Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 6. Корни многочленов 61
f1(x) на an, получим аналогичные формулы для многочлена f (x):
a
a
a
= −an(c1+ c2+ ···+ cn),
n−1
= an(c1c2+ c1c3+ ···+ c1cn+ c2c3+ ···+ c
n−2
= −an(c1c2c3+ c1c2c4+ ···+ c
n−3
n−2cn−1cn
,
n−1cn
),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
a1= (−1)
n−1
an(c1c2... c
+ c1c2... c
n−1
n−2cn
+ ···+ c2c3... cn),
a0= (−1)nanc1c2... cn.
Пример 1. Разделить многочлен f(x) = x4− 2x3+ 4x2− 6x + 8
с остатком на x − 1 и вычислить значение f(1).
Решение. Для решения задачи применим метод Горнера:
1 −2 4 −6 8
.
1 1 1·1 −2=−1 1·(−1)+4 =3 1·3−6=−3 1·(−3)+8 =5
Таким образом, частное и остаток от деления равны соответственно q(x) = x3− x2+ 3x −3, r(x) = f (1) = 5.
Пример 2. Разложить многочлен f (x) = x5− 4x3+ 6x2− 8x + 10
по степеням разности x −2 и найти значения его производных в точке
x = 2.
Решение. Для решения задачи несколько раз применим метод
Горнера:
1 0 −4 6 −8 10
2 1 2 0 6 4 18
2 1 4 8 22 48
2 1 6 20 62
2 1 8 36
2 1 10.
Отсюда
""
h
f(x) =
[1(x − 2)+10](x − 2)+36i(x−2)+62#(x−2)+48#(x−2)+18.
Раскрыв квадратные скобки, получаем
f(x) = (x − 2)5+ 10(x −2)4+ 36(x −2)3+ 62(x −2)2+ 48(x −2) + 18.
62 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Так как значение многочлена f(x) в точке x0равно остатку от деления
этого многочлена на линейный многочлен x − x0, то
f(2) = 18, f0(2) = 1! ·48 = 48, f00(2) = 2! ·62 = 124,
000
f
(2) = 3! ·36 = 216, f
(4)
(2) = 4! ·10 = 240, f
(5)
(2) = 5! ·1 = 120.
Пример 3. Определить кратность корня x0= 2 многочлена
f(x) = x5− 5x4+ 7x3− 2x2+ 4x −8.
Решение. Для решения задачи несколько раз применим метод
Горнера:
1 −5 7 −2 4 −8
2 1 −3 1 0 4 0
2 1 −1 −1 −2 0
2 1 1 1 0
2 1 3 7.
Отсюда f(x) = (x −2)3(x2+ x + 1), число 2 не является корнем многочлена x2+ x + 1; значит, кратность корня x0= 2 многочлена f(x)
равна 3.
§ 7. Неприводимые многочлены
Понятие неприводимого многочлена играет весьма существен-
ную роль в математике. Пусть L — одна из следующих числовых
систем:
K ⊃ R ⊃ Q,
состоящих соответственно из всех комплексных, действительных и рациональных чисел. Введем такую терминологию: вместо слов «многочлен f(x) с коэффициентами из L» будем говорить «f (x) над L».
Определение 18. Многочлен f (x) степени n > 1 над числовой
системой L называется приводимым в L, если его можно представить
в виде произведения двух многочленов над L:
f(x) = ϕ(x)ψ(x), (2.51)
степени которых строго меньше n. Если же при любом разложении
f(x) в виде (2.51) один из множителей имеет степень 0, а другой —
степень n, то многочлен f (x) называют неприводимым в L.
§ 7. Неприводимые многочлены 63
Другими словами, приводимый в L многочлен f (x) обязательно делится на многочлен с коэффициентами из L, степень которого
больше нуля, но строго меньше степени f(x); если же f (x) степени
n > 1 делится только на многочлены нулевой степени или на себя (с
точностью до постоянного множителя), то он неприводим в L.
Обратим внимание на то, что о приводимости или неприводимости многочлена f (x) можно говорить лишь по отношению к данной
числовой системе, так как неприводимый многочлен в одной числовой
системе может оказаться приводимым в другой. Например, многочлен
x2+ 1 неприводим в R, но является приводимым в K. Действительно,
если бы этот многочлен был приводимым в R, то, так как его степень
равна двум, он, по определению, делился бы на многочлен первой
степени. Тогда, по следствию теоремы 2.5, многочлен x2+ 1 имел бы
действительный корень. Но корни этого многочлена равны i и −i,
поэтому, применяя снова следствие теоремы 2.5, получим
x2+ 1 = (x − i)(x + i).
Таким образом, многочлен x2+ 1 делится на многочлены (x − i) и
(x + i) первой степени и поэтому приводим в K.
Отметим несколько свойств неприводимых в L многочленов.
Свойство 1. Любой многочлен первой степени с коэффициентами из L неприводим в L.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если многочлен первой степени разлагается в произведение двух многочленов, то один из них будет иметь
степень, равную 0, а степень другого будет равна 1. Это означает
неприводимость многочлена.
Свойство 2. Если многочлен ϕ(x) неприводим в L, то непри-
водимым будет любой многочлен cϕ(x), где c — любое число из L,
отличное от нуля.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Это свойство получается из свойств 1 и 7
делимости многочленов (см. § 5).
Свойство 3. Если f (x) — произвольный над L, а ϕ(x) — непри-
водимый в L многочлены, то либо f (x) делится на ϕ(x), либо эти
многочлены взаимно просты.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если d(x) — общий делитель многочленов
f(x) и ϕ(x), то d(x) делит ϕ(x), а тогда в силу неприводимости послед-
него многочлена либо d(x) = const, либо d(x) = ϕ(x), и справедливость
свойства доказана.
64 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Свойство 4. Если произведение f (x)g(x) двух многочленов де-
лится на неприводимый в L многочлен ϕ(x), то хотя бы один из этих
множителей делится на ϕ(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если f (x) не делится на
ϕ(x), то (по предыдущему свойству) f(x) и ϕ(x) взаимно просты.
Тогда, по свойству 11 взаимно простых многочленов (см. § 5), ϕ(x)
делит f(x). Свойство доказано.
Нетрудно убедиться, что свойство 4 легко распространяется на
произведение любого конечного числа многочленов.
Представляется очень важным доказательство теоремы 2.10.
Теорема 2.10. Всякий многочлен f(x) степени n > 1 с ко-
эффициентами из числовой системы L однозначно, с точностью до
числовых множителей, разлагается в произведение неприводимых в L
многочленов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказывать теорему будем индукцией по
n. При n = 1 справедливость утверждения следует из свойства 1 настоящего параграфа. Если f(x) неприводим, то очевидно, что теорема
верна. Если же f(x) — приводимый многочлен степени n > 1, то он
разлагается в произведение:
f(x) = ϕ(x)ψ(x), (2.52)
где степень каждого из многочленов ϕ(x) и ψ(x) строго меньше, чем
n. Тогда, по индуктивному предположению,
ϕ(x) = ap1(x)p2(x) .. . ps(x), (2.53)
ψ(x) = bp
s+1
(x)p
(x) .. . pk(x), (2.54)
s+2
где многочлены pi(x), i = 1,2,... , k с коэффициентами из L неприводимы в L. Подставляя в (2.52) вместо ϕ(x) и ψ(x) правые части равенств
(2.53) и (2.54), окончательно получим
f(x) = cp1(x)p2(x) .. . pk(x), (2.55)
где c = ab.
Докажем однозначность разложения (2.55). Пусть существует
еще одно разложение многочлена f(x) на неприводимые в L многочлены:
f(x) = dq1(x)q2(x) .. . ql(x). (2.56)
§ 7. Неприводимые многочлены 65
Тогда из (2.55) и (2.56) получаем равенство
cp1(x)p2(x) .. . pk(x) = dq1(x)q2(x) .. . ql(x). (2.57)
Так как левая часть (2.57) делится на p1(x), то и правая часть
равенства должна делиться на этот неприводимый многочлен. Тогда по
свойству 4 какой-либо из многочленов qi(x) должен делиться на p1(x).
Но все многочлены qi(x) неприводимы в L, поэтому, используя дважды
свойство 3, получаем, что tp1(x) = qj(x) для некоторого j = 1, 2, . .. , l,
где t — число. Меняя соответствующим образом нумерацию многочленов qi(x) в правой части равенства (2.57), перепишем его:
cp1(x)p2(x) .. . pk(x) = dtp1(x)q2(x) .. . ql(x). (2.58)
После сокращения обеих частей равенства (2.58) на p1(x) получим
cp2(x) .. . pk(x) = dtq2(x) .. . ql(x). (2.59)
Многочлены, стоящие в левой и правой частях последнего равенства, имеют степень n −1, а тогда по индуктивному предположению
k = l и
cp2(x) .. . pk(x) = mq2(x) .. . qk(x), (2.60)
где pi(x) = ciqi(x), для всех i = 2, 3, . .. , k, а ci— числовые коэффициенты. Для завершения доказательства теоремы остается обе части
равенства (2.60) умножить на p1(x).
Неприводимые множители, входящие в разложение (2.55) многочлена f (x), не обязательно будут различными.
Определение 19. Если в разложении (2.55) многочлена f(x) на
неприводимые в L многочлены множитель pi(x) встречается k раз
(k > 1), то его называют k-кратным. Если же pi(x) встречается в (2.55)
только один раз, то его называют простым множителем.
Пусть в разложении (2.55) многочлена f(x) на неприводимые
в L многочлены множители p1(x), p2(x), .. . , pt(x) различны, а всякий
другой равен одному из них. Обозначим через kiкратность множителя
pi(x). Тогда разложение многочлена f(x) на неприводимые в L много-
члены принимает следующий вид:
f(x) = cp
k
1
1
(x)p
k
2
(x) .. . p
2
k
t
(x). (2.61)
t
Если требуется разложить многочлен f (x) на неприводимые в K
многочлены, то в силу теоремы 2.8 и свойства 1 каждый из многочленов pi(x) является многочленом первой степени и можно считать,
3 Б.К. Дураков
66 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
что их старшие коэффициенты равны единице, pi(x) = x − ci, где ci—
один из корней многочлена f(x). Таким образом, разложение (2.61)
многочлена f(x) на неприводимые множители в K ничем не отличается
от разложения (2.42) в теореме 2.8.
Пусть теперь f(x) имеет только действительные коэффициенты и требуется получить его разложение на неприводимые
многочлены. Докажем теорему 2.11.
Теорема 2.11. Если c — комплексный корень многочлена f(x)
с действительными коэффициентами, то число c, сопряженное к c,
также является корнем f (x). При этом корни c и c имеют одинаковую
кратность.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как c — корень многочлена
f(x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0,
то
ancn+ a
n−1
n−1
c
+ ···+ a1c + a0= 0. (2.62)
Применяя операцию сопряжения к обеим частям (2.62) и используя ее свойства, получим равенство
ancn+ a
n−1
n−1
c
+ ···+ a1c + a0= 0. (2.63)
По условию теоремы все коэффициенты многочлена f(x) действительны, поэтому ai= aiдля всех i, и равенство (2.63) принимает
вид
ancn+ a
n−1
n−1
c
+ ···+ a1c + a0= 0.
Теперь очевидно, что число c будет корнем многочлена f(x) и первая
часть теоремы доказана.
Остается показать, что корни c и c имеют одинаковую кратность.
Пусть кратность c равна k, а кратность c – s, и предположим, что
k > s. Тогда
f(x) = (x − c)k(x − c)sϕ(x), (2.64)
где c и c уже не являются корнями многочлена ϕ(x). Пусть ψ(x) —
частное от деления f(x) на произведение (x − c)s(x − c)s. Очевидно,
что коэффициенты многочлена ψ(x) действительны и его можно записать как
ψ(x) = (x − c)
k−s
ϕ(x). (2.65)
Из (2.65) следует, число c есть корень многочлена ψ(x), а так как
c не является корнем многочлена ϕ(x), то также не будет корнем ψ(x),
§ 7. Неприводимые многочлены 67
что противоречит доказанной первой части. Таким образом, k 6 s.
Если h(x) — частное от деления f(x) на произведение (x − c)k(x −c)k,
то
h(x) = (x − c)
s−k
ϕ(x) (2.66)
и, применив первую часть теоремы, учитывая, что c = c, получим k =
= s. Теорема доказана.
Теперь заметим, что если c и c — комплексно сопряженные корни
многочлена f(x), то квадратный трехчлен
ϕ(x) = (x − c)(x −c) = x2− (c + c)x + cc
имеет, как нам известно из § 2, действительные коэффициенты и
неприводим в R.
Таким образом, для многочленов с действительными коэффициентами доказана справедливость теоремы 2.12.
Теорема 2.12. Если многочлен f(x) степени n > 1 имеет дей-
ствительные коэффициенты, то его можно представить, и притом
единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей),
в виде произведения старшего коэффициента многочлена, некоторого
количества линейных множителей вида (x − c), соответствующих его
действительным корням, и некоторого количества квадратных множителей вида (x2+ qx + p), каждый из которых относится к паре
комплексно сопряженных корней f (x). Это представление будет разложением многочлена f(x) на неприводимые в R множители.
Конечно, если многочлен f(x) с действительными коэффициентами имеет кратные корни, то среди множителей в его разложении,
описанном теоремой 2.12, будут встречаться одинаковые. Их количество равно кратности соответствующего корня многочлена. Учитывая
это замечание, мы сформулируем очевидное следствие теоремы 2.12,
которое часто бывает полезно.
Следствие. Пусть многочлен f(x) имеет действительные коэф-
фициенты. Если c1, c2, .. . , cs— его различные действительные корни кратностей k1, k2, .. . , ksсоответственно и (c
.. . , (c
s+l
, c
) — все пары его различных комплексно сопряженных
s+l
s+1
, c
s+1
), (c
s+2
, c
s+2
), .. .
корней с кратностями
m
s+1
, m
s+2
, .. . , m
s+l
3*
68 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
соответственно, то многочлен f(x) однозначно (с точностью до расположения множителей) представим в виде:
f(x) = an(x − c1)
×(x2+ p
s+1
×···× (x2+ p
k
1
(x − c2)
x + q
s+l
k
)
s+1
x + q
2
.. . (x − cs)
m
s+1
(x2+ p
m
s+l
)
s+l
k
s
×
m
s+2
x + q
s+2
s+2
)
×
(2.67)
,
где pi= −(ci+ ci), qi= cici, при этом (ci, ci) — пара корней квадратного
трехчлена
x2+ pix + qi, i = s + 1, s + 2, ... , s + l.
Пример. Выделив кратные неприводимые множители многочлена
f(x) = x5− 6x4+ 16x3− 24x2+ 20x −8,
разложить его на неприводимые множители над R.
Решение. Рассматривая целые делители свободного члена многочлена f(x), убеждаемся, что число 2 является его корнем:
1 −6 16 −24 20 −8
.
2 1 −4 8 −8 4 0
Поэтому, f(x) = (x − 2)(x4− 4x3+ 8x2− 8x + 4). Нетрудно убедиться,
что
x4− 4x3+ 8x2− 8x + 4 = (x2− 2x + 2)2.
Поскольку многочлен x2− 2x + 2 не имеет действительных корней, то
f(x) = (x − 2)(x2− 2x + 2)
2
и будет искомым разложением.
§ 8. Рациональные дроби
В различных разделах математики изучают выражения вида
f(x)
,
g(x)
где f (x) и g(x) — многочлены. В алгебре эти выражения рассматривают как формальные и называют рациональными дробями. В математическом анализе такие выражения рассматривают как отношение двух
целых рациональных функций (так в анализе называют многочлены) и
§ 8. Рациональные дроби 69
называют дробно-рациональными функциями. В данном учебнике не
ставилась задача изучения рациональных дробей как чисто алгебраических объектов, нас будет интересовать фактически один прикладной
вопрос, связанный с интегрированием рациональных дробей. В математическом анализе практически любой метод интегрирования рациональных дробей основывается на возможности представления рациональной дроби в виде алгебраической суммы так называемых простей-
ших дробей, интегрирование которых уже становится возможным.
Определение 20. Выражение вида
f(x)
,
g(x)
где f(x) и g(x) — многочлены (g(x) 6= 0) будем называть рациональной
дробью. При этом f(x) — числитель, а g(x) — знаменатель дроби.
Вообще говоря, коэффициенты числителя и знаменателя рациональной дроби могут быть любыми комплексными числами, но мы
ограничимся рассмотрением только таких дробей, в которых f(x) и
g(x) — многочлены только с действительными коэффициентами.
Определение 21. Две рациональные дроби
f(x)
ϕ(x)
и
g(x)
ψ(x)
называются равными, если многочлен f (x)ψ(x) −g(x)ϕ(x) равен нулю.
С рациональными дробями производятся алгебраические операции по тем же правилам, что и с числовыми дробями с целыми
числителями и знаменателями.
Определение 22. Рациональная дробь называется несократимой,
если ее числитель взаимно прост со знаменателем.
Лемма 2.3. Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, определяемой однозначно с точностью до множителя
нулевой степени, общего для числителя и знаменателя.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, многочлены, расположенные в числителе и знаменателе рациональной дроби, могут иметь
общий делитель ненулевой степени. В таком случае дробь можно
сократить на наибольший общий делитель числителя и знаменателя и
получить несократимую дробь, которая в соответствии с определением
21 будет равна исходной дроби. Пусть теперь равны две несократимые
70 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
дроби
f(x)
g(x)
и
ϕ(x)
,
ψ(x)
т.е.
f(x)ψ(x) = g(x)ϕ(x). (2.68)
Так как f(x) и g(x) — взаимно простые многочлены, то, по
свойству 11 взаимно простых многочленов, ϕ(x) делится на f(x). Из
взаимной простоты многочленов ϕ(x) и ψ(x) аналогично получается,
что многочлен f(x) делится на ϕ(x). Следовательно, f(x) = cϕ(x).
Теперь из (2.68) получаем: g(x) = cψ(x), что и требовалось доказать.
Определение 23. Рациональная дробь называется правильной,
если степень числителя меньше степени знаменателя. К числу правильных дробей принято также причислять многочлен 0.
Для правильных дробей имеет место теорема 2.13.
Теорема 2.13. Всякая рациональная дробь представима (притом
единственным образом) в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Перед проведением доказательства этой теоремы необходимо
дать пояснения к ее формулировке. А именно, под суммой двух раци-
ональных дробей
f(x)
g(x)
и
ϕ(x)
ψ(x)
понимается дробь
f(x)ψ(x) + ϕ(x)g(x)
g(x)ψ(x)
Далее, любой многочлен f (x) можно представить в виде рациональной
f(x)
дроби
.
1
f(x)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана рациональная дробь
. Раз-
g(x)
делим числитель на знаменатель и получим
f(x) = g(x)q(x) + r(x),
где степень остатка r(x) меньше степени делителя g(x). Из последнего
равенства получаем
f(x)
= q(x) +
g(x)
r(x)
,
g(x)
и рациональная дробь в правой части уже правильная.
Докажем единственность представления. Пусть данную дробь
.
можно представить в виде другой суммы:
f(x)
u(x)
= q1(x) +
g(x)
h(x)
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]