Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
(3.15):
§ 11. Определители. Основные определения и теоремы 101
С учетом определения 11 перепишем иначе формулы (3.14) и
|A| =
n
X
aijAij=
n
X
aijAij, (3.17)
j=1
i=1
здесь A — квадратная матрица порядка n (3.11).
Теперь приведем формулировку теоремы.
Теорема 3.3 (Лапласа). Пусть в определителе ∆ порядка n
произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1 6 k 6 n − 1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в
выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения
равна определителю ∆.
Таким образом, применяя теорему Лапласа, вычисление определителя, например четвертого порядка, можно свести к вычислению
нескольких определителей порядка 2, а определитель пятого порядка
можно вычислить через несколько определителей третьего и второго
порядков. Доказательство теоремы Лапласа в стиле нашего изложения
теории определителей можно найти в [2].
Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка по правилу
треугольников
2 1 2
−4 3 1
2 3 5
= 2 · 3 ·5 + 1 ·1 · 2 + 2 · (−4) ·3 −
− 2 ·3 · 2 − 1 · (−4) ·5 − 2 · 1 ·3 = 30 + 2 − 24 − 12 + 20 −6 = 10.
Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка, разложив
его по первой строке:
5 3 2
−1 2 4
7 3 6
= 5
2 4
3 6
− 3
−1 4
7 6
+ 2
−1 2
7 3
=
= 5 · 0 −3 · (−34) + 2 · (−17) = 68.
102 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Пример 3. Вычислить определитель пятого порядка, применяя
теорему Лапласа:
∆ =
−4 1 2 −2 1
0 3 0 1 −5
2 −3 1 −3 1
−1 −1 3 −1 0
0 4 0 2 5
.
Решение. Разлагая определитель по первому и третьему столбцам, содержащим «удачно» расположенные нули, мы получим
∆ = (−1)
1+3+1+3
−4 2
2 1
+ (−1)
+ (−1)
−1 −1 0
·
1+4+1+3
3+4+1+3
3 1 −5
4 2 5
−4 2
−1 3
2 1
−1 3
+
3 1 −5
−3 −3 1
·
4 2 5
1 −2 1
3 1 −5
·
4 2 5
+
=
= (−8) ·(−20) −(−10) ·(−62) −7 · 87 = −1069.
§ 12. Свойства определителей
Установим некоторые простейшие свойства определителей n-го
порядка: с одной стороны, нас будут интересовать условия, при которых определитель равен нулю; с другой — мы укажем некоторые
преобразования матрицы, которые не меняют ее определителя или
же подвергают его легко учитываемым изменениям. Поскольку при
избранном нами подходе к изложению теории определителей доказательства некоторых из этих свойств достаточно громоздки, мы их
опускаем и предлагаем читателю обратиться к [2], где эти доказательства приведены полностью.
Мы будем использовать термин «транспонирование определителя», имея в виду вычисление определителя транспонированной матрицы (см. определение 7).
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании.
Для доказательства этого свойства достаточно разложить определитель матрицы A по какой-либо строке (3.14) (в результате по-
§ 12. Свойства определителей 103
лучим разложение определителя ATпо столбцу с таким же номером
(3.15)), а затем применить теоремы 3.1 и 3.2.
Свойство 2. Если одна из строк (один из столбцов) определителя
состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Если все элементы i-й строки определителя равны нулю, то,
разлагая его по этой строке (3.14), получим, что все слагаемые равны
нулю. Аналогично для столбцов — здесь необходимо воспользоваться
формулой (3.15).
Свойство 3. Если один определитель получен из другого транспозицией (перестановкой) двух строк или двух столбцов, то эти определители отличаются лишь знаком, т. е. транспозиция двух строк или
столбцов определителя меняет его знак на противоположный.
Доказательство этого свойства мы здесь не приводим.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки
или два одинаковых столбца, равен нулю.
Действительно, пусть определитель равен числу ∆ и в его i-й и
j-й строках (i 6= j) равны соответствующие элементы. Если поменять
эти строки местами, то (по предыдущему свойству) определитель
сменит знак на противоположный. Но так как строки одинаковы, то
определитель измениться не должен. Получаем числовое равенство:
∆ = −∆, которое верно, только если ∆ = 0; аналогичны рассуждения
и для столбцов.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца)
определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель
умножится на k.
Умножим i-ю строку определителя ∆:
∆ =
a11a
a21a
.
.
.
an1a
12
22
.
.
.
n2
... a
... a
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
nn
=
n
X
j=1
(−1)
i+j
aijM
ij
на число k и разложим полученный определитель по этой строке. В
итоге получим
n
X
j=1
(−1)
i+j
kaijMij= k
n
X
j=1
(−1)
i+j
aijMij= k∆,
что и требовалось доказать. Доказательство для столбцов аналогично.
104 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Очевидно, что свойство 5 можно переформулировать следующим
образом: общий множитель некоторой строки (столбца) определи-
теля можно вынести за знак определителя.
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные
строки (два пропорциональных столбца), равен нулю.
В самом деле, пусть все элементы j-й строки определителя
являются произведением соответствующих элементов i-й строки на
одно и то же число k. По предыдущему свойству k можно вынести
за знак определителя. Но тогда в полученном определителе i-я и j-я
строки одинаковы и, по свойству 4, такой определитель равен нулю.
Доказательство для столбцов аналогично.
Свойство 7. Если все элементы i-й строки определителя ∆ n-го
порядка представлены в виде суммы двух слагаемых: aij= bj+ cj, j =
= 1, 2, . .. , n, то определитель равен сумме двух определителей ∆1и
∆2, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданном
определителе, а i-е строки в ∆1и ∆2состоят из элементов bj, и c
соответственно.
Действительно, пусть
∆ =
a
11
a
21
.
.
.
b1+ c1b2+ c2... bn+ c
.
.
.
a
n1
a
a
.
.
.
.
.
.
a
n2
12
22
... a
... a
.
.
.
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
.
.
.
nn
,
n
где b1+ c1, b2+ c2, ... bn+ cn— элементы i-й строки определителя. Так
как миноры элементов bi, ci, bi+ ciпри каждом значении i совпадают,
то, применяя формулу (3.14), получим
∆ =
n
X
j=1
=
(−1)
a11a
a21a
.
.
.
b
.
.
.
an1a
i+j
(bj+ cj)Mij=
... a
12
... a
22
.
.
.
.
.
b2... b
1
.
.
.
n2
.
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
n
.
.
.
nn
n
X
j=1
a11a12... a
a21a22... a
+
c
an1an2... a
(−1)
.
.
.
c2... c
1
.
.
.
i+j
bjMij+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
X
j=1
1n
2n
.
.
.
= ∆1+ ∆2.
n
.
.
.
nn
(−1)
i+j
cjMij=
j
§ 12. Свойства определителей 105
Сумма двух строк определителя или матрицы определяется как
сумма двух матриц, имеющих только одну строку и одинаковое число столбцов. Аналогично складывают два столбца определителя или
матрицы, умножают строку или столбец на число.
Свойство 8. Определитель не меняется, если к элементам одной
из его строк (столбцов) прибавляются соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Если к i-й строке определителя ∆ прибавляется j-я строка,
j 6= i, умноженная на число k, то любой элемент i-й строки нового
определителя ∆1будет иметь вид ais+ kajs, s = 1, 2, ... , n. Тогда, на
основании свойства 7, получим
∆1= ∆ + ∆2,
где определитель ∆2содержит две пропорциональные строки и, по
свойству 6, равен нулю. Значит, ∆1= ∆, что и требовалось доказать.
Для столбцов рассуждения аналогичны.
Для формулировки следующего свойства нам потребуется ввести
понятия, которые используют не только в теории матриц и определителей, но и в других разделах алгебры и математики в целом.
Определение 12. Пусть дана система числовых строк:
a1= (α11, α12, . .. , α1n),
a2= (α21, α22, . .. , α2n),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
as= (αk1, αk2, . .. , αkn).
Линейной комбинацией строк a1, a2, .. . , asс коэффициентами k1, k2, .. .
.. . , ksназывается сумма вида:
k1a1+ k2a2+ ···+ ksas. (3.18)
Определение 13. Будем говорить, что числовая строка b явля-
ется линейной комбинацией строк a1, a2, .. . , as(или строка b линейно
выражается через строки a1, a2, .. . , as), если существуют такие коэффициенты k1, k2, .. . , ks, что выполняется равенство
b = k1a1+ k2a2+ ···+ ksas. (3.19)
Свойство 9. Если одна из строк определителя есть линейная комби-
нация некоторых других его строк, то такой определитель равен нулю.
106 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Пусть, например, i-я строка будет линейной комбинацией s других строк, 1 6 s 6 n − 1. Тогда каждый элемент i-й строки является
суммой s слагаемых, а поэтому, применяя свойство 7, можно представить данный определитель в виде суммы определителей, в каждом из
которых i-я строка будет пропорциональна некоторой другой строке.
Тогда, по свойству 6, все эти определители равны нулю и, значит,
равен нулю исходный определитель.
Свойство 8 теперь принимает обобщенную формулировку.
Свойство 80. Определитель не изменится, если к одной (одному)
из его строк (столбцов) прибавить любую линейную комбинацию других строк (столбцов).
Рассмотрим одну из формул (3.17):
n
X
|A| =
aijAij.
j=1
Здесь все элементы i-й строки умножают на «свои» алгебраические дополнения, а затем полученные произведения складывают. Как
видно из формулы, независимо от выбора строки всегда получается
определитель матрицы A. При решении многих вопросов возникает
необходимость оперировать похожими суммами, в которых все элементы некоторой строки определителя умножают на алгебраические
дополнения к элементам другой строки с такими же номерами в
строке, а именно суммами вида
n
X
akjAij. (3.20)
j=1
Рассмотрим подробнее такие суммы. Вначале в разложении определителя по i-й строке
n
X
|A| =
j=1
aijA
ij
заменим все элементы этой строки на n произвольных чисел b1, b2, .. .
... , bn. Полученное выражение
n
X
bjAij,
j=1
§ 12. Свойства определителей 107
ввиду равенства алгебраических дополнений для элементов aijи b
при любых значениях j, будет служить разложением по i-й строке для
следующего определителя:
a11a12... a
a21a22... a
.
b
an1a
.
.
.
.
.
b2... b
1
.
.
.
.
.
.
n2
.
.
... a
.
.
.
.
1n
2n
.
.
.
n
.
.
.
nn
,
получающегося из определителя |A| заменой его i-й строки на строку
из чисел
b1, b2, .. . , bn.
Применим эти рассуждения к сумме (3.20). Здесь вместо чисел
b1, b2, .. . , bnберем все элементы k-й строки определителя |A| (k 6= i).
Определитель, который мы получим после такой замены, будет содер-
j
жать две одинаковые строки (i-ю и k-ю) и поэтому будет, в соответствии со свойством 4, равен нулю. Значит,
n
X
akjAij= 0 для i 6= k. (3.21)
j=1
Таким образом мы доказали справедливость следующего свойства
определителей.
Свойство 10. Сумма произведений всех элементов некоторой
строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
В заключение сформулируем еще одно (необходимое в дальнейшем) свойство определителей. Его доказательство, как правило,
проводится с применением теоремы Лапласа. Познакомиться с ним
можно, например, в [1, 2].
Свойство 11. Определитель произведения |AB| двух квадрат-
ных матриц A и B одинаковых размерностей равен произведению
|A||B| определителей этих матриц:
|AB| = |A||B|. (3.22)
Очевидно, что это свойство справедливо для любого конечного числа
квадратных матриц одинаковых размерностей.
108 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Пример. Вычислить определитель ∆ четвертого порядка, приме-
няя свойства определителей
3 5 7 2
1 2 3 4
−2 −3 3 2
1 3 5 4
.
Решение. Произведем преобразования: 1) из первой строки вычтем вторую, умноженную на 3; 2) к третьей строке прибавим вторую
строку, умноженную на 2; 3) из четвертой строки вычтем вторую
строку. Полученный определитель разложим по первому столбцу.
∆ =
3 5 7 2
1 2 3 4
−2 −3 3 2
1 3 5 4
0 −1 −2 −10
1 2 3 4
=
0 1 9 10
0 1 2 0
= −
−1 −2 −10
1 9 10
1 2 0
.
Преобразуем полученный определитель третьего порядка. Прибавим к первой строке третью строку, затем вычтем из второй строки
третью.
В итоге получим
∆ =
−1 −2 −10
1 9 10
1 2 0
=−
0 0 10
0 7 10
1 2 0
.
Последний определитель разложим по первому столбцу:
∆ =
0 0 10
0 7 10
1 2 0
=
0 10
7 10
= −70.
§ 13. Обратная матрица
Выше было отмечено, что понятие обратной матрицы будет
определено для отдельной категории матриц. В этом параграфе мы
рассмотрим вопрос о существовании и, если возможно, нахождении
матрицы обратной для данной. Сформулируем определение одного из
фундаментальных понятий.
§ 13. Обратная матрица 109
Определение 14. Квадратная матрица называется вырожденной
(или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной
(неособенной), если ее определитель не равен нулю.
Поскольку произведение взаимно обратных чисел равно единице,
то по аналогии для данной матрицы A естественно так определить
обратную ей матрицу B, чтобы произведения AB и BA были равны
нейтральной по умножению матрице. Роль такой матрицы играет единичная матрица
1 0 ... 0
En=
0 1 ... 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 ... 1
Индекс n указывает на размерность матрицы. Так как единичные
матрицы (разных размерностей) являются квадратными, то понятие
обратной матрицы определяется только для квадратных матриц.
В силу некоммутативности умножения матриц будем говорить
отдельно о левой и правой обратных матрицах для данной A.
Определение 15. Квадратная матрица B порядка n называется
правой обратной для матрицы A, если
AB = En,
а C — левой обратной для A, если
CA = En.
Из этого определения и свойства 11 (см. § 12) следует, что
только невырожденные матрицы могут иметь обратные, а также
понятно, что обратная матрица для данной также будет невырож-
денной.
Теорема 3.4. Любая невырожденная квадратная матрица имеет
единственную обратную. При этом для данной матрицы ее левая и
правая обратные матрицы равны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана квадратная невырожденная
матрица n-го порядка
A =
a11a12... a
a21a22... a
.
.
.
.
.
.
an1an2... a
1n
2n
.
.
.
.
.
nn
.
.
110 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Обозначим через ∆ определитель этой матрицы. Матрица
A∗=
A11A21... A
A12A22... A
A1nA
.
.
.
.
.
.
2n
.
.
.
... A
n1
n2
.
.
.
nn
,
составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы A,
причем алгебраические дополнения к элементам i-й строки матрицы A
расположены на местах с такими же номерами i-го столбца матрицы
A∗, называется присоединенной матрицей к матрице A.
Рассмотрим элементы произведения AA∗. Его диагональный элемент имеет вид
ai1Ai1+ ai2Ai2···+ ainA
(1 6 i 6 n).
in
Но каждая такая сумма есть не что иное, как разложение определителя матрицы A по i-й строке, следовательно,
ai1Ai1+ ai2Ai2+ ···+ ainAin= ∆ для всех i = 1, 2, .. . , n.
Все элементы матрицы AA∗, расположенные вне главной диагонали, имеют вид
ai1Ak1+ ai2Ak2···+ ainA
kn
(i 6= k),
и, по свойству 10 определителей, равны нулю.
Таким образом,
∆ 0 . .. 0
AA∗=
0 ∆ ... 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. (3.23)
.
.
.
.
0 0 .. . ∆
Аналогичные рассуждения приводят к равенству
∆ 0 . .. 0
A∗A =
0 ∆ ... 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. (3.24)
.
.
.
.
0 0 .. . ∆
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]