное преобразование ϕ задается
в ортонормированной базе e1, e2, .. . , enсимметрической матрицей A
(6.31), т. е. равенство
αij= α
ji
(6.32)
справедливо для всех элементов матрицы A. Возьмем произвольно два
вектора пространства
b =
n
X
βiei, c =
i=1
n
X
j=1
γjej.
Тогда
bϕ =
n
X
βi(eiϕ) =
i=1
n
X
i=1
n
X
β
i
αijej=
j=1
n
X
j=1
n
X
i=1
βiα
!
ej,
ij
§ 31. Симметрические преобразования евклидовых пространств 255
cϕ =
n
X
γj(ejϕ) =
j=1
n
X
j=1
n
X
γ
j
αjiei=
i=1
n
X
i=1
n
X
j=1
γjα
ji
ei.
Поскольку база e1, e2, .. . , enортонормированная, то
n
i=1
n
i=1
n
X
j=1
n
X
j=1
βiαijγj,
βiαjiγj.
X
(bϕ, c) =
X
(b, cϕ) =
Так как A — матрица симметрическая, то из (6.32) получаем
(bϕ, c) = (b, cϕ),
поэтому преобразование ϕ симметрическое, что и требовалось доказать.
Докажем теперь следующую важную теорему.
Теорема 6.18. Все характеристические корни симметрического
преобразования действительны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения 28 (гл. 5) характеристические корни линейного преобразования — это характеристические
корни любой его матрицы. Поскольку по предыдущей теореме всякое симметрическое преобразование евклидова пространства в любой
ортонормированной базе этого пространства задается симметрической
матрицей, то для доказательства теоремы достаточно показать, что
все характеристические корни симметрической матрицы действительны.
Пусть
A =
α11α12... α
α21α22... α
.
.
.
.
.
.
αn1αn2... α
.
.
.
1n
2n
.
.
.
nn
— симметрическая матрица и λ0— ее характеристический корень
(быть может, комплексный):
|A − λ0E| = 0.
256 Глава 6. Евклидовы пространства
Используя доказательство теоремы 5.14, получаем, что система линейных однородных уравнений
n
X
αijxj= λ0xi, i = 1, 2, ... , n
j=1
имеет ненулевое решение β1, β2, .. . , βn, вообще говоря, комплексное.
Подставив вместо xiчисла βi, получим систему равенств
n
X
αijβj= λ0βi, i = 1, 2, ... , n. (6.33)
j=1
Умножая обе части каждого i-го равенства системы (6.33) на число βi,
сопряженное с числом βi, и складывая отдельно левые и правые части
всех получающихся равенств, получим в итоге равенство
n
X
i=1
n
X
αijβjβi= λ
j=1
0
n
X
βiβi. (6.34)
i=1
Исследуем равенство (6.34) и покажем, что λ0может быть только
действительным числом. Заметим, что произведения βiβiвсе неотрицательны, а так как среди чисел β1, β2, .. . , βnимеются ненулевые, то
хотя бы одно из этих произведений строго положительно. Поэтому
коэффициент при λ0в правой части равенства (6.34) является отличным от нуля действительным числом. Используя симметричность
матрицы A, покажем, что число, комплексно сопряженное к левой
части равенства (6.34), равно ей. Тем самым будет доказано, что левая
часть этого равенства также есть действительное число. При этом
воспользуемся свойствами операции сопряжения комплексных чисел
n
X
i=1
n
X
αijβjβi=
j=1
n
X
i=1
X
j=1
=
n
X
i=1
n
αijβjβi=
n
X
αjiβjβi=
j=1
n
X
i=1
n
X
αijβjβi=
j=1
n
X
i=1
n
X
αijβiβj=
j=1
n
X
i=1
n
X
j=1
αijβjβi.
В этой цепочке предпоследнее равенство получено простой переменой
обозначений для индексов суммирования: букву i заменили на букву
j и наоборот. Итак, λ0— число действительное. Теорема доказана.
§ 31. Симметрические преобразования евклидовых пространств 257
Теорема 6.19. Линейное преобразование ϕ евклидова простран-
ства Enтогда и только тогда будет симметрическим, когда в пространстве Enнайдется ортонормированная база, каждый вектор которой
есть собственный вектор преобразования ϕ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В одну сторону доказательство проводится
достаточно просто. Если в Enсуществует ортонормированная база
e1, e2, .. . , en, каждый вектор которой является собственным для ϕ,
eiϕ = λiei, i = 1, 2, . .. , n,
то по теореме 5.15 в этой базе преобразование ϕ записывается диагональной матрицей
λ10 ... 0
0 λ2... 0
.
.
.
.
.
.
0 0 .. . λ
.
.
.
.
.
.
.
n
Так как всякая диагональная матрица симметрическая, то в одну
сторону утверждение теоремы верно.
Обратное утверждение теоремы будем доказывать индукцией по
размерности n пространства En. Действительно, в одномерном пространстве все векторы пропорциональны, а поэтому любое линейное
преобразование ϕ пространства E1переводит всякий вектор a этого
пространства в вектор, ему пропорциональный. Следовательно, любой
ненулевой вектор из E1будет собственным для ϕ. При этом очевидно,
что любое линейное преобразование одномерного евклидова пространства является симметрическим. Нормируем любой ненулевой вектор a
пространства E1и получаем искомую ортонормированную базу этого
пространства.
Предположим, что утверждение теоремы верно для евклидова
пространства размерности (n − 1). Пусть в пространстве Enзадано
симметрическое преобразование ϕ. Из теоремы 6.18 следует, что ϕ
имеет действительный характеристический корень λ0. По теореме 5.14
число λ0— это собственное значение преобразования ϕ. Пусть a —
собственный вектор преобразования ϕ, относящийся к этому собственному значению. Тогда, поскольку
(αa)ϕ = α(aϕ) = α(λ0a) = λ0(αa),
вектор αa — также собственный вектор преобразования ϕ, относящийся к тому же собственному значению λ0, для любого действительного
числа α 6= 0. Теперь, нормируя вектор a, мы получим такой вектор e1,
9 Б.К. Дураков
258 Глава 6. Евклидовы пространства
что
e1ϕ = λ0e1,
(e1, e1) = 1.
Из доказательства теоремы 6.6 следует, что ненулевой вектор e1можно включить в некоторую ортогональную базу
e1, e
0
, .. . , e
2
0
n
(6.35)
пространства En. Обозначим
W = hα2e
0
+ α3e
2
подпространство пространства En, натянутое на векторы e
0
+ ···+ αne
3
0
| αi∈ R, i = 2, 3, .. . , ni
n
0
2
, e
0
, .. . , e
3
0
n
Очевидно, что W будет иметь размерность (n − 1). Более того, это
будет (n − 1)-мерное евклидово пространство, так как скалярное произведение, будучи определенным для всех векторов пространства En,
определено и для векторов из W и обладает на W всеми необходимыми свойствами.
Подпространство W состоит из тех векторов пространства En,
которые ортогональны вектору e1. Действительно, если
a = α1e1+ α
0
e
+ ···+ α
2
2
0
0
e
n
n
0
— произвольный вектор пространства En, записанный в базе (6.35),
то, ввиду ортогональности этой базы и нормированности вектора e
получаем
.
1
(e1, a) = α1(e1, e1) + α
0
(e1, e
2
0
) + ··· + α
2
0
(e1, e
n
0
) = α1.
n
Значит, (e1, a) = 0 тогда и только тогда, когда α1= 0, т. е. тогда и только тогда, когда вектор a, являясь линейной комбинацией векторов
0
0
e
, e
, .. . , e
2
3
0
, принадлежит подпространству W.
n
Далее, W ϕ ⊆ W , т. е. образ aϕ любого вектора a ∈ W принадлежит подпространству W. Действительно, так как преобразование ϕ
симметрическое, а e1— собственный вектор этого преобразования,
относящийся к собственному значению λ0, то
(e1, aϕ) = (e1ϕ, a) = (λ0e1, a) = λ0(e1, a) = λ0· 0 = 0,
т.е. вектор aϕ ортогонален к e1и поэтому содержится в W. Отсюда
ясно, что мы можем рассматривать преобразование ϕ, применяемое
§ 31. Симметрические преобразования евклидовых пространств 259
только к векторам из W , как симметрическое преобразование самостоятельного евклидова (n − 1)-мерного пространства W.
В силу индуктивного предположения в пространстве W существует ортонормированная база, состоящая из собственных векторов
преобразования ϕ. Обозначим эту базу e2, e3, .. . , en. Как векторы подпространства W все эти базисные векторы ортогональны вектору e1.
Следовательно, e1, e2, .. . , enбудет искомой ортонормированной базой
пространства En, каждый вектор которой есть собственный вектор
преобразования ϕ. Теорема доказана.
Отметим еще одно свойство симметрических преобразований евклидовых пространств, которое нам понадобится ниже.
Утверждение. Собственные векторы симметрического преобразования ϕ, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны между собой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть
bϕ = λ1b, cϕ = λ2c,
где λ16= λ2. Используя симметричность преобразования и аксиомы
скалярного произведения, получаем
(bϕ, c) = (λ1b, c) = λ1(b, c),
(b, cϕ) = (b, λ2c) = λ2(b, c).
Поскольку
(bϕ, c) = (b, cϕ),
то
λ1(b, c) = λ2(b, c),
или
(λ1− λ2)(b, c) = 0.
Так как λ16= λ2, то
Утверждение доказано.
9*
(b, c) = 0.
260 Глава 6. Евклидовы пространства
§ 32. Ортогональное дополнение
Ортогональные подпространства
Определение 17. Два подпространства W1и W2евклидова
пространства Enназываются взаимно ортогональными (записывается
W1⊥ W2), если каждый вектор из W1ортогонален каждому вектору
из W2.
Теорема 6.20. Для того чтобы подпространства W1и W2ев-
клидова пространства Enбыли взаимно ортогональными, необходимо
и достаточно, чтобы все базисные векторы одного подпространства
были ортогональны всем базисным векторам другого.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость следует из определения 17.
Докажем достаточность. Пусть
e1, e2, .. . , e
k
— базис подпространства W1и
0
0
e
, e
, .. . , e
1
2
0
m
— базис W2, причем
0
(ei, e
) = 0
j
для всех i = 1, 2, ... , k, j = 1, 2, . .. , m. Если a = α1e1+ α2e2+ ··· +
+ αkek— любой вектор из W1, а b = β1e
0
+ β2e
1
0
+ ··· + βme
2
0
— любой
m
вектор из W2, то скалярное произведение
k
m
X
(a, b) =
i=1
X
αiβj(ei, e
j=1
0
) = 0
j
и, значит, a ⊥ b. Теорема доказана.
Утверждение. Если W1и W2— два подпространства простран-
ства Enвзаимно ортогональные друг другу, то
W1∩ W2= o.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть W1⊥ W2и c ∈ W1∩ W2. Так как
c ∈ W1и c ∈ W2, то (c, c) = 0. Значит, c = o. Утверждение доказано.
Пусть W1— произвольное подпространство евклидова пространства En. Выберем в W1ортонормированный базис e1, e2, .. . , ekи дополним его до ортонормированного базиса e1, e2, .. . , ek, e
, .. . , enвсего
k+1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]