Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 391
2
Если |t| > a, то1 −
t
< 0 и тогда
2
a
b
2
t
= −b
2
1 −
2
t
2
a
и c
2
t
= −c
2
1 −
2
t
, (10.93)
2
a
и уравнения линий Ltбудут иметь вид
Lt: −
2
y
2
b
t
+
2
z
= 1 (10.94)
2
c
t
Это уравнение также двух семейств гипербол, каждое из которых
расположено в плоскостях π−tи π+tсоответственно. В этих семействах
гипербол ветви будут неограниченно разбегаться при t → ±∞.
И в завершение исследования канонического уравнения (10.87)
однополостного гиперболоида рассмотрим его сечения плоскостями π
с уравнениями
πs: y = s, −∞ < s < +∞,
параллельными плоскости OXZ. После соответствующей подстановки
s
в уравнение (10.87) получим
Если |s| < b, то1 −
2
a
= a
s
2
2
x
2
a
> 0 и можно ввести обозначения:
2
s
2
b
s
b
Ls:
2
2
1 −
−
и c
2
z
2
c
= 1 −
2
= c
s
2
s
.
2
b
2
1 −
2
s
, (10.95)
2
b
и уравнения линий Lsбудут иметь вид
Ls:
2
x
2
a
s
−
2
z
= 1 (10.96)
2
c
s
Это уравнение двух семейств гипербол, каждое из которых расположено в плоскостях π−sи π+sсоответственно. В этих семействах гипербол
ветви будут сближаться при s → ±b.
392 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
0
x
y
z
При s = ±b в каждой из плоскостей π−bи π+bполучим две пары
пересекающихся прямых, заданных уравнениями
r
2
a
z.
2
c
Если |s| > b, то1 −
x = ±
2
s
< 0 и тогда
2
b
a
2
s
= −a
2
1 −
2
s
2
b
и c
2
s
= −c
2
1 −
2
s
, (10.97)
2
b
и уравнения линий Lsбудут иметь вид
Ls: −
2
x
2
a
s
+
2
z
= 1. (10.98)
2
c
s
Это уравнение также двух семейств гипербол, каждое из которых расположено в плоскостях π−sи π+sсоответственно. В этих семействах
гипербол ветви будут неограниченно разбегаться при s → ±∞.
Теперь мы можем изобразить однополостной гиперболоид (рис.
10.6).
Рис. 10.6
3. Двуполостной гиперболоид. Для удобства изображения дву-
полостного гиперболоида рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат OXY Z его каноническое уравнение
2
−
x
2
a
+
2
y
2
b
−
2
z
= 1. (10.99)
2
c
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 393
Очевидно, что начало координат является центром симметрии,
а оси координат — осями симметрии двуполостного гиперболоида.
Далее, двуполостной гипеболоид (10.99) пересекает ось OY в двух
точках y = ±b, а точек пересечения с осями OX и OZ нет.
Как и выше, для выяснения геометрической формы двуполостного гиперболоида рассмотрим формы линий пересечения его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Для начала исследуем
сечения, параллельные плоскости OXY , т. е. сечения плоскостями π
с уравнениями
πh: z = h, − ∞ < h < +∞. (10.100)
После подстановки в уравнение (10.99) получим
Lh: −
2
x
2
a
+
2
y
2
b
= 1 +
h
2
2
c
– уравнение линии сечения.
Очевидно, правая часть полученного уравнения положительна
при любых h. При h = 0 получим
−
2
x
2
a
+
2
y
= 1
2
b
– уравнение гиперболы, расположенной в плоскости OXY. После деления обеих частей уравнения линий Lhна выражение, расположенное
в правой части, имеем
h
Lh: −
2
x
2
a
h
+
2
y
= 1, (10.101)
2
b
h
где
2
a
h
= a
2
1 +
h
2
2
c
и b
2
h
= b
2
1 +
2
h
. (10.102)
2
c
Следовательно, Lh— это семейство гипербол. Если h → ±∞, то
расстояние между вершинами гипербол неограниченно увеличивается.
Наименьшее расстояние между вершинами будет равно 2b при h = 0,
т.е. в сечении плоскостью OXY.
394 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида (10.99) плоскостями, параллельными другим координатным плоскостям. Если рассекать плоскостями πtс уравнениями
πt: x = t, − ∞ < t < +∞
параллельными плоскости OY Z, то после соответствующей подстановки в уравнение (10.99), получим
Очевидно, что1 +
t
a
2
Lt:
2
2
y
2
b
> 0 при любых t, поэтому можно ввести
−
2
z
2
c
= 1 +
2
t
.
2
a
обозначения
2
b
t
= b
2
1 +
2
t
2
a
и c
2
t
= c
2
1 +
2
t
, (10.103)
2
a
и записать уравнения линий Ltв следующем виде
Lt:
2
y
2
b
t
−
2
z
= 1. (10.104)
2
c
t
Это уравнение двух семейств гипербол, каждое из которых расположено в плоскостях π−tи π+tсоответственно. В даных семействах
гипербол расстояние между вершинами гипербол также неограниченно увеличивается при t → ±∞. Наименьшее расстояние между
вершинами будет равно 2b при t = 0, т. е. в сечении плоскостью OXZ.
И в завершение исследования канонического уравнения (10.99)
двуполостного гиперболоида рассмотрим его сечения плоскостями π
с уравнениями
πs: y = s, −∞ < s < +∞,
параллельными плоскости OXZ. После соответствующей подстановки
в уравнение (10.99) получим
Ls:
2
x
2
a
+
2
z
2
c
=
2
s
− 1. (10.105)
2
b
Если |s| < b, то точек пересечения двуполостного гиперболоида (10.99)
с плоскостями πsнет, т. е. в пространственной полосе −b < y < b нет
точек этого гиперболоида.
s
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 395
0
x
y
z
При s = ±b в сечениях получим две точки с координатами (0, ±
±b, 0) — это вершины двуполостного гиперболоида.
2
Пусть теперь |s| > b. Тогда
s
− 1 > 0 и после введенных обозна-
2
b
чений
2
2
a
= a
s
s
2
2
b
− 1
и c
2
2
= c
s
s
2
2
b
− 1,
уравнения линий Lsбудут иметь вид
Ls:
2
x
2
a
s
+
2
z
= 1. (10.106)
2
c
s
Это уравнение двух семейств эллипсов с полуосями as> 0, cs> 0,
каждое из которых расположено в плоскостях π−sи π+sсоответственно. В данных семействах полуоси будут неограниченно увеличиваться
при s → ±∞.
Теперь можно изобразить двуполостной гиперболоид (рис. 10.7).
Рис. 10.7
4. Конус. Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе ко-
ординат OXY Z каноническое уравнение конуса:
2
x
2
a
+
2
y
2
b
−
2
z
= 0. (10.107)
2
c
Очевидно, что начало координат является центром симметрии,
а оси координат — осями симметрии конуса. Далее, конус (10.107)
пересекает оси координат только в одной точке O(0, 0, 0), которая
называется вершиной конуса.
396 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Рассмотрим формы линий пересечения конуса плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Сначала рассмотрим сечения,
параллельные плоскости OXY , т. е. плоскостями πhс уравнениями
πh: z = h, − ∞ < h < +∞. (10.108)
После подстановки в уравнение (10.107) получим
Lh:
2
x
2
a
+
2
y
2
b
=
h
2
2
c
– уравнение линии сечения.
Очевидно, правая часть полученного уравнения положительна
при любых h. При h = 0 получим
2
x
2
a
+
2
y
= 0
2
b
– уравнение точки O(0, 0, 0).
Если h 6= 0, то после деления обеих частей уравнения линий L
на выражение, расположенное в правой части, имеем
Lh:
2
x
2
a
h
+
2
y
= 1, (10.109)
2
b
h
где
2
2
a
= a
h
h
2
2
c
и b
2
h
= b
2
h
2
. (10.110)
2
c
h
Следовательно, Lh— это два семейства эллипсов. Если h → ±∞, то
длины полуосей ah> 0 и bh> 0 будут неограниченно увеличиваться.
Рассмотрим сечения конуса (10.107) плоскостями πtс уравнениями
πt: x = t, − ∞ < t < +∞,
параллельными плоскости OY Z. После соответствующей подстановки
в уравнение (10.107) получим
Очевидно, что
Lt:
2
t
> 0 при любых t.
2
a
2
y
2
b
−
2
z
2
c
=
2
t
.
2
a
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 397
Если t 6= 0, то уравнение линий Ltзаписывается в виде
Lt:
2
y
2
b
t
−
2
z
= 1,
2
c
t
где
2
2
b
= b
t
t
2
2
a
и c
2
t
= c
2
t
2
.
2
a
Это уравнение двух семейств гипербол, каждое из которых расположено в плоскостях π−tи π+tсоответственно. В этих семействах
гипербол расстояния между вершинами гипербол также неограниченно увеличивается при t → ±∞.
Если t = 0, то получим уравнение двух пересекающихся в начале
координат прямых
r
2
y = ±
b
z.
2
c
Рассмотрим сечения конуса (10.107) плоскостями
y = kx.
После подстановки и несложных преобразований, получим уравнение
двух пересекающихся в начале координат прямых
z2= x2c
1
2
+
2
a
2
k
.
2
b
При непрерывном изменении коэффициента k получим сеть S пар
пресекающихся прямых, расположенных на конусе так, что любая
точка, взятая на конусе, лежит, по крайней мере, на одной из этих
прямых. Заметим, что описанные выше две прямые из плоскости OY Z,
получаются при k = 0.
Пусть l — любая прямая из S и Lh— эллипс из семейства
(10.109) для некоторого фиксированного h. Тогда прямая l проходит
через точку O(0, 0, 0) и некоторую точку M ∈ Lh(при желании координаты точки M можно легко найти). Если перемещать прямую l так,
чтобы точка M непрерывно двигалась по эллипсу Lh, но всегда проходила через точку O, то все точки прямой l при таком перемещении
образуют коническую поверхность (10.107).
398 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
И в завершение исследования канонического уравнения конуса
(10.107) рассмотрим его сечения плоскостями πsс уравнениями
πs: y = s, −∞ < s < +∞,
параллельными плоскости OXZ. После соответствующей подстановки
в уравнение (10.107) получим
Очевидно, что
Ls:
2
s
> 0 для любых s.
2
b
2
z
2
c
−
2
x
2
a
=
2
s
.
2
b
Если s = 0, то в сечении конуса координатной плоскостью OXZ
получим пару пересекающихся в начале координат прямых
r
2
z = ±
c
x.
2
a
Если s 6= 0, то уравнение линий Lsзаписывается в виде
Ls:
2
z
2
c
s
−
2
x
= 1,
2
a
s
где
2
2
c
= c
s
s
2
2
b
и a
2
= a
s
2
s
2
.
2
b
Это уравнение двух семейств гипербол, каждое из которых расположено в плоскостях π−sи π+sсоответственно. В этих семействах
гипербол расстояния между вершинами гипербол неограниченно увеличивается при s → ±∞.
Приводим изображение конуса (рис. 10.8).
5. Эллиптический параболоид. Рассмотрим каноническое урав-
нение эллиптического параболоида в прямоугольной декартовой системе координат OXY Z:
2
x
2
a
+
2
y
= 2pz, параметр p 6= 0. (10.111)
2
b
Данная поверхность имеет ось симметрии — это ось OZ и
плоскости симметрии: OXZ и OY Z. Если p > 0, то весь параболоид
находится в верхнем полупространстве z > 0, если p < 0, то в нижнем
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 399
0
x
y
z
Рис. 10.8
z 6 0. Эллиптический параболоид имеет единственную общую точку с
любой осью координат — это начало O(0, 0, 0).
Дальнейшее исследование проведем для случая p > 0. Тогда z >
> 0.
Рассмотрим сечения эллиптического парболоида плоскостями πh,
параллельными плоскости OXY , с уравнениями
πh: z = h, h > 0.
После подстановки в уравнение (10.111) получим
Lh:
2
x
2
a
+
2
y
2
b
= 2ph
уравнение линий сечений.
При h = 0 будет точка O(0, 0, 0). Если h > 0, то уравнение линий
сечений легко записать в следующем виде:
Lh:
2
x
2
a
h
+
2
y
= 1,
2
b
h
где
a
h
2
= 2pha
2
и b
2
= 2phb2.
h
Значит, Lh— это семейство эллипсов с полуосями ah> 0 и bh> 0.
При h → +∞ длины данных полуосей неограниченно увеличиваются.
Рассмотрим сечения эллиптического параболоида (10.111) плоскостями, параллельными другим координатным плоскостям. Сначала
400 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
рассмотрим сечения координатными плоскостями OY Z и OXZ. Получим две «взаимно перпендикулярные» параболы
2
y
= 2pz, x = 0 (10.112)
2
b
и
2
x
= 2pz, y = 0. (10.113)
2
a
Ветви обеих парабол направлены вверх.
Если рассекать плоскостями πtс уравнениями
πt: x = t, − ∞ < t < +∞,
параллельными плоскости OY Z, то после соответствующей подстановки в уравнение (10.111) и несложных преобразований получим
семейство парабол
2
t
2pa
2
, x = t.
Lt:
2
y
= 2pz −
2
b
Каждая из этих парабол получается таким параллельным переносом
параболы (10.112), при котором ее вершина с координатами (0, 0, 0)
переходит в точку, расположенную на параболе (10.113), с координатами
t, 0,
2
t
2pa
.
2
Таким образом, эллиптический параболоид (10.111) получается
путем параллельного перемещения параболы (10.112), когда ее вершина перемещается по параболе (10.113). Очевидно, что параболоид можно получить, если неподвижна парабола (10.112), а парабола (10.113)
будет перемещаться по ней.
Нетрудно проверить, что если p < 0, то чаша параболоида будет
обращена вниз. Осталось нарисовать эллиптический параболоид (рис.
10.9).
6. Гиперболический параболоид. Рассмотрим каноническое
уравнение гиперболического параболоида в прямоугольной декартовой
системе координат OXY Z
2
x
2
a
−
2
y
= 2qz , параметр q 6= 0. (10.114)
2
b
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]