Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 22. Определение линейного пространства. Изоморфизм 181
Очевидно, что для всех f , g ∈ V и любого γ ∈ R
h = f + g ∈ V и d = γf ∈ V.
Таким образом, операции сложения многочленов и умножения
многочлена на действительное число на V замкнуты, т.е. результаты
этих операций являются элементами множества V.
Легко проверить, что эти операции имеют следующие свойства:
1) f + g = g + f для всех многочленов f , g ∈ V ;
2) f + (g + h) = (f + g) + h для всех многочленов f, g,h ∈ V ;
3) существует многочлен o такой, что для всех f ∈ V выполня-
ется f + o = f;
4) для любого многочлена f существует многочлен g такой, что
f + g = o;
5) γ(f + g) = γf + γg для всех многочленов f, g ∈ V и любого
γ ∈ R;
6) (γ + δ)f = γf + δf для всех γ, δ ∈ R и всех многочленов f ∈ V ;
7) γ(δf) = (γδ)f для всех γ, δ ∈ R и всех многочленов f ∈ V ;
8) 1f = f для всех многочленов f ∈ V.
Обратим внимание на поразительное совпадение результатов
аналогичных действий в рассмотренном примере и при построении
n-мерного векторного пространства An. В обоих случаях на элементах множеств вводятся операции сложения и умножения на действительное число, обе операции на своих множествах замкнуты, и для
них выполняются одни и те же восемь свойств. Можно привести
другие примеры, где в качестве элементов основного множества будут векторы-отрезки трехмерного пространства, выходящие из начала
координат; матрицы одинаковой размерности; функции с заданными
свойствами, определенные на конкретном отрезке, и др. В каждом из
примеров будут свои элементы, на этих элементах определяют свои
операции сложения и умножения на число. Объединяют эти примеры
такие алгебраические свойства, как замкнутость операций на «своих
множествах» и выполнение восьми перечисленных выше свойств.
Приведенное ниже определение обобщает рассмотренные выше
примеры (и не только эти) и является аксиоматическим: в нем ничего
не будет сказано о природе элементов основного множества, но будут
перечислены те свойства, которыми должны обладать операции над
элементами.
Определение 1. Пусть дано множество V ; его элементы будем
обозначать строчными латинскими буквами: a, b, c, . . . . Далее, зададим
182 Глава 5. Линейные пространства
на V две операции, назовем их сложением элементов V и умножением этих элементов на любое действительное число, а именно: для
каждой пары элементов a и b из V и любого действительного числа
γ с помощью некоторого правила однозначно определены сумма a + b
и произведение γa. Если, во-первых, обе операции замкнуты на V ,
т. е. a + b ∈ V и γa ∈ V для всех a, b, ∈ V и γ ∈ R, и, во-вторых,
выполняются следующие аксиомы:
1) сложение коммутативно, т. е. a + b = b + a для всех элементов
a, b ∈ V ;
2) сложение ассоциативно, т. е. a + (b + c) = (a + b) + c для всех
элементов a, b, c ∈ V ;
3) в V существует элемент o, такой, что ∀a ∈ V выполняется
a + o = a; элемент o называется нулевым;
4) для любого элемента a ∈ V существует элемент b ∈ V , такой,
что a + b = o; элемент b называется противоположным для элемента
a;
5) γ(a + b) = γa + γb для всех элементов a, b ∈ V и любого γ ∈ R;
6) (γ + δ)a = γa + δa для всех γ, δ ∈ R и всех элементов a ∈ V ;
7) γ(δa) = (γδ)a для всех γ, δ ∈ R и всех элементов a ∈ V ;
8) 1a = a для всех элементов a ∈ V ,
то V будем называть (действительным) линейным пространством.
Установим некоторые свойства линейных пространств, которые
легко следуют из определения 1.
Свойство 1. В любом линейном пространстве нулевой элемент o
только один.
Действительно, пусть в линейном пространстве V имеются два
нулевых элемента: o1и o2. Тогда из аксиом 1 и 3 получаем
o1+ o2= o1,
o1+ o2= o2+ o1= o2,
поэтому o1= o2.
Свойство 2. В любом линейном пространстве для каждого элемента имеется только один ему противоположный.
Пусть элемент a имеет два противоположных: b и c. Тогда из
аксиом получаем
b + (a + c) = b + o = b,
b + (a + c) = (b + a) + c = o + c = c,
откуда b = c.
§ 22. Определение линейного пространства. Изоморфизм 183
По аналогии элемент, противоположный для элемента a, будем
обозначать символом −a.
Теперь в линейных пространствах можно ввести операцию вычитания.
Определение 2. Если a и b — два элемента линейного простран-
ства V , то под разностью a − b будем понимать
a − b = a + (−b).
Свойство 3. Для любого числа α имеет место
αo = o.
В самом деле, пусть a — некоторый элемент линейного пространства V. Тогда
αa = α(a + o) = αa + αo
и поэтому
Свойство 4. Для любого элемента a линейного пространства V
справедливо
Для доказательства возьмем любое число α. Тогда
откуда
Свойство 5. Если αa = o, то либо α = 0, либо a = o.
Действительно, если α 6= 0, то существует число α−1, а поэтому
Свойство 6. Для любого числа α и любого элемента a линейного
αo = αa + (−αa) = αa − αa = o.
0a = o.
αa = (α + 0)a = αa + 0a,
0a = αa − αa = o.
a = 1a = (α−1α)a = α−1(αa) = α−1o = o.
пространства V справедливо
Действительно,
αa + α(−a) = α[a + (−a)] = αo = o,
α(−a) = −αa.
184 Глава 5. Линейные пространства
следовательно, элемент α(−a) противоположен элементу αa.
Свойство 7. Для любого числа α и любого элемента a линейного
пространства V справедливо
(−α)a = −αa.
В самом деле,
αa + (−α)a = [α + (−α)]a = 0a = o,
т.е. элемент (−α)a противоположен элементу αa. В частности,
(−1)α = −α.
Свойство 8. Для любого числа α и любых элементов a и b
линейного пространства V справедливо
α(a − b) = αa − αb.
Действительно, используя свойство 6, получаем
α(a − b) = α[a + (−b)] = αa + α(−b) = αa + (−αb) = αa − αb.
Свойство 9. Для любых чисел α, β и любого элемента a линей-
ного пространства V имеет место
(α − β)a = αa − βa.
Действительно, из свойства 7 следует:
(α − β)a = [α + (−β)]a = αa + (−β)a = αa + (−βa) = αa − βa.
Аксиомами и свойствами 1–9 линейного пространства мы будем
пользоваться в дальнейшем без специальных оговорок.
Приведем некоторые примеры линейных пространств. Во-первых,
это множество всех векторов-отрезков, выходящих из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве с известными геометрическими операциями сложения векторов и умножения их на число.
Во-вторых, это n-мерные векторные пространства An, (см. главу 2).
И наконец, это множество всех многочленов, степень которых
не превышает данного натурального числа n, рассмотренное в начале
настоящего параграфа.
В определении линейного пространства говорилось о свойствах
операций над элементами, но ничего не было сказано о свойствах
самих элементов. Мы рассмотрели примеры линейных пространств,
совершенно различных по своей природе, но неразличимых с точки
§ 22. Определение линейного пространства. Изоморфизм 185
зрения свойств операций. Определим одно из основных понятий алгебры — изоморфизм линейных пространств.
Определение 3. Будем говорить, что между элементами двух
линейных пространств V и V0установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу a ∈ V сопоставлен единственный
элемент a0∈ V0, называемый образом элемента a, причем различным
элементам из V соответствуют различные образы и всякий элемент из
V0является образом некоторого элемента из V.
Определение 4. Два линейных пространства V и V0называются
изоморфными, если между их элементами можно установить такое
взаимно однозначное соответствие, для которого выполняются два
условия:
1) (a + b)0= a0+ b0— образ суммы двух элементов равен сумме
образов этих элементов;
2) (αa)0= αa0— образ произведения элемента на число равен
произведению образа этого элемента на то же число.
Выполнение условий 1), 2) определения 4 по сути будет условием
сохранения операций при взаимно однозначном соответствии между
V и V0. Тот факт, что линейные пространства V и V0изоморфны,
будем записывать следующим образом:
∼
V
=
V0.
Выберем на плоскости некоторую декартову систему координат
и каждому вектору-отрезку плоскости, выходящему из начала координат, поставим в соответствие упорядоченную пару действительных
чисел — его координаты в выбранной системе координат. Тем самым
мы установим изоморфизм пространства всех векторов-отрезков плоскости и двухмерного векторного пространства A2.
Отметим два свойства изоморфизма линейных пространств в виде утверждений.
Утверждение 1. Если линейные пространства V и V0изоморф-
ны, то образом нуля пространства V является нуль пространства V0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть a — некоторый элемент из V , а a0— его образ в V0. Тогда, из определения 4,
a0= (a + o)0= a0+ o0,
значит, o0есть нулевой элемент пространства V0.
Без особых сложностей проверяется, что все определения 10–13
линейной зависимости и независимости, которые были даны в § 17,
186 Глава 5. Линейные пространства
и доказательства эквивалентности этих определений используют лишь
операции над векторами и, следовательно, могут быть перенесены
в любые линейные пространства. Поэтому в аксиоматически определенных линейных пространствах можно говорить о линейно зависимых и независимых системах элементов, максимальных линейно
независимых системах элементов и т. п.
Утверждение 2. Если линейные пространства V и V0изо-
морфны, то система элементов a1, a2, .. . , akиз V линейно зависима
тогда и только тогда, когда линейно зависима система их образов
0
0
a
, a
, .. . , a
1
2
0
в V0.
k
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку при изоморфизме соответствие
между пространствами V и V0взаимно однозначное, то достаточно
рассмотреть случай, когда линейно зависима система a1, a2, .. . , ak.
Пусть существуют такие коэффициенты γ1, γ2, .. . , γk, не все равные
нулю, для которых выполняется равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= 0.
Так как соответствие между V и V0взаимно однозначно, то
(γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak)0= (0)0.
Из утверждения 1 (0)0= 00, применяя несколько раз условия 1),
2) определения 4, получим
(γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak)0= γ1a
0
+ γ2a
1
0
+ ···+ γka
2
0
.
k
Тогда,
т. е. система a
0
1
, a
0
, .. . , a
2
0
γ1a
+ γ2a
1
0
также линейно зависима. Утверждение дока-
k
0
+ ···+ γka
2
0
= 00,
k
зано.
Следствие. Если линейные пространства V и V0изоморфны, то
система элементов a1, a2, .. . , akиз V линейно независима тогда и толь-
0
ко тогда, когда линейно независима система их образов a
1
, a
0
, .. . , a
2
в V0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если одна из систем a1, a2, .. . , akили
0
0
a
, a
, .. . , a
1
2
0
линейно зависима, то из утверждения 2 таковой будет
k
и другая.
0
k
Пример 1. Доказать, что все квадратные матрицы порядка n с ве-
щественными коэффициентами образуют линейное пространство, если
§ 23. Конечномерные пространства. Базы 187
за операции взять известные операции сложения матриц и умножения
матриц на число.
Решение. При сложении квадратных матриц порядка n получа-
ется матрица того же порядка; при умножении квадратной матрицы
порядка n на любое действительное число порядок матрицы также
не изменяется. Поэтому обе операции замкнуты на множестве всех
квадратных матриц порядка n. Из свойств операций сложения матриц
и умножения матриц на число следует, что все аксиомы линейного
пространства выполняются. Значит, все квадратные матрицы порядка
n образуют линейное пространство относительно известных операций.
Пример 2. Пусть V — это множество всех многочленов, степень
которых не превышает натурального числа n:
V =anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0| ai∈ R,i = 0, 1, 2, . .. , n.
Доказать, что
∼
V
=
A
n+1
.
Решение. В начале параграфа было показано, что (относительно
известных операций сложения и умножения многочленов на число)
множество V образует линейное пространство. Запишем все многочлены в V в виде многочленов степени n, приписывая, где это
надо, нулевые коэффициенты. Поскольку любой многочлен однозначно
определяется упорядоченным набором своих коэффициентов, то имеет
место взаимно однозначное соответствие:
V 3 (anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0) ←→ (an, a
, .. . , a1, a0) ∈ A
n−1
n+1
Поскольку при сложении многочленов складываются коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного, а при умножении многочлена на число все его коэффициенты умножаются на это число, то
.
записанное соответствие будет изоморфным.
§ 23. Конечномерные пространства. Базы
Здесь рассмотрим только такие линейные пространства, в которых существует конечная максимальная линейно независимая си-
стема элементов.
Определение 5. Линейное пространство V называется конеч-
номерным, если в нем существует конечная максимальная линейно
188 Глава 5. Линейные пространства
независимая система элементов. Всякая такая система элементов будет называться базой, или базисом пространства V.
Из примеров, рассмотренных выше, нам известно, что конечномерное линейное пространство обладает многими базами. Так в пространстве векторов-отрезков плоскости, выходящих из начала координат, любые два непараллельных вектора образуют базис этого пространства. Для n-мерных векторных пространств Anбыло доказано,
что все базисы этих линейных пространств состоят из одного и того же
числа векторов. Однако из определения 5 конечномерного линейного
пространства явно не видно, что все его базы также состоят из одинакового количества элементов. Проведем исследование этого вопроса.
Выберем в конечномерном линейном пространстве V базу
e1, e2, .. . , en, (5.1)
состоящую из n элементов. Если a — произвольный элемент пространства V , то из максимальности линейно независимой системы (5.1)
легко получается (см. § 17), что элемент a линейно выражается через
базу e1, e2, .. . , en:
a = γ1e1+ γ2e2+ ···+ γnen. (5.2)
Предположим, что существует еще одно разложение элемента a через
эту же базу:
a = γ
0
e1+ γ
1
0
e2+ ···+ γ
2
0
en. (5.3)
n
Вычтем из (5.2) равенство (5.3):
o = (γ1− γ
0
)e1+ (γ2− γ
1
0
)e2+ ···+ (γn− γ
2
0
)en. (5.4)
n
Поскольку e1, e2, .. . , en— линейно независимая система элементов, то
γi= γ
0
, i = 1, 2, . .. , n.
i
Итак, любому элементу a ∈ V соответствует единственный вектор
(γ1, γ2, .. . , γn) ∈ An, (5.5)
а именно, строка из коэффициентов разложения его в базе (5.1).
И наоборот, всякий вектор вида (5.5) из пространства Anс помощью
формулы (5.2) однозначно определяет некоторый элемент линейного
пространства V.
Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие
между всеми элементами линейного пространства V и всеми век-
§ 23. Конечномерные пространства. Базы 189
торами n-мерного векторного пространства An. Покажем, что это
соответствие, очевидно, зависящее от выбора базы (5.1), является
изоморфизмом этих пространств.
Пусть b — другой вектор линейного пространства V. Запишем
его разложение в базе (5.1):
b = β1e1+ β2e2+ ···+ βnen.
Тогда
a + b = (γ1+ β1)e1+ (γ2+ β2)e2+ ···+ (γn+ βn)en,
т.е. элементу a + b из пространства V соответствует сумма
(γ1+ β1, γ2+ β2, .. . , γn+ βn) векторов (γ1, γ2, .. . , γn) и (β1, β2, .. . , βn)
из пространства An. Далее, если δ — действительное число, то
δa = (δγ1)e1+ (δγ2)e2+ ···+ (δγn)en,
т.е. произведению элемента a линейного пространства V на число δ
соответствует произведение
(δγ1, δγ2, .. . , δγn)
вектора (γ1, γ2, .. . , γn) из пространства Anна это же число δ. Таким
образом,
∼
V
=
An.
Этими рассуждениями мы доказали основополагающую теорему тео-
рии линейных пространств.
Теорема 5.1. Любое линейное пространство V , имеющее базу
из n элементов, изоморфно n-мерному векторному пространству An.
Сформулируем и докажем несколько утверждений, вытекающих
из этой теоремы. Из следствия утверждения 2 известно, что при
изоморфизме двух линейных пространств всякой линейно независимой системе одного пространства соответствует линейно независимая
система другого.
Следствие 1. Если линейные пространства V и V0изоморфны,
то любой базе одного пространства соответствует база другого.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть база e1, e2, .. . , enпространства V
изоморфно соответствует системе элементов e
1
, e
0
, .. . , e
2
0
пространства
n
0
V0, которая хотя и линейно независима, но не максимальна. Тогда
в V0существует такой элемент d0, с которым система элементов
190 Глава 5. Линейные пространства
0
0
e
, e
, .. . , e
1
2
0
, d0линейно независима. Элемент d0является образом неко-
n
торого элемента d из V. Но тогда система элементов e1, e2, .. . , en, d
пространства V должна быть линейно независимой, что противоречит
определению базы. Следствие доказано.
Следствие 2. Все базы конечномерного линейного пространства
V состоят из одного и того же числа элементов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть какая-то база пространства V состоит из n элементов. Тогда по теореме 5.1 V
∼
An. Так как в простран-
=
стве Anвсе базы состоят из n векторов, то из следствия 1 получаем
справедливость утверждения. Следствие доказано.
Определение 6. Если база конечномерного линейного пространства V состоит из n элементов, то число n называется размерностью
этого пространства.
Если линейное пространство V имеет размерность n, то этот
факт будем отмечать соответствующим индексом в обозначении пространства: Vn. Иногда данный факт будем записывать так: dim V = n.
Итак, из следствия 2 вытекает, что в линейном пространстве V
всякая система из (n + 1) элементов линейно зависима.
Пусть Vn— линейное пространство и e1, e2, .. . , en— какая-то
его база. Если a — произвольный элемент из Vn, то этот элемент
однозначно разлагается по выбранной базе:
a = γ1e1+ γ2e2+ ···+ γnen.
Определение 7. Упорядоченная система коэффициентов γ1, γ2, .. .
.. . , γnразложения элемента a в базе e1, e2, .. . , enназывается координатами элемента a в этой базе.
Теперь, выбрав в Vnбазу, мы можем, забыв истинную природу
элементов пространства Vn, заменить все элементы этого пространства
их координатными строками, превратив тем самым пространство V
в пространство An. Тогда вполне естественно элементы пространства
Vnназывать векторами. Из этих соображений элементы любого линейного пространства мы будем называть векторами.
Для полноты изложения приведем хотя бы один пример неконеч-
n
n
номерного линейного пространства.
Пример. Пусть элементами множества W будут всевозможные
бесконечные последовательности действительных чисел
W = h(α1, α2, .. . , αn...) | αi∈ R, i = 1, 2, .. .i.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]