Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 25. Линейные подпространства 211
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства достаточно взять подпространство, натянутое на любую систему из k линейно независимых
векторов.
Пусть W1и W2— два подпространства пространства V.
Определение 17. Совокупность W0всех векторов из V , принад-
лежащих одновременно и W1, и W2, называется пересечением этих
подпространств
W0= W1∩ W2,
а множество W всех векторов из V , представимых в виде суммы двух
слагаемых — одного из W1, другого из W2, называется суммой W
и W2:
W = W1+ W2= hw1+ w2| ∀w1∈ W1и ∀w2∈ W2i.
С помощью теоремы 5.9 легко проверить, что пересечение и сумма подпространств линейного пространства также являются его
подпространствами.
Теорема 5.10. Размерность суммы двух подпространств W1и W
линейного пространства V равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения:
dim(W1+ W2) = dim W1+ dim W2− dim(W1∩ W2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим, как и выше, W0= W1∩ W2,
W = W1+ W2. Пусть
dim W1= n1, dim W2= n2, dim W0= n0.
1
2
Возьмем любую базу
a1, a2, .. . , a
n
0
подпространства W0и дополним ее сначала до базы
a1, a2, .. . , a
, b
n
0
n0+1
, .. . , b
n
1
подпространства W1, а затем до базы
a1, a2, .. . , a
, c
n
0
n0+1
, .. . , c
n
2
подпространства W2. Покажем, что система векторов
a1, a2, .. . , a
, b
n
0
n0+1
, .. . , b
, c
n
1
n0+1
, .. . , c
(5.33)
(5.34)
(5.35)
n
2
(5.36)
212 Глава 5. Линейные пространства
образует базис подпространства W , и тем самым докажем теорему.
Любой вектор z ∈ W по определению равен x + y, где x ∈ W1и y ∈ W2.
Тогда из (5.34)
x = α1a1+ α2a2+ ···+ α
a
n
+ β
n
0
0
n0+1bn0+1
+ ···+ β
b
n
n
1
1
и из (5.35)
y = δ1a1+ δ2a2+ ···+ δ
a
n
+ γ
n
0
0
n0+1cn0+1
+ ···+ γ
c
.
n
n
2
2
Значит,
z = (α1+ δ1)a1+ ···+ (α
+ δ
n
0
)a
n
0
+ β
n0+1bn0+1
n
0
+ ···+ β
+ γ
n0+1cn0+1
b
+
n
n
1
1
+ ···+ γ
c
n
n
2
Таким образом, подпространство W порождается векторами системы
(5.36).
Пусть имеет место равенство
α1a1+ α2a2+ ···+ α
a
n
+ β
n
0
0
n0+1bn0+1
+ ···+ β
+ γ
b
+
n
n
1
1
n0+1cn0+1
+ ···+ γ
c
n
= 0
n
2
2
с некоторыми числовыми коэффициентами. Рассмотрим вектор
.
2
d = α1a1+ α2a2+ ···+ α
a
n
+ β
n
0
0
n0+1bn0+1
+ ···+ β
= −γ
n0+1cn0+1
b
n
=
n
1
1
− ···− γ
c
n
n
2
Из этого равенства ясно, что вектор d принадлежит и подпространству
W1, и подпространству W2, а значит, находится в их пересечении
W0и поэтому линейно выражается через базу (5.33). Правая часть
последнего равенства показывает, что вектор d линейно выражается
и через векторы c
фициенты γ
n0+1
, .. . , γ
n0+1
, .. . , c
одновременно равны нулю, поскольку система
n
2
. Это возможно, только когда все коэф-
n
2
(5.35) линейно независима. Тогда d = o, а поэтому ввиду линейной
независимости системы (5.34) все коэффициенты
α1, α2, .. . , α
, β
n
0
n0+1
, .. . , β
n
1
также равны нулю. Таким образом, система векторов (5.36) будет
базой подпространства W .
В качестве упражнения рассмотрим случай, когда пересечение
W0= o. Теорема доказана.
.
2
§ 25. Линейные подпространства 213
Особый интерес представляют суммы таких подпространств, пересечение которых равно нулевому подпространству.
Определение 18. Сумма двух подпространств W1и W2называ-
ется прямой суммой, если представление любого вектора w из W1+ W
в виде w1+ w2, где w1∈ W1, w2∈ W2является однозначным, или, что
то же самое, из равенства w1+ w2= o, где w1∈ W1, w2∈ W2, следует
w1= o, w2= o.
Прямая сумма двух подпространств W1и W2обозначается как
W1⊕ W2. Говорят, что если V = W1⊕ W2, то V разлагается в прямую
сумму своих подпространств W1и W2.
Утверждение 3. Для того чтобы сумма W1+ W2была прямой,
необходимо и достаточно, чтобы W1∩ W2= o.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, для любого вектора
c ∈ W1∩ W2справедливо представление
o = c + (−c),
где c ∈ W1, а −c ∈ W2. Но так как сумма W1+ W2прямая, то имеется
однозначное представление нулевого вектора
o = o + o,
2
где одно слагаемое из W1, а другое — из W2. Значит, c = o.
Пусть теперь W1∩W2= o и для некоторого вектора d из W1+ W
имеются два представления:
d = w1+ w2= w1+ w2,
где w1, w1∈ W1и w2, w2∈ W2. Тогда
w1− w1= w2− w2.
В левой части полученного равенства — вектор из W1, в правой —
из W2. Поскольку эти подпространства пересекаются по нулевому
подпространству, то w1− w1= o и w2− w2= 0, т. е. w1= w1, w2= w2.
Утверждение доказано.
Утверждение 4. Для того чтобы сумма W1+ W2была прямой,
необходимо и достаточно, чтобы соединение базисов W1и W2составляло базис суммы W1+ W2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим e1, e2, .. . , ekи e
0
k+1
, e
0
k+2
, .. . , e
0
m
базисы подпространств W1и W2соответственно. Пусть вначале сумма
2
214 Глава 5. Линейные пространства
W1+ W2будет прямой. Составим равенство
α1e1+ α2e2+ ···+ αkek+ β1e
0
k+1
+ β2e
0
+ ···+ βme
k+2
0
m
= o
и покажем, что оно верно только при нулевых коэффициентах. Действительно, расставим скобки в левой части этого равенства:
(α1e1+ α2e2+ ···+ αkek) + (β1e
0
k+1
+ β2e
0
+ ···+ βme
k+2
0
) = o.
m
Тогда выражение в первых скобках — это вектор из подпространства
W1, а выражение во вторых скобках — из W2. Так как нулевой вектор
имеет однозначное представление в прямой сумме W1⊕ W2, то
α1e1+ α2e2+ ···+ αkek= o, β1e
0
k+1
+ β2e
0
+ ···+ βme
k+2
0
m
= o.
Левые части этих равенств — это линейные комбинации базисов,
поэтому равенства верны только при нулевых коэффициентах.
Пусть теперь
e1, e2, .. . , ek, e
0
k+1
, e
0
k+2
, .. . , e
0
m
является базисом суммы W1+ W2. Если c — ненулевой вектор из
W1∩ W2, то он линейно выражается через этот базис, где не все ко-
эффициенты равны нулю. Очевидно, что вектор c линейно выражается
и через базис W1, и через базис W2также с ненулевыми наборами
коэффициентов. Сравнивая все три выражения, получим противоречие
с линейной независимостью каждой из трех систем векторов. Утверждение доказано.
Понятие прямой суммы подпространств легко распространяется
на любое количество слагаемых (в том числе и бесконечное).
Определение 19. Суммой W1+ W2+ ··· + Wkподпространств
линейного пространства V называется множество всех векторов пространства V , представимых в виде w1+ w2+ ··· + wk, где wi∈ Wi,
i = 1, 2, ... , k:
W1+ W2+ ···+ Wk= hw1+ w2+ ···+ wk| wi∈ Wi, i = 1, 2, ... , ki.
Нетрудно проверить, что сумма подпространств является подпространством основного пространства; объединение базисов всех слагаемых порождает сумму подпространств.
Определение 20. Сумма W1+ W2+ ··· + Wkподпространств
пространства V называется прямой суммой, если представление ее
векторов в виде w1+ w2+ ··· + wk, где wi∈ Wi, i = 1, 2, . .. , k всегда
§ 25. Линейные подпространства 215
однозначно, или, что то же самое, из равенства w1+ w2+ ··· + wk= o,
где wi∈ Wi, i = 1, 2, . .. , k, следует, что wi= o, i = 1, 2, . .. , k.
Как и для двух слагаемых, прямая сумма нескольких подпространств обозначается как
W1⊕ W2⊕ ···⊕ Wk.
Утверждение 5. Для того чтобы сумма W1+ W2+ ··· + W
была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение каждого
из подпространств Wi, i = 1, 2, .. . , k, с суммой остальных состояло
только из нулевого вектора.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сумма W1+ W2+ ··· + Wkпрямая
и c ∈ Wi∩ (W1+ ··· + W
что c ∈ Wi, а −c ∈ (W1+ ··· + W
= w1+ ···+ w
i−1
+ w
i+1
c + (w1+ ···+ w
i−1
+ W
+ ··· + Wk). Тогда можем считать,
i+1
i−1
+ W
+ ··· + Wk) и поэтому −c =
i+1
+ ···+ wk. Так как c + (−c) = o, то
i−1
+ w
+ ···+ wk) = o.
i+1
Так как в прямой сумме подпространств нулевой вектор представляется однозначно (см. определение 20), то c = o.
Пусть теперь для всех i = 1, 2, ... , k пересечение подпространства
Wiс суммой остальных подпространств равно нулевому вектору. Тогда
из равенства w1+ w2+ ··· + w
то же самое, wi= −w1− w2− ···− w
+ wi+ w
i−1
i−1
i+1
− w
+ ··· + wk= o, или, что
− ···− wkследует, что
i+1
wi= o. Значит, по определению, сумма W1+ W2+ ··· + Wkявляется
k
прямой.
Утверждение 6. Для того чтобы сумма W1+ W2+ ··· + Wkбыла
прямой, необходимо и достаточно, чтобы соединение базисов подпространств W1, W2, .. . , Wkсоставляло базис суммы.
Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.
Утверждение 7. Для того чтобы сумма W1+ W2+ ··· + Wkбыла
прямой, необходимо и достаточно, чтобы W1∩ W2= o, (W1+ W2) ∩
∩W3= o и так далее, т. е. чтобы пересечение каждого подпространства
Wi, i = 2, 3, . . . , k, с суммой предшествующих состояло только из
нулевого вектора.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость следует из утверждения 5.
Доказательство достаточности будем проводить индукцией по k. При
k = 2 утверждение справедливо (см. утверждение 3). Предположим,
что утверждение верно для сумм, число слагаемых в которых не
превышает (k −1). Из (W1+ W2+ ··· + W
w1+ w2+ ··· + w
+ wk= o, то wk= o и w1+ w2+ ··· + w
k−1
) ∩Wk= o ясно, что если
k−1
k−1
= o.
216 Глава 5. Линейные пространства
По индуктивному предположению w1= w2= ··· = w
= o. Тогда, по
k−1
определению, сумма прямая.
Рассмотрим подпространства линейного пространства, которые
определяются линейным преобразованием этого пространства. Пусть
в линейном пространстве Vnзадано линейное преобразование ϕ.
Нетрудно проверить, что если W — любое линейное подпространство
пространства Vn, то множество W ϕ образов всех векторов из W
при преобразовании ϕ также будет подпространством пространства Vn.
Определение 21. Совокупность Vnϕ образов всех векторов пространства Vnназывается областью значений линейного преобразования ϕ.
Определение 22. Совокупность ker ϕ всех векторов простран-
ства Vn, которые отображаются линейным преобразованием ϕ в нулевой вектор пространства, называется ядром преобразования ϕ.
Разумеется, ядро линейного преобразования пространства V
является подпространством Vn. Между областью значений и яд-
n
ром линейного преобразования существует тесная связь, которую нам
предстоит установить.
Вначале найдем размерность области значений линейного преобразования. Согласно теореме 5.5 все матрицы, задающие преобразование ϕ в разных базах, подобны между собой, а тогда из утверждения
2 (§ 18) следует, что эти матрицы имеют равные между собой ранги.
Определение 23. Ранг любой матрицы линейного преобразования ϕ пространства Vnназывается рангом этого преобразования.
Теорема 5.11. Размерность области значений линейного преобразования ϕ пространства Vnравна рангу этого преобразования.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть линейное преобразование ϕ в базе e1, e2, .. . , enзадается матрицей A. Очевидно, что
подпространство Vnϕ порождается векторами
e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ. (5.37)
Значит, любая максимальная линейно независимая подсистема системы векторов (5.37) служит базисом подпространства Vnϕ. Но максимальное число линейно независимых векторов системы (5.37) равно
максимальному числу линейно независимых строк матрицы A, т. е.
рангу этой матрицы. Теорема доказана.
§ 25. Линейные подпространства 217
Определение 24. Размерность ядра линейного преобразования
ϕ линейного пространства Vnназывается дефектом этого преобразова-
ния.
Теорема 5.12. Сумма ранга и дефекта любого линейного преобразования ϕ пространства Vnравна размерности n всего пространства.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть e1, e2, .. . , en— база пространства Vn.
Тогда подпространство Vnϕ порождается векторами e1ϕ, e2ϕ, .. . , enϕ.
Если ранг преобразования ϕ равен r, то без ограничения общности
можно считать, что
e1ϕ, e2ϕ, .. . , erϕ (5.38)
— база подпространства Vnϕ. Рассмотрим систему
e1, e2, .. . , e
r
(5.39)
прообразов этих векторов. Так как векторы (5.39) и векторы (5.38)
линейно независимы, то никакая их нетривиальная линейная комбинация не может отображаться преобразованием ϕ в нулевой вектор
пространства. Поэтому если
W = hα1e1+ α2e2+ ···+ αrer| αi∈ Ri
— линейная оболочка векторов e1, e2, .. . , er, то
W ∩ker ϕ = o.
Докажем, что
W + ker ϕ = Vn.
Действительно, пусть c — любой вектор пространства, тогда вектор
d = cϕ ∈ Vnϕ. В этом случае в W существует такой вектор b, что
bϕ = d,
причем вектор b записывается через базу (5.39) подпространства W
с теми же коэффициентами, с какими вектор d записывается через
базу (5.38). Отсюда
c = b + (c − b),
причем вектор c − b содержится в ядре ker ϕ, поскольку
(c − b)ϕ = cϕ − bϕ = d − d = o.
218 Глава 5. Линейные пространства
Из полученных результатов и теоремы 5.10 вытекает требуемое. Теорема доказана.
Определение 25. Линейное преобразование ϕ линейного про-
странства Vnназывается невырожденным, если оно удовлетворяет
любому из условий, равносильность которых является следствием доказанных выше результатов:
1) ранг преобразования ϕ равен n;
2) область значений преобразования ϕ — все пространство Vn;
3) дефект преобразования ϕ равен нулю.
Установим некоторые свойства невырожденных преобразований
линейных пространств, которые, вообще говоря, являются характеристическими, т.е. эквивалентны условиям 1)–3).
Утверждение 8. Если ϕ — невырожденное линейное преобра-
зование пространства Vn, то различные векторы пространства имеют
различные образы, т. е. если a 6= b, то aϕ 6= bϕ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если преобразования ϕ
удовлетворяет условию настоящего утверждения, то ker ϕ = o, т. е.
выполняется условие 3) определения. Предположим теперь, что для
некоторых a 6= b имеет место aϕ = bϕ. Тогда a − b 6= o, но (a − b)ϕ = o,
т.е. условие 3) не выполняется.
Из условия 2) определения и доказанного утверждения 8 немедленно следует справедливость утверждения 9.
Утверждение 9. Если ϕ — невырожденное линейное преобразо-
вание пространства Vn, то ϕ — взаимное однозначное отображение V
на себя. Другими словами, ϕ — изоморфизм Vnна Vn.
Утверждение 10. Если ϕ — невырожденное линейное преобразо-
вание пространства Vn, то существует обратное линейное преобразование ϕ−1, т. е. такое преобразование, которое переводит всякий вектор
aϕ в вектор a:
(aϕ)ϕ−1= a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование обратного преобразования
−1
ϕ
для невырожденного преобразования ϕ вытекает из утвержде-
n
ния 9. Докажем его линейность. Действительно, пусть a и b — два
вектора пространства Vnи α — действительное число, тогда
(aϕ + bϕ)ϕ−1= [(a + b)ϕ]ϕ−1= a + b = (aϕ)ϕ−1+ (bϕ)ϕ−1,
[α(aϕ)]ϕ−1= [(αa)ϕ]ϕ−1= αa = α((aϕ)ϕ−1).
§ 25. Линейные подпространства 219
Таким образом, оба условия линейности для преобразования ϕ−1выполняются.
Из определения преобразования ϕ−1следует, что
ϕϕ−1= ϕ−1ϕ = ε, (5.40)
где ε — тождественное преобразование пространства Vn.
Заметим, что равенства (5.40) можно рассматривать как самостоятельное определение обратного преобразования. Отсюда и из
теоремы 5.7 получаем утверждение 11.
Утверждение 11. Если невырожденное линейное преобразование ϕ пространства Vnв некоторой его базе задается матрицей A,
невырожденной в силу условия 1), то преобразование ϕ
−1
задается
в этой же базе матрицей A−1.
Пример 1. Является ли линейным подпространством линейного
пространства Vnмножество всех векторов (α1, α2, .. . , αn) этого пространства, заданных своими координатами в некотором базисе, координаты которых удовлетворяют уравнению
α1+ α2+ ···+ αn= 0 ?
Решение. Обозначим
W = h(α1, α2, .. . , αn) ∈ Vn| α1+ α2+ ···+ αn= 0i.
Тогда для (α1, α2, .. . , αn) ∈ W и (β1, β2, .. . , βn) ∈ W имеем
(α1+ β1) + (α2+ β2) + ··· + (αn+ βn) =
= (α1+ α2+ ···+ αn) + (β1+ β2+ ···+ βn) = 0 + 0 = 0.
Значит, сумма любых двух векторов из W принадлежит W , т. е.
операция сложения на W замкнута.
Далее, если γ — любое действительное число, то
γα1+ γα2+ ···+ γαn= γ(α1+ α2+ ···+ αn) = γ0 = 0.
Поэтому произведение любого вектора из W на действительное число
принадлежит W , т. е. операция умножения на действительные числа на
W также замкнута. Очевидно, o ∈ W. Остальные аксиомы линейного
пространства будут на W выполняться, так как W ⊂ Vn. Cледовательно, W есть линейное подпространство пространства Vn.
220 Глава 5. Линейные пространства
Пример 2. Найти базис и размерность подпространства трехмерного линейного пространства решений системы уравнений
x1− 2x2+ x3= 0,
2x1− x2− x3= 0,
−2x1+ 4x2− 2x3= 0.
Решение. Проведем элементарные преобразования основной матрицы системы:
1 −2 1
2 −1 −1
−2 4 −2
∼
1 −2 1
0 3 −3
0 0 0
∼
1 −2 1
0 1 −1
0 0 0
,
таким образом, ранг системы равен 2. Так как число неизвестных
в системе равно 3, то размерность подпространства решений данной
системы равна 1, т. е. это подпространство одномерное. По определению любая фундаментальная система решений данной системы линейных уравнений будет базисом подпространства решений системы. Найдем фундаментальную систему решений данной системы линейных
уравнений. Из последней матрицы выпишем преобразованную систему
линейных уравнений:
x1− 2x2+ x3= 0,
x2− x3= 0.
Перенесем свободное неизвестное x3в правые части уравнений:
x1− 2x2= −x3,
x2= x3.
Из первого уравнения получаем x1= x3. Если положить x3= 1, то
фундаментальная система решений имеет вид (1, 1, 1). Таким образом,
базисом подпространства решений системы будет вектор e = (1, 1, 1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]