Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 10. Матрицы. Операции над матрицами 91
Определение 4. Пусть даны число c и матрица A размерности
(m × n):
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
1n
2n
.
.
.
mn
.
Произведением числа c на матрицу A называется такая матрица B размерности (m × n), каждый элемент bijкоторой есть произведение числа c на элемент aij:
bij= caij.
Аналогично определяется произведение матрицы A на число c.
Значит,
cA =
ca
ca
ca
11
21
.
.
.
m1
ca
ca
ca
12
22
.
.
.
m2
... ca
... ca
.
.
.
... ca
1n
2n
.
.
.
mn
, Ac =
Эти операции имеют следующие свойства:
5. cA = Ac — коммутативность умножения на число.
6. (c1c2)A = c1(c2A) — ассоциативность умножения на число.
7. 1A = A.
Операции сложения и умножения матриц на число связаны двумя свойствами дистрибутивности:
8. (c1+ c2)A = c1A + c2A.
9. c(A + B) = cA + cB.
Операцию вычитания матриц определим как обратную к сложе-
нию, а именно:
Определение 5. Пусть даны две матрицы A и B одинаковой
размерности (m × n):
a11c a12c ... a1nc
a21c a22c ... a2nc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1c am2c ... amnc
.
.
.
. (3.4)
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
1n
2n
.
.
.
mn
, B =
b
11b12
b
21b22
.
.
.
b
m1bm2
.
.
.
.. . b
.. . b
.
.
.
.. . b
1n
2n
.
.
.
mn
.
92 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Разностью матриц A и B называется матрица C размерности
(m × n), получаемая по следующему правилу:
C = A + (−B),
где (−B) — матрица, противоположная для B.
Учитывая свойство 4, получаем формулу для разности матриц:
A − B =
a11− b
a21− b
am1− b
11
21
.
.
.
m1am2
a12− b
a22− b
.
.
.
− b
... a1n− b
12
... a2n− b
22
.
.
.
... amn− b
m2
.
.
.
1n
2n
mn
. (3.5)
Заметим, что складывать и вычитать можно матрицы только
одинаковых размерностей. В следующей операции над матрицами
(умножении) могут участвовать матрицы неодинаковых размерностей.
Однако размерности сомножителей не могут быть произвольными, они
должны подчиняться определенному правилу.
Определение 6. Пусть дана матрица A размерности (m × n) и
матрица B размерности (n × k).
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
1n
2n
.
.
.
mn
, B =
b
11b12
b
21b22
.
.
.
bn1b
.
.
.
n2
.. . b
.. . b
.
.
.
.. . b
1k
2k
.
.
.
nk
.
Произведением матрицы A на B называется матрица C размерности (m × k), каждый элемент cijкоторой получается по формуле
n
X
cij=
ailblj. (3.6)
l=1
Для обозначения операции умножения (перемножения) матриц
будем использовать привычную запись:
AB = C.
Рассмотрим пример:
−1 3
1 2
−1 3
2 0
=
1 · (−1) + 2 · 2 1 · 3 + 2 · 0
(−1) · (−1) + 3 · 2 (−1) · 3 + 3 · 0
=
3 3
7 −3
.
§ 10. Матрицы. Операции над матрицами 93
Эти же матрицы перемножим в обратном порядке:
−1 3
1 2
=
(−1) · 1 + 3 · (−1) (−1) ·2 + 3 · 3
=
−4 7
.
2 0
−1 3
2 · 1 + 0 · (−1) 2 · 2 + 0 · 3
2 4
Приведенный пример показывает, что произведение матриц не
обладает свойством коммутативности. Перечислим основные свойства
этой операции:
1. AB не обязательно равно BA.
2. (AB)C = A(BC) — ассоциативность сложения, при условии,
что все операции возможны.
Понятно: произведение AB не обязательно равно BA, прежде
всего потому, что размерности матриц сомножителей далеко не всегда будут позволять переставлять местами сомножители. Доказательство второго свойства проводится непосредственно сравнением обеих
частей равенства. Технически оно несколько громоздко, однако не
представляет никаких трудностей. Читатель легко справится с ним
самостоятельно.
Операции сложения и умножения матриц связаны двумя свойствами дистрибутивности:
1. A(B + C) = AB + AC.
2. (A + B)C = AC + BC.
Эти свойства также имеют место при условии, что все операции
возможны.
Идея доказательства свойств дистрибутивности прозрачна, по-
этому предлагаем это выполнить читателю.
Отметим, что для матриц не определена операция деления. Для
некоторой категории матриц будет введено понятие обратной матрицы
(см. § 13).
Существует связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц, а именно:
(cA)B = A(cB) = c(AB), (3.7)
т.е. если в произведении матриц один из множителей умножить на
число c, то и все произведение умножится на c. Доказательство оставляем читателю.
Заметим, что всякую скалярную матрицу можно представить в
виде произведения cE, где c — число, а E — единичная матрица соответствующей размерности. А тогда умножение матрицы A на число c
можно истолковать как умножение A на скалярную матрицу cE, т.е.
94 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
как перемножение матриц. Действительно, из (3.7) вытекает
(cE)A = A(cE) = cA.
Отсюда, в частности, вытекает, что всякая скалярная матрица
перестановочна с любой квадратной матрицей такой же размерности.
Отметим, что этим свойством обладают только скалярные матрицы.
В заключение рассмотрим еще одну операцию над матрицами.
Определение 7. Если A — матрица размерности (m × n):
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
1n
2n
.
.
.
mn
,
то транспонированием этой матрицы называется такое преобразование, при котором ее строки становятся столбцами с теми же номерами
и наоборот, т. е. переход к следующей матрице размерности (n × m):
AT=
a11a
a12a
.
.
.
a
1na2n
21
22
.
.
.
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
m1
m2
.
.
.
mn
.
Эта операция имеет общий характер, т. е. применима к любой
матрице. Справедливы свойства операции транспонирования:
1. (AT)T= A.
2. (A + B)T= AT+ BT.
3. (cA)T= cAT, где c — любое число.
4. (AB)T= BTAT.
Первые три свойства проверяются непосредственно — оставляем
их читателю. Рассмотрим доказательство последнего свойства. Пусть
1k
2k
.
.
.
nk
.
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
... a
... a
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
mn
, B =
b
11b12
b
21b22
.
.
.
bn1b
.
.
.
n2
... b
... b
.
.
.
... b
§ 10. Матрицы. Операции над матрицами 95
Обозначим
AT= C =
c11c
c21c
.
.
.
cn1c
12
22
.
.
.
n2
... c
... c
.
.
.
... c
1m
2m
nm
где cji= aij, dts= bst. Далее,
, BT= D =
.
.
.
d11d12... d
d21d22... d
.
.
.
.
.
.
dk1dk2... d
1n
2n
,
.
.
.
.
kn
.
.
AB =F =
f
f
11f12
f
21f22
.
.
.
m1fm2
.
.
.
... f
... f
.
.
.
... f
1k
2k
, BTAT=G =
.
.
.
mk
g11g12... g
g21g22... g
.
.
.
.
.
.
gk1gk2... g
1m
2m
.
.
.
.
.
.
km
Тогда
n
X
fij=
s=1
aisb
sj
и
gji=
n
X
s=1
djscsi=
n
X
s=1
bsjais=
n
X
aisbsj= fij.
s=1
Итак, gji= fijдля всех i = 1, 2, .. . , m и j = 1, 2, .. . , k, а это
значит: G = FT, т. е. BTAT= (AB)T, что и требовалось доказать.
Пример 1. Найти сумму матриц
A =
3 5 7
2 −1 0
4 3 2
и B =
1 2 4
2 3 −2
−1 0 1
.
.
Решение.
3 + 1 5 + 2 7 + 4
A + B =
2 + 2 −1 + 3 0 −2
=
4 − 1 3 + 0 2 + 1
Пример 2. Найти произведение AB матриц
1 3 1
A =
и B =
2 1 0
1 −1 2
2 0 4
3 2 1
4 7 11
4 2 −2
3 3 3
.
.
96 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Решение.
1 · 2 + 3 · 1 + 1 · 3 1 · 1 + 3 · (−1) + 1 · 2 1 ·0 + 3 · 2 + 1 · 1
AB =
=
2 · 2 + 0 · 1 + 4 · 3 2 · 1 + 0 · (−1) + 4 · 2 2 ·0 + 0 · 2 + 4 · 1
8 0 7
=
.
16 10 4
§ 11. Определители. Основные определения
и теоремы
Далее в этой главе будут рассматриваться только квадратные
матрицы. С каждой квадратной матрицей связано вполне определенное
число, которое называется ее определителем. Существует несколько
подходов к построению теории определителей. Классический подход
использует понятие перестановок и подстановок. А поскольку учебными программами основных технических специальностей высшей
школы в курсе математики не предусмотрено изучение понятий перестановок и подстановок, то здесь мы используем индуктивный подход
к введению понятия определителя и при этом будем избегать громоздких доказательств известных фактов — читатель может с ними
ознакомиться в других учебниках.
Вначале рассмотрим квадратные матрицы небольших порядков.
Если порядок n матрицы A равен единице, то матрица состоит из
одного элемента a11, и определителем такой матрицы будем называть
число a11. Вообще для любой квадратной матрицы A ее определитель
чаще всего обозначают как: |A|, det A, ∆ (иногда с индексами). Таким
образом, для матрицы первого порядка |A| = a11.
Далее, порядок n матрицы A равен двум, т. е. если эта матрица
имеет вид
a11a
A =
a21a
12
, (3.8)
22
то определителем такой матрицы назовем число, равное a11a22−a12a21.
Запишем определитель матрицы A:
|A| =
a11a
a21a
12
. (3.9)
22
Окончательно сформулируем следующее определение.
§ 11. Определители. Основные определения и теоремы 97
Определение 8. Определителем матрицы второго порядка называется число, получаемое по правилу:
|A| = det A = ∆ =
a11a
a21a
12
= a11a22− a12a21. (3.10)
22
Будем применять термин порядок определителя, подразумевая
под этим порядок исходной матрицы.
В дальнейшем мы будем говорить об элементах, строках, столбцах или диагоналях определителя, подразумевая под этими терминами
элементы, строки, столбцы или диагонали соответствующей матрицы.
Перейдем теперь к формулированию понятия определителя любого порядка n, где n > 2. Понятие такого определителя мы введем
индуктивно, предполагая, что нам уже известно, как находятся
определители всех квадратных матриц, порядок которых строго
меньше n.
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка n:
A =
a11a12... a
a21a22... a
.
.
.
.
.
.
an1an2... a
.
.
.
1n
2n
. (3.11)
.
.
.
nn
Выберем в A любой элемент aijи вычеркнем из A i-ю строку и j-й
столбец. Из оставшихся элементов, не меняя их взаимного расположения, составим матрицу. Это будет квадратная матрица порядка (n − 1).
По индуктивному предположению мы умеем находить определитель
полученной матрицы. Обозначим его Mijи назовем минором элемен-
та aij.
Определение 9. Определителем порядка n, соответствующим
матрице (3.11), называется число, равное
n
X
j=1
(−1)
1+j
a1jM1j. (3.12)
Итак, по определению
|A| = det A = ∆ =
a11a
a21a
.
.
.
an1a
12
22
.
.
.
n2
... a
... a
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
nn
=
n
X
j=1
(−1)
1+j
a1jM1j. (3.13)
4 Б.К. Дураков
98 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
Формула (3.13) при вычислении определителя использует все
элементы первой строки (разложение определителя по первой стро-
ке). Заметим, что формула вычисления определителя второго порядка
(3.10) является частным случаем формулы (3.13). Возникает вопрос,
почему первая строка определителя имеет отличительные особенности
по сравнению с другими его строками? Так ли это? На самом деле это
не так: все строки определителя равнозначны в смысле возможности
вычисления определителя, но для формулировки определения необходимо выбрать какую-либо конкретную строку. Чтобы поставить точку
в этом вопросе, сформулируем основную теорему, доказательство которой читатель может найти, например, в [2].
Теорема 3.1. При любом номере строки i, i = 1, 2, . .. , n для
определителя n-го (n > 2) порядка матрицы A (3.11) справедлива
формула
|A| = det A = ∆ =
a
a
a
11a12
21a22
.
.
.
.
.
.
n1an2
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
1n
2n
.
.
.
nn
=
n
X
j=1
(−1)
i+j
aijMij, (3.14)
называемая разложением этого определителя по i-й строке.
Теорема 3.1 установила возможность вычисления определителя с
помощью разложения его по любой строке. Здесь возникает вопрос о
возможности применения столбцов определителя для его вычисления.
Ответ на этот вопрос дает основная теорема.
Теорема 3.2. При любом номере столбца j, j = 1, 2, . .. , n для
определителя n-го (n > 2) порядка матрицы A (3.11) справедлива
формула
|A| = det A = ∆ =
a
a
a
11a12
21a22
.
.
.
.
.
.
n1an2
.. . a
.. . a
.
.
.
.. . a
1n
2n
.
.
.
nn
=
n
X
i=1
(−1)
i+j
aijMij, (3.15)
называемая разложением этого определителя по j-му столбцу.
Нетрудно понять, что формулы (3.14) и (3.15) позволяют вычислить определитель любой квадратной матрицы. Действительно,
применение любой из этих формул сводит вычисление определителя
n-го порядка к вычислению n миноров, которые, в свою очередь,
являются определителями порядка (n − 1). Применяя формулы (3.14)
или (3.15) к каждому из этих миноров, мы сведем вычисление исход-
§ 11. Определители. Основные определения и теоремы 99
ного определителя к вычислению n(n − 1) определителей уже порядка
(n − 2). Продолжая этот процесс, мы придем к вычислению вполне
определенного числа определителей порядка 2, которые вычисляются
по формуле (3.10). Теперь очевидно, что непосредственное применение формул (3.14) и (3.15) к вычислению определителей (особенного
высоких порядков) приведет к громоздким вычислениям. Очевидно,
что если в какой-то строке (или в столбце) определителя имеется
«достаточно большое» количество нулей, то процесс вычисления определителя с помощью этих формул станет заметно проще. Далее будут
приведены свойства определителей, применение которых позволяет, не
изменяя численного значения определителя, так его предварительно
преобразовать, что вычисление его значения с помощью указанных
выше формул существенно упростится.
Чтобы не доводить вычисление определителя до второго порядка,
приведем формулу вычисления определителя третьего порядка, которая называется правилом треугольников; ее доказательство оставля-
ем читателю в качестве упражнения. Итак, справедлива формула
a11a12a
a21a22a
a31a32a
13
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32−
23
33
− a13a22a31− a12a21a33− a11a23a32. (3.16)
В правой части равенства (3.16) находится шесть слагаемых.
Первые три из них записывают со знаком плюс, остальные со — знаком минус. Рассмотрим первую группу слагаемых. Первое слагаемое —
это произведение всех элементов главной диагонали определителя, а в
каждом из следующих множители образуют в определителе треугольники, у которых одна сторона параллельна главной диагонали:
∗ a12a
a
21
a31a
∗ a
32
∗
13
23
a
,
a21a
∗ a
11
22
∗ a32a
∗
13
33
a11a
,
a
12
∗ a22a
∗ a
31
∗
.
23
33
Слагаемые, которые в формуле (3.16) имеют знак минус, иллюстрируются аналогично, только вначале перемножаются все элементы побочной диагонали, а затем выбираются такие тройки элементов определителя, которые образуют треугольники со стороной, параллельной его
4*
100 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
побочной диагонали:
a12a
a
21
∗ a32a
12
∗ a
∗
23
33
∗ a12a
,
a21a
a
31
22
∗ a
∗
13
33
a
,
a31a
∗ a
11
∗ a22a
32
13
.
23
∗
В заключение параграфа познакомим читателя с теоремой Лапласа, которая является обобщением теорем 3.1 и 3.2. Применение
теоремы Лапласа позволяет вычислять определители, разлагая их по
нескольким выделенным строкам или столбцам. Для формулировки
этой теоремы нам потребуются понятия минора k-го порядка и его
алгебраического дополнения.
Определение 10. Пусть дан определитель ∆ порядка n. Вы-
берем целое число k, удовлетворяющее условию 1 6 k 6 n − 1, и в
определителе ∆ выберем произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечениях выбранных строк и столбцов, очевидно
составляют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой матрицы называется минором k-го порядка определителя ∆. При этом
следует заметить, точно также определяются миноры k-го порядка для
матриц размерности (m × n), где 1 6 k 6 min(m, n), если m 6= n и
1 6 k 6 n − 1, когда m = n.
Пусть в определителе ∆ порядка n выбран минор M k-го порядка. Вычеркнем те строки и столбцы, на пересечениях которых расположен этот минор. Оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу
порядка (n − k), определитель которой называется дополнительным
к минору M и обозначается M0. Если мы вычеркнем, наоборот, те
строки и столбцы, в которых расположены элементы минора M0, то
очевидно, что останется минор M. Таким образом, можно говорить о
паре взаимно дополнительных миноров определителя. В частности,
определенный выше минор Mijявляется дополнительным к минору
первого порядка aijи наоборот.
Определение 11. Если минор k-го порядка M расположен в
строках с номерами i1, i2, .. . , ikи в столбцах с номерами j1, j2, .. . , jk,
то образуем сумму
Алгебраическим дополнением для минора M будем называть чис-
s
ло (−1)
M
M0. В частности, алгебраическим дополнением Aijэлемента
aijбудет число
sM= i1+ i2+ ···+ ik+ j1+ j2+ ···+ jk.
Aij= (−1)
i+j
Mij.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]