Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 8. Рациональные дроби 71
где степень u(x) меньше степени h(x). Тогда
q(x) −q1(x) =
u(x)
h(x)
−
r(x)
g(x)
u(x)g(x) −h(x)r(x)
=
h(x)g(x)
.
Нетрудно проверить, что степень числителя последней дроби меньше
степени знаменателя и, значит, эта дробь будет правильной. Но тогда
и левая часть q(x) − q1(x) должна быть правильной дробью. Это
возможно, лишь когда q(x) −q1(x) = 0. Отсюда
u(x)
h(x)
−
r(x)
= 0.
g(x)
Единственность доказана.
f(x)
Определение 24. Правильная рациональная дробь
называ-
g(x)
ется простейшей, если ее знаменатель g(x) является степенью неприводимого в R многочлена p(x) с единичным старшим коэффициентом:
g(x) = pk(x), k > 1,
а степень числителя f(x) меньше степени p(x).
Замечание. Из определения следует, что всякая простейшая
рациональная дробь несократима, так как ее числитель и знаменатель — взаимно простые многочлены.
Представляется важным доказательство теоремы 2.14.
Теорема 2.14. Всякая правильная рациональная дробь единственным образом разлагается в сумму простейших дробей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале докажем существование разложения. Рассмотрим правильную рациональную дробь
f(x)
,
g(x)h(x)
где многочлены g(x) и h(x) взаимно просты. По теореме 2.3 существуют такие многочлены u(x) и v(x), что
g(x)u(x) + h(x)v(x) = 1.
Умножим обе части этого равенства на f(x) и сгруппируем множители
в левой части так:
g(x)[u(x)f (x)] + h(x)[v(x)f (x)] = f(x). (2.69)
72 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Представим многочлен u(x)f (x) как результат деления его на
h(x) и обозначим через u(x) остаток от деления. Далее в левой части
равенства (2.69) все слагаемые, содержащие множитель h(x), соберем
в одну группу, а все остальные слагаемые — в другую. В результате
равенство (2.69) можно записать следующим образом:
g(x)u(x) + h(x)v(x) = f (x), (2.70)
где v(x) — многочлен, который легко записывается, если подробно
провести указанные выше действия. Степень многочлена u(x) как
остатка меньше степени h(x) как делителя. Тогда степень произведения g(x)u(x) меньше степени g(x)h(x). Поскольку дробь
f(x)
g(x)h(x)
правильная, то степень f(x) также меньше степени g(x)h(x). Значит,
степень h(x)v(x) меньше степени g(x)h(x), и тогда степень многочлена
v(x) меньше степени многочлена g(x). Из (2.70) теперь получаем
равенство
f(x)
g(x)h(x)
=
v(x)
g(x)
+
u(x)
, (2.71)
h(x)
где в правой части сумма правильных дробей.
Таким образом показано, что всякая правильная рациональная
дробь, знаменатель которой есть произведение двух взаимно простых
многочленов, представима в виде суммы двух правильных дробей со
взаимно простыми знаменателями. Очевидно, что это утверждение
легко распространяется на случай, когда знаменатель правильной рациональной дроби есть произведение большего количества попарно
взаимно простых многочленов. Действительно, если многочлен g(x)
в равенстве (2.71) представим в виде произведения двух взаимно
простых многочленов, то повторяя все рассуждения для дроби
v(x)
,
g(x)
мы представим ее в виде суммы двух правильных дробей с соответствующими знаменателями. При этом дробь
f(x)
g(x)h(x)
§ 8. Рациональные дроби 73
уже будет разлагаться в сумму трех правильных дробей, знаменатели
которых попарно взаимно просты, и т. д.
Рассмотрим теперь правильную рациональную дробь
f(x)
.
g(x)
По теореме 2.10 и с помощью формулы (2.61) представим знаменатель
g(x) в виде произведения степеней различных неприводимых в R
многочленов:
k
g(x) = p
1
1
где pi(x) 6= pj(x) для i 6= j. Так как p
(x)p
k
2
(x) .. . p
2
k
i
(x) и p
i
k
t
(x),
t
k
j
(x) взаимно просты при
j
i 6= j, то из доказанного выше получаем
f(x)
g(x)
=
u1(x)
k
1
p
(x)
1
+
u2(x)
k
2
p
(x)
2
+ ···+
ut(x)
k
t
p
(x)
t
,
при этом все слагаемые в правой части являются правильными дробями и их знаменатели попарно взаимно просты.
Для завершения доказательства первой части теоремы теперь
остается рассмотреть правильную дробь вида
u(x)
,
pk(x)
где p(x) — неприводимый в R многочлен. Применяя алгоритм деления
с остатком, разделим u(x) на p
k−2
на p
(x) и т. д. В результате получим равенства:
u(x) = p
u1(x) = p
k−1
(x), полученный остаток разделим
k−1
(x)s1(x) + u1(x),
k−2
(x)s2(x) + u2(x),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
u
(x) = p(x)s
k−2
k−1
(x) + u
k−1
(x).
По условию степень u(x) меньше степени pk(x), а степень остатка
u1(x) меньше степени делителя p
k−1
(x), поэтому из первого равенства получаем, что степень s1(x) меньше степени многочлена p(x).
Переходя ко второму равенству, таким же образом получаем, что
степень s2(x) меньше степени p(x), и т. д. Окончательно: степени всех
многочленов s1(x), s2(x), .. . , s
следнего остатка u
(x) также меньше степени многочлена p(x). Из
k−1
(x) меньше степени p(x). Степень по-
k−1
74 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
полученных равенств легко получить выражение для u(x):
u(x) = p
k−1
(x)s1(x) + p
k−2
(x)s2(x) + ··· + p(x)s
k−1
(x) + u
k−1
(x).
Разделим обе части этого равенства на pk(x), произведем сокращения
в левой части и окончательно получим
u(x)
pk(x)
=
u
k−1
pk(x)
(x)
+
s
p
k−1
k−1
(x)
(x)
+ ···+
s2(x)
p2(x)
+
s1(x)
.
p(x)
Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Докажем единственность разложения правильной дроби в сумму
простейших. Доказательство проведем от противного. Пусть имеется
правильная рациональная дробь, которую можно двумя способами
представить в виде суммы простейших дробей. Запишем эти представления и вычтем одно из другого. После приведения подобных
получим некоторую сумму простейших дробей, равную нулю. Знаменатели всех этих дробей — степени различных неприводимых многочленов p1(x), p2(x), .. . , pm(x). Пусть наивысшая степень многочлена
pi(x), с которой он встречается в знаменателях, равна kiдля всех
i = 1, 2, ... , m. Умножим обе части полученного равенства на
k1−1
p
1
(x)p
k
2
(x) .. . p
2
k
m
m
(x).
В результате все слагаемые нашей суммы, кроме
u(x)
, (2.72)
k
1
p
(x)
1
превратятся в многочлены (дроби сократятся на знаменатели). Слагаемое (2.72) после сокращения превратится в дробь
u(x)p
k
2
(x) .. . p
2
k
m
m
(x)
. (2.73)
p1(x)
Так как дробь (2.72) простейшая, то из замечания к определению
24 получаем, что многочлены u(x) и p1(x) взаимно просты. Теперь
нетрудно понять, что дробь (2.73) несократима. Таким образом, сумма
многочлена и несократимой дроби равна нулю, что невозможно. Получили противоречие с предположением о возможности представления
некоторой правильной рациональной дроби в виде суммы простейших
двумя способами. Теорема доказана.
С помощью доказанной теоремы и на основании сведений о
неприводимых в R многочленах получим формулу разложения в сум-
§ 8. Рациональные дроби 75
му простейших такой правильной рациональной дроби, у которой
числитель и знаменатель являются многочленами с действительными
коэффициентами и все корни знаменателя известны. Эта формула
будет использоваться в курсе математического анализа при изучении
интегрирования рациональных дробей.
Пусть требуется разложить правильную рациональную дробь
f(x)
g(x)
в сумму простейших дробей и пусть многочлены f (x) и g(x) имеют
действительные коэффициенты, а старший коэффициент g(x) равен 1
(это всегда можно сделать в рациональной дроби). Далее допустим,
что известны все корни знаменателя g(x). Тогда из следствия теоремы
2.12 получаем
g(x) = (x − c1)
k
1
(x − c2)
× (x2+ p
k
2
... (x − cs)
x + q
s+1
k
s
×
m
s+1
)
s+1
(x2+ p
× ···× (x2+ p
s+2
x + q
x + q
s+l
s+2
)
s+l
m
s+2
)
m
s+l
×
, (2.74)
где c1, c2, .. . , cs— различные действительные корни g(x), а каждой
паре (c
s+i
, c
) его комплексно сопряженных корней с кратностью m
s+i
s+i
соответствует множитель
m
(x2+ p
s+i
x + q
s+i
s+i
)
.
Из определения и теоремы 2.12 видно, что простейшими в R
будут лишь два типа рациональных дробей:
A
, (2.75)
(x − c)
k
Bx + C
, (2.76)
(x2+ px + q)
m
где A, B и C — действительные числа, а квадратный трехчлен
x2+ px + q не имеет действительных корней. Теперь, используя дока-
зательство первой части теоремы 2.14, можно записать равенство
f(x)
g(x)
=
(x − c1)
A
k
1
+
k
1
+
(x − c2)
A
k1−1
(x − c1)
B
k2−1
k2−1
k1−1
+ ···+
+ ···+
x − c
A
x − c
B
1
1
+
1
+ ···+
2
B
k
2
(x − c2)
C
(x − cs)
+
k
2
k
s
+
k
s
76 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
+
+
+
(x2+ p
+
+
C
ks−1
(x − cs)
D
(x2+ p
F
m
s+2
F1x + G
x2+ p
H
(x2+ p
ks−1
m1−1
s+1
x + G
2
x + q
x + q
s+2
ml−1
s+l
+ ···+
x + E
x + q
m
s+2
1
s+2
x + L
x + q
s+1
2
)
ml−1
s+l
C
x − c
m1−1
m
s+1
)
+
m
s+2
+ ···+
m
−1
s+l
)
1
+
s
+ ···+
−1
F
(x2+ p
(x2+ p
+ ···+
D
(x2+ p
x2+ p
x + G
m2−1
x + q
s+2
H
x + L
m
l
x + q
s+l
(x2+ p
x + E
m
1
x + q
s+1
D1x + E
s+1
m2−1
)
s+2
m
l
s+l
H1x + L
x + q
s+l
m
1
s+1
x + q
m
s+2
m
s+l
)
1
m
s+1
)
1
s+1
+ ···+
−1
+ ···+
)
s+l
+
+
. (2.77)
В равенстве (2.77) все буквы (A, B, C, D, E, F , G, H и L)
с индексами — это числовые неопределенные коэффициенты. Для их
определения необходимо правую часть равенства (2.77) привести к общему знаменателю и затем сравнить числители левой и правой частей.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного,
получим систему уравнений относительно неизвестных перечисленных
выше букв. После решения этой системы и подстановки полученных
значений в (2.77) получим разложение данной правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.
Пример 1. Разложить рациональную дробь
x2+ 2
(x + 1)3(x − 2)
на простейшие над R.
Решение. Так как все корни знаменателя действительные, то
в соответствии с (2.77) запишем разложение данной рациональной
дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами:
x2+ 2
=
(x + 1)3(x − 2)
A
1
(x + 1)
3
+
(x + 1)
A
+
A
3
x + 1
2
2
+
B
.
x − 2
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
x2+ 2 = A1(x − 2) + A2(x + 1)(x −2) + A3(x + 1)2(x − 2) + B(x + 1)3,
или
§ 8. Рациональные дроби 77
x2+ 2 = (A3+ B)x3+ (A2+ 3B)x2+
+ (A1− A2− 3A3+ 3B)x + (−2A1− 2A2− 2A3+ B).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного,
получим систему уравнений для определения коэффициентов:
0 = A3+ B,
1 = A2+ 3B,
0 = A1− A2− 3A3+ 3B,
2 = −2A1− 2A2− 2A3+ B.
Решая эту систему, найдем
A1= −1, A2=
1
, A3= −
3
2
, B =
9
2
.
9
В результате получаем разложение:
x2+ 2
= −
(x + 1)3(x − 2)
1
(x + 1)
+
3
1
3(x + 1)
−
2
2
9(x + 1)
+
9(x − 2)
2
.
Пример 2. Разложить рациональную дробь
x
(x2+ 1)(x −1)
на простейшие над R.
Решение. В отличие от предыдущего примера знаменатель этой
дроби имеет один действительный корень и два комплексных. Используя равенство (2.77), запишем
x
(x2+ 1)(x −1)
Ax + B
=
x2+ 1
+
C
.
x − 1
Следовательно,
x = (Ax + B)(x − 1) + C(x2+ 1).
Полагая x = 1, получим: 1 = 2C, C =
1
0 = −B + C, B =
.
2
Приравнивая коэффициенты при x2, получим 0 = A + C, откуда
1
A = −
.
2
1
; полагая x = 0, получим:
2
78 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Таким образом,
x
= −
(x2+ 1)(x −1)
x − 1
2(x2+ 1)
+
2(x − 1)
1
.
§ 9. Вычисление корней многочленов
В предыдущих параграфах настоящей главы полностью изучен
вопрос о количестве корней данного многочлена с комплексными коэффициентами. Нам уже известно, что если степень многочлена равна
n, то он имеет ровно n комплексных корней, вообще говоря, необязательно различных. При этом мы нигде не рассматривали методы
нахождения корней многочлена.
Этот вопрос наиболее сложен в теории многочленов: с ним связано много известных имен математиков прошлых столетий. Корни
многочленов второй степени уже умели находить древние греки. К
концу XVI века полностью был решен вопрос о нахождении корней
многочленов с комплексными коэффициентами, степень которых не
превышала четырех, а именно для любых многочленов степеней 2, 3
и 4 были получены формулы, позволяющие по коэффициентам многочлена конечным числом алгебраических операций и радикалов найти
все корни произвольного многочлена данной степени. Затем почти три
века многие математики делали попытки аналогично решить вопрос
о нахождении корней многочленов пятой степени. Первый серьезный
успех в этом вопросе принадлежит Н. Абелю, который в двадцатых
годах XIX века доказал, что для многочленов с комплексными коэффициентами, степень которых больше четырех, аналогичных формул
нахождения их корней в принципе не существует. После этого вопрос
о нахождении формулы корней многочлена некоторое время рассматривался несколько иначе: считалось, что для всякого конкретного
многочлена существует формула, которая только из коэффициентов
данного многочлена с помощью конечного числа алгебраических операций и радикалов позволяет вычислить все его корни. Точку в этом
вопросе в тридцатых годах XIX века поставил французский математик Э. Галуа, который доказал, что для всякого n > 5 можно найти
многочлены степени n даже с целыми коэффициентами, для которых
не существует такой формулы корней. Для n = 5 это будет, например,
многочлен
f(x) = x5− 4x −2.
§ 9. Вычисление корней многочленов 79
Здесь мы не будем приводить формулы нахождения корней многочленов второй, третьей и четвертой степеней, так как, во-первых, эти
формулы хорошо известны и приводятся в справочниках, а во-вторых,
для степеней 3 и 4 они очень громоздки и неудобны в использовании.
Рассмотрим один из методов приближенного вычисления действительных корней многочлена с действительными коэффициентами.
В такой постановке задачи можно было бы применить аппарат математического анализа, справедливо считая, что всякому действительному
корню многочлена f(x) с действительными коэффициентами соответствует точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс.
Но тогда пришлось бы отыскивать корни производной f0(x), которая
также является многочленом, и решать ту же задачу.
Идея предлагаемого метода решения поставленной задачи заключается в последовательном выполнении двух алгоритмов. В первом
для каждого действительного корня найдем на оси абсцисс интервал,
содержащий только этот корень, во втором уточним положение корня в
интервале в соответствии с заданной точностью его значения. Прежде
всего покажем, как устанавливаются границы расположения всех действительных корней многочлена с действительными коэффициентами.
Для определения границ корней многочлена нам потребуется
известное утверждение, которое в литературе носит название леммы
о модуле старшего члена многочлена. Доказательство этого утверждения здесь не приводим, его можно найти в [1, §23].
Лемма 2.4 о модуле старшего члена. Если дан многочлен n-й
степени (n > 1):
f(x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a
0
с произвольными комплексными коэффициентами и k — любое положительное число, то для достаточно больших по модулю значений
неизвестного x имеет место неравенство
|anxn| > k|a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0|,
т. е. модуль старшего члена будет больше модуля суммы всех остальных членов, притом во сколько угодно раз.
Из доказательства этой леммы [1, § 23] вытекает следующее
утверждение.
Лемма 2.5. Для многочлена f(x) с любыми числовыми коэф-
A
фициентами число 1 +
, где A = max(|a
|a0|
n−1
|, |a
|, |a0|), служит
n−2
80 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
верхней границей для модулей всех его корней, действительных и
комплексных.
Таким образом, из леммы 2.5 ясно, что на комплексной плоскости
A
все корни многочлена f(x) содержатся в круге радиуса 1 +
с цен-
|a0|
тром в начале координат. При этом действительные корни многочлена
расположены в интервале
−1 −
A
, 1 +
|a0|
A
.
|a0|
Доказательство этой леммы здесь не приводим, лишь отметим,
что обычно граница, которую лемма позволяет определить, оказывается слишком высокой, особенно если нас интересуют только действительные корни многочлена. Используя эту лемму, изложим другие
методы, более точные.
Сначала покажем, что достаточно уметь находить верхнюю
границу положительных корней многочлена. Действительно, пусть
многочлен f (x) имеет степень n и пусть N0будет верхней границей
его положительных корней. Рассмотрим многочлены
1
ϕ1(x) = xnf
,
x
ϕ2(x) = f(−x),
1
ϕ3(x) = xnf−
x
и найдем верхние границы их положительных корней. Пусть это будут
соответственно числа N1, N2, и N3.
1
Лемма 2.6. Число
является нижней границей положитель-
N
1
1
ных корней многочлена f(x), а числа −N2и −
будут соответственно
N
3
нижней и верхней границами отрицательных корней многочлена f(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть α — положительный корень много-
1
члена f (x), тогда
будет положительным корнем для многочлена
α
ϕ1(x) и поэтому
1
< N1. Значит, α >
α
1
, и первая часть утверждения
N
1
леммы доказана. Аналогично доказываются остальные утверждения
леммы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]