Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 39. Смешанное произведение векторов-отрезков 321
тройка векторов a, b, c — левая). В любом случае
V = |([a, b], c)|. (8.29)
Теорема доказана.
e
c
h
b
e
a
Рис. 8.9
Следствие 1. Для любой тройки векторов a, b, c справедливо
равенство
([a, b], c) = (a, [b, c]).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала заметим, что (a,[b, c]) = ([b, c], a).
Далее, по теореме 8.14 модули смешанных произведений (a, [b, c]) и
([b, c], a) равны объему одного параллелепипеда, построенного на этих
векторах. Поскольку обе тройки a, b, c и b, c, a имеют одинаковую
ориентацию, то знаки смешанных произведений (a, [b, c]), ([b,c], a)
совпадают. Следствие 1 доказано.
Замечание 8. Доказанное в следствии 1 равенство позволяет в смешанном произведении векторов циклически переставлять
скобки векторного произведения:
([a, b], c) = (a, [b, c]) = ([c, a], b).
Это свойство дает нам возможность записывать смешанное произведение векторов: a, b, c проще:
([a, b], c) = (a, b, c).
В дальнейшем мы будем придерживаться именно этой записи —
(a, b, c).
11 Б.К. Дураков
322 Глава 8. Векторная алгебра
Следствие 2. Три вектора a, b и c компланарны тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение (a, b, c) равно нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если векторы a, b и c компланарны, то параллелепипед, построенный на этих векторах, будет
«плоским», т. е. имеет нулевой объем V . Тогда по теореме 8.14
V = (a, b, c) = 0.
Если смешанное произведение (a, b, c) равно нулю, то по теореме
8.14 объем параллелепипеда, построенного на этих векторах как на
сторонах, равен нулю. Тогда либо среди сомножителей имеется нулевой вектор, либо все три расположены в одной плоскости. В любом
случае эти три вектора компланарны. Следствие 2 доказано.
Получим формулу вычисления смешанного произведения векторов по декартовым координатам сомножителей (в прямоугольной
системе координат).
Теорема 8.15. Пусть
a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k, c = α3i + β3j + γ3k,
— три вектора, записанные в декартовой прямоугольной системе
координат OXY Z с базисными векторами i, j, k. Тогда смешанное
произведение этих векторов можно вычислять по формуле
(a, b, c) =
α1β1γ
α2β2γ
α3β3γ
1
. (8.30)
2
3
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся определением смешанного
произведения векторов и формулой (8.24) вычисления векторного произведения:
([a, b], c) = α3(β1γ2− β2γ1) + β3(γ1α2− γ2α1) + γ3(α1β2− α2β1).
Каждую скобку в правой части последнего равенства можно
заменить определителем второго порядка:
(a, b, c) = α
3
β1γ
β2γ
1
− β
2
3
α1γ
α2γ
1
2
+ γ
3
α1β
α2β
1
. (8.31)
2
Но правая часть равенства (8.31) есть разложение определителя
в равенстве (8.30) по элементам первой строки. Теорема доказана.
§ 39. Смешанное произведение векторов-отрезков 323
Следствие. Три вектора
a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k, c = α3i + β3j + γ3k
компланарны тогда и только тогда, когда равен нулю определитель,
строками которого являются координаты этих векторов:
α1β1γ
α2β2γ
α3β3γ
1
= 0. (8.32)
2
3
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, сначала нужно применить
следствие 2 теоремы 8.14, а затем теорему 8.15 и теорема будет
доказана.
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов a = −i +
+ 2j −k, b = i −j + 3k и c = i + j − 2k.
Решение. По теореме 8.15 получаем
(a, b, c) =
−1 2 −1
1 −1 3
1 1 −2
= −2 − 1 + 6 − 1 + 3 + 4 = 13 − 4 = 9.
Пример 2. Показать, что векторы a = i + j + k, b = 2i − j + k и
c = 4i + j + 3k компланарны.
Решение. Из следствия теоремы 8.15 получаем, что три вектора
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение
равно нулю. Проверяем:
(a, b, c) =
1 1 1
2 −1 1
4 1 3
= −3 + 2 + 4 + 4 + −6 − 1 = 10 − 10 = 0.
Данные три вектора компланарны.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Найти длину вектора a = i − 4j + 8k и его направляющие косинусы.
2. Найти сумму векторов a + b + c, если a = 3i + 2j + k, b = 4i −j + 6k
и c = −4i + j + 2k.
3. Вычислить скалярное произведение векторов a = 2i − 2j + k и b =
= −i + 3j + 2k.
11*
324 Глава 8. Векторная алгебра
4. Вычислить векторное произведение векторов a = 2i − 2j + k и b =
= −i + 3j + 2k.
5. Доказать тождества:
[(a − b), (a + b)] = [2a, b],
([a, b], [a, b]) + (a, b)2= (a, a)(b, b)
6. Найти угол между векторами a = i + 2j + 2k и b = −i + j + 4k.
7. При каких значениях m и n векторы a = −2i + 3j + mk и b = ni −
− 6j + 2k коллинеарны?
8. Проверить, что векторы a = 7i + 6j − 6k и b = 6i + 2j + 9k могут
быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро куба.
9. Вычислить смешанное произведение векторов a = i + 2j − k, b =
= 3i + j и c = 2i + j − k.
10. Проверить, компланарны ли следующие векторы:
а) a = −2i + j + k, b = i − 2j + 3k, c = 14i −13j + 7k;
б) a = 2i + j − 3k, b = 3i − 2j + 2k, c = i − 4j + k.
11. Доказать, что четыре точки A(1, 2, −1), B(0, 1, 5), C(−1, 2, 1) и
D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
12. Вычислить объем тетраэдра ABCD по координатам его вершин:
A(2, 1, 5), B(4, 0, 8), C(6, −2, 6) и D(5, 0, 3)
Г л а в а 9
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
С этой главы мы начинаем изучать основы аналитической геометрии. С более полным изложением этого курса можно ознакомиться в
многочисленных пособиях и учебниках разных авторов. Цель настоящего изложения курса аналитической геометрии состоит в следующем:
с одной стороны, — это приведение в соответствие изложения материала учебных планов инженерно-физических направлений данного
раздела математики с количеством отпущенных часов на его изучение,
и, с другой — в формировании у читателя такого уровня знаний
основ аналитической геометрии, который позволит ему более детально
самостоятельно изучить этот курс в случае необходимости.
Предметом аналитической геометрии является исследование
форм и размеров геометрических объектов с помощью алгебраических
методов. Здесь очень важную, можно сказать, посредническую роль
играет система координат плоскости или трехмерного пространства,
в зависимости от того, где находится исследуемый геометрический
объект. Мы будем изучать наиболее «простые» геометрические
объекты (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка),
расположенные либо на плоскости, либо в реальном трехмерном пространстве и использовать только декартову прямоугольную систему
координат. Погрузив в выбранную систему координат исследуемый
геометрический предмет, мы должны совокупность всех точек этого
предмета задать уравнением (или системой уравнений), которое
однозначно характеризует точки исследуемого объекта среди всех
точек плоскости или трехмерного пространства (в зависимости от
того, где данный объект сейчас рассматривается). Этот шаг позволит
применять далее алгебраические методы к исследованию полученного
уравнения (или системы уравнений) и сделать в конце надлежащие
геометрические выводы.
§ 40. Прямая на плоскости
Прежде всего необходимо понять, что такое «уравнение геометрического объекта» в данной системе координат.
326 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
Определение 1. Пусть в плоскости (в трехмерном пространстве)
дано множество точек M. Выберем на плоскости (или в трехмерном
пространстве) декартову прямоугольную систему координат OXY (или
OXY Z) с началом в точке O. Пусть
F (x, y) = 0, (F (x,y, z) = 0) (9.1)
такое уравнение, связывающее две (три) независимые переменные x, y
(x, y, z), для которого выполняется правило: точка M(x0, y0) плоскости
(или M(x0, y0, z0) трехмерного пространства) тогда и только тогда
принадлежит множеству M, когда ее координаты (x0, y0) ((x0, y0, z0)) в
выбранной системе координат удовлетворяют этому уравнению, т. е.
F (x0, y0) = 0, (F(x0, y0, z0) = 0),
а координаты любой точки N (x0, y0) (N(x0, y0, z0)), не принадлежащей
M, этому уравнению не удовлетворяют, т. е.
F (x0, y0) 6= 0, (F(x0, y0, z0) 6= 0).
Тогда уравнение (9.1) называется уравнением множества точек M в
заданной системе координат.
1. Общее уравнение прямой на плоскости. Поставим и решим
следующую задачу.
Пусть на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат OXY с началом в точке O даны точка M0(x0, y0), ненулевой вектор
n = (A, B) и прямая L, проходящая через точку M0перпендикулярно
вектору n. Необходимо записать уравнение этой прямой.
Прежде всего заметим, что для каждой фиксированной точки M0(x0, y0) и для каждого фиксированного ненулевого вектора
n = (A, B) на плоскости существует единственная прямая, удовлетво-
ряющая условию поставленной задачи.
Пусть M (x, y) — произвольная точка плоскости (рис. 9.1). Образуем два вектора: OM0и OM. Рассмотрим вектор OM0−OM = M0M.
Начало вектора M0находится на прямой L, а концом может быть
любая точка M плоскости. Выясним, когда, в условиях поставленной
задачи, точка M будет принадлежать прямой L. Очевидно, M ∈ L
тогда и только тогда, когда вектор n перпендикулярен вектору M0M.
Тогда по теореме 8.7 скалярное произведение (n, M0M) равно нулю.
Вектор M0M имеет координаты (x − x0, y − y0). Поэтому из формулы
§ 40. Прямая на плоскости 327
(8.14) получаем
(n, M0M) = A(x − x0) + B(y −y0) = 0.
Итак, мы получили уравнение
A(x − x0) + B(y −y0) = 0 (9.2)
прямой L на плоскости, проходящей через заданную точку M0с
координатами (x0, y0) перпендикулярно заданному вектору n с координатами (A, B). Таким образом, поставленная выше задача реше-
на. Поскольку на любой прямой, расположенной на плоскости, всегда
можно выбрать точку, лежащую на ней, и выбрать ненулевой вектор,
перпендикулярный к этой прямой, то любую прямую на плоскости
можно задать уравнением (9.2).
y
n(A, B)
M0(x0, y0)
M(x, y)
0
x
L
Рис. 9.1
Преобразуем уравнение (9.2):
A(x − x0) + B(y −y0) = Ax + By + (−Ax0− By0) = 0.
Обозначим C = (−Ax0− By0) и запишем уравнение (9.2) в виде
Ax + By + C = 0. (9.3)
Это уравнение первой степени относительно двух переменных x и y.
Определение 2. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный
данной прямой L, на плоскости называется нормальным вектором этой
прямой L.
Определение 3. Уравнение (9.3) называется общим уравнением
прямой на плоскости с нормальным вектором n = (A, B).
328 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
Итак, мы получили, что любую прямую на плоскости можно
задать уравнением первой степени относительно двух переменных.
Пусть OXY — произвольная фиксированная декартова прямоугольная система координат и задано уравнение первой степени
Ax + By + C = 0, (9.4)
в котором коэффициенты A, B и C любые действительные числа с
условием, что A и B не равны нулю одновременно. Алгебраическое
уравнение (9.4) имеет хотя бы одно решение (x0, y0), т. е. выполняется
равенство
Ax0+ By0+ C = 0, (9.5)
Вычтем из уравнения (9.4) равенство (9.5) и получим уравнение
A(x − x0) + B(y −y0) = 0, (9.6)
равносильное уравнению (9.4). Пусть M(x0, y0) — точка на плоскости
и n = (A, B) — вектор в выбранной системе координат. Покажем, что
уравнение (9.6) в выбранной системе координат определяет на плоскости прямую L, проходящую через точку M(x0, y0) перпендикулярно
вектору n = (A, B). Такая прямая L определяется однозначно, поскольку коэффициенты A, и B не равны нулю одновременно. Выберем
произвольно точку M (x, y) ∈ L, тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению (9.6), поскольку вектор M0M в этом случае перпендикулярен вектору n = (A,B), и тогда скалярное произведение этих векторов
A(x − x0) + B(y −y0)
равно нулю. Таким образом, координаты любой точки прямой L удовлетворяют уравнению (9.6). Пусть точка N(x0, y0) /∈ L. Тогда вектор
M0N не будет ортогонален вектору n = (A,B), и поэтому их скалярное
произведение
A(x0− x0) + B(y0− y0)
нулю не равно, и координаты (x0, y0) произвольной точки N /∈ L не
удовлетворяют уравнению (9.6). Следовательно, в соответствии с определением 1 настоящей главы, уравнение (9.6) определяет в выбранной
системе координат на плоскости прямую, проходящую через точку
M(x0, y0) перпендикулярно вектору n = (A, B), и, значит, уравнение
(9.4) задает на плоскости прямую с нормальным вектором n = (A, B).
2. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Теперь
сформулируем другую задачу.
§ 40. Прямая на плоскости 329
Пусть на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат OXY с началом в точке O даны точка M0(x0, y0), ненулевой
вектор q = (m, n) и прямая L, проходящая через точку M0параллельно
вектору q. Записать уравнение этой прямой.
Задача поставлена корректно, а именно, с такими условиями, на
плоскости существует только одна прямая.
Пусть M (x, y) — произвольная точка плоскости (рис. 9.2). Образуем два вектора: OM0и OM. Рассмотрим вектор OM0−OM = M0M.
Начало M0этого вектора находится на прямой L, а концом может быть
любая точка M плоскости. Выясним, когда в условиях поставленной
задачи точка M будет принадлежать прямой L. Очевидно, M ∈ L
тогда и только тогда, когда вектор q будет параллельным вектору
M0M. Тогда, по следствию теоремы 8.13, координаты этих векторов должны быть пропорциональны. Вектор M0M имеет координаты
(x − x0, y − y0). Получаем каноническое уравнение
x − x
m
y − y
0
=
0
(9.7)
n
прямой L на плоскости, проходящей через заданную точку M0с
координатами (x0, y0), параллельно заданному вектору q с координатами (m, n). Поставленная выше задача решена. Заметим, что вектор
может q = (m,n) может быть параллелен одной из координатных осей.
Тогда одна из его координат: либо m, либо n, будет равна нулю и
в каком-то из знаменателей уравнения 9.7 будет стоять ноль. Это
не противоречит правилу деления чисел, поскольку уравнение 9.7,
представляющее собой равенство двух отношений, всегда понимается
как равносильное ему равенство произведений числителя дроби из
одной части равенства на знаменатель дроби из другой ее части, т. е.
(x − x0)n = (y − y0)m.
Определение 4. Любой ненулевой вектор, параллельный к данной прямой L, на плоскости называется направляющим вектором этой
прямой L.
Поскольку на любой прямой, расположенной на плоскости, всегда можно выбрать точку, лежащую на ней, и выбрать направляющий
вектор, то любую прямую на плоскости можно задать уравнением
(9.7).
Замечание 8. Поскольку одна из координат ненулевого вектора q = (m, n) может равняться нулю, то в уравнении (9.7) в
одном из знаменателей может стоять нуль. В таком случае надо
обратиться к замечанию 7 (§38).
330 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
y
q(m, n)
M0(x0, y0)
r − r
r
0
0
M(x, y)
r
0
x
L
Рис. 9.2
3. Векторное уравнение прямой на плоскости. Обратимся еще
раз к рис. 9.2. Обозначим r0= OM0и r = OM . Далее,
OM = OM0+ M0M. (9.8)
Так как вектор M0M параллелен вектору q, то при любом положении
точки M на прямой L всегда существует число t, зависящее от положения точки M на прямой L, такое что
M0M = tq.
Тогда равенство можно переписать в виде
r = r0+ tq, (9.9)
где t является переменным параметром. Поскольку M пробегает все
точки прямой L, то −∞ < t < +∞.
Определение 5. Уравнение (9.9) называется векторным уравнением прямой L, проходящей через конец заданного вектора r0с
направляющим вектором q. При этом переменный вектор r является
годографом этой прямой, т. е. при непрерывном изменении параметра
t от −∞ до +∞ конец вектора r прорисует все точки прямой L.
4. Параметрические уравнения прямой на плоскости. Па-
раметрические уравнения прямой на плоскости легко получаются из
векторного уравнения (9.9). Запишем это уравнение в координатной
форме
(x, y) = (x0, y0) + t(m, n).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]