Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 301
Необходимо начать с получения взаимно однозначного соответствия между множеством V3всех геометрических векторов, выходящих из начала декартовой системы координат трехмерного пространства, и множеством A3всех числовых строк длины три. Затем нужно
задать операции сложения векторов и умножения их на действительное число (сложение также получится как «правило параллелограмма», умножение вектора на число в V3аналогично умножению вектора
на число на плоскости). Это даст возможность установить изоморфизм
∼
V
A3.
=
3
Отсюда сразу следует справедливость всех свойств операций в
V3. На геометрические векторы из V3переносятся такие понятия из
A3, как линейные комбинации, линейная зависимость и независимость
векторов. Но минимальную систему порождающих (базис) в V3уже
нельзя построить на паре неколлинеарных векторов, поскольку любая
пара неколлинеарных векторов будет порождать все множество только
тех векторов, которые расположены в плоскости двух данных векторов
(плоскости, натянутой на эти два вектора). Здесь нам потребуется
понятие компланарности тройки векторов, которое необходимо и в
других вопросах математики (не только аналитической геометрии).
Определение 7. Векторы называются компланарными, если они
расположены либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Для построения базисов в V3особый интерес представляют тройки некомпланарных векторов. Докажем теорему 8.3.
Теорема 8.3. Тройка векторов в V3линейно зависима тогда и
только тогда, когда эти векторы компланарны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть три вектора a, b, c из V3компланарны. Поскольку у них общее начало, они (все три) расположены в
одной плоскости, проходящей через начало координат, обозначим ее π.
Если все эти векторы попарно параллельны, то они пропорциональны
и по теореме 8.1 образуют линейно зависимую систему векторов.
Пусть, например, вектор a не параллелен вектору b. Тогда они оба
ненулевые и по теореме 8.2 являются базисом для множества всех
векторов, расположенных в плоскости π. В этом случае вектор c
линейно выражается через векторы a и b, а тройка векторов a, b, c
линейно зависима.
Пусть теперь три вектора a, b, c линейно зависимы. Тогда один
из них можно выразить через остальные. Без ограничения общности
302 Глава 8. Векторная алгебра
можно считать, что вектор c линейно выражается через векторы a и b,
т.е. существуют такие действительные числа α и β, что выполняется
равенство:
c = αa + βb.
Теперь либо все три вектора коллинеарны, либо вектор c лежит в
плоскости векторов a и b. В любом случае векторы a, b, c компланарны. Теорема доказана.
Следствие. Любая тройка некомпланарных векторов в V3обра-
зует линейно независимую систему.
Линейное пространство A3имеет размерность три, значит, пространство геометрических векторов V3также трехмерно, а векторы
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) образуют его ортонормированный
базис. Теперь любой вектор OA с концом и точке A(α, β, γ) будем
записывать в виде:
OA = αi + βj + γk. (8.2)
Геометрически это означает, что вектор OA является диагональю в параллелепипеде, построенном на векторах αi, βj и γk как на сторонах.
Если a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k и t любое число, то
в силу изоморфизма V
∼
A3получаем
=
3
a + b = (α1+ α2)i + (β1+ β2)j + (γ1+ γ2)k, ta = tα1i + tβ1j + tγ1k.
(8.3)
Замечание 3. Из следствия теоремы 8.3 получается, что
любая тройка некомпланарных векторов образует базис этого
пространства.
Таким образом, верна теорема 8.4.
Теорема 8.4. Если a, b и c — три некомпланарных вектора в
трехмерном пространстве, то для любого вектора x из пространства
существуют однозначно определенные действительные числа α, β и γ
такие, что выполняется равенство
x = αa + βb + γc.
Базис i, j, j является частным случаем. Приведем другую формулировку теоремы 8.4.
Теорема 8.40. Любые три некомпланарных вектора в трехмерном
пространстве порождают множество всех векторов этого пространства
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 303
или образуют минимальную систему порождающих множества всех
векторов пространства.
В завершение этого параграфа рассмотрим понятие проекции
вектора на ось. Напомним, что осью называется любая прямая с
указанным на ней направлением.
Определение 8. Пусть на оси u расположен вектор a. Величиной
вектора на оси u называется число равное длине |a| вектора a, если
направления вектора и оси совпадают, и −|a|, если вектор и ось имеют
противоположные направления. Величина нулевого вектора считается
равной нулю.
Пусть a = AB — вектор и u — ось. Так как параллельные
векторы равных длин с одинаковым направлением равны, то (без
ограничения общности) мы можем считать, что точка A лежит на оси
u. Опустим из точки B перпендикуляр на ось u, а точку его основания
обозначим B0. Тогда на оси u получим направленный отрезок (вектор)
AB0.
Определение 9. Проекцией прua или прuAB вектора a = AB на
ось u называется величина вектора AB0на оси u.
Далее нам потребуется определение угла между вектором и осью.
Определение 10. Если имеются вектор a = AB и ось u, на
которой находится начало вектора a = AB (точка A), то между направлениями, одно из которых совпадает с направлением вектора a,
а другое — с направлением оси u, образуется угол с вершиной в
точке A. Этому углу (между a и u) можно поставить в однозначное
соответствие некое число — его величину (меру) ϕ. (рис. 8.5). В
радианной мере 0 6 ϕ < 2π, в градусной мере 0 6 ϕ < 360.
Замечание. Угол между двумя пересекающимися прямыми, вектором и осью и пр. есть по сути некоторая «геометрическая конфигурация», образованная этими двумя объектами, которую обычно
измеряют в градусах или радианах. Результат такого измерения —
это величина угла. Так исторически сложилось, что в математической
литературе часто словосочетание «величина угла» для краткости заменяют словом «угол». В дальнейшем изложении (если не будет особой
оговоренности) мы будем придерживаться этой традиции.
Следующая теорема дает метод вычисления проекции вектора на
ось.
Теорема 8.5. Проекция прua вектора a на ось u равна произве-
дению длины |a| этого вектора на косинус угла ϕ между a и u.
304 Глава 8. Векторная алгебра
B
u
ϕ
0
B
A
B
ϕ
u
A
0
B
Рис. 8.5
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a = AB. Без ограничения общности
можем считать, что точка A лежит на оси u. Обозначим через B
0
основание перпендикуляра, проведенного из точки B на ось u. Пусть
ϕ — угол между вектором a и осью u. Рассмотрим три случая взаим-
ного расположения вектора a и оси u: угол между ними острый, его
π
радианная величина 0 < ϕ <
, угол между ними тупой, его радианная
2
π
величина
< ϕ < π, и угол между ними прямой, его радианная
2
π
величина ϕ =
.
2
Если угол острый, то направление вектора AB0и оси u совпадают
и прua = |AB0|. Из 4ABB0получаем
прua = |AB0| = |a|cos ϕ.
Заметим, что в случае острого угла cos ϕ > 0 и поэтому прua > 0.
Пусть теперь угол тупой. В этом случае направление вектора
AB0и оси u противоположны и прua = −|AB0|. Теперь из 4ABB
|AB0| = |a|cos(π − ϕ). Тогда
0
прua = −|a|cos(π − ϕ) = |a|cos ϕ.
Поскольку сейчас угол тупой, то cos ϕ < 0 и прua < 0.
И наконец, рассмотрим случай, когда угол прямой ϕ =
π
точки A и B0совпадают, |AB0| = 0, cos
= 0 и
2
прua = 0 = |a|cos ϕ.
π
. Тогда
2
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 305
Теорема доказана.
Следствие. Если u и v есть две параллельные одинаково направ-
ленные оси, и a — вектор, то
прua = прva. (8.4)
Рассмотрим в декартовой прямоугольной системе координат
OXY Z вектор OA. Вернемся к формулам (8.1) OA = αi + βj (для
плоскости) и (8.2) OA = αi + βj + γk (для трехмерного пространства).
Теперь понятно, что
α = прOXOA, β = прOYOA, γ = прOZOA. (8.5)
Так как α, β, и γ — это координаты вектора OA в ортонормированном базисе i j k, то в декартовой прямоугольной системе координат
OXY Z координатами вектора OA будут проекции этого вектора на
координатные оси:
OA = (α, β, γ), (8.6)
и тогда вектор a = OA является диагональю в прямоугольном параллелепипеде со сторонами α, β и γ. Следовательно,
|a| = +pα2+ β2+ γ2. (8.7)
Ранее мы вектору OA из V3ставили в соответствие числовую
строку (α,β, γ) из A3. Теперь, согласно (8.4), в прямоугольной декартовой системе координат их можно отождествить.
Обозначим ϕ, ψ, и ϑ — величины углов между вектором a =
= OA = (α,β, γ) и осями координат OX, OY и OZ соответственно.
Тогда,
α = |a|cosϕ, β = |a|cosψ, γ = |a|cosϑ. (8.8)
Определение 11. Числа cosϕ, cosψ и cosϑ называют направляю-
щими косинусами вектора a.
В декартовой прямоугольной системе координат любой вектор однозначно определяется своими координатами, следовательно, из формулы (8.6) любой вектор однозначно определяется длиной и направляющими косинусами.
306 Глава 8. Векторная алгебра
Из соответствующих прямоугольных треугольников получаются
формулы вычисления направляющих косинусов вектора, если известны его координаты:
cosϕ =
α
+pα2+ β2+ γ
, cosψ =
2
+pα2+ β2+ γ
β
,
2
γ
cosϑ =
+pα2+ β2+ γ
. (8.9)
2
Докажем теорему 8.6.
Теорема 8.6. Проекция суммы векторов на произвольную ось
равна сумме проекций на эту ось векторов слагаемых. Проекция
произведения вектора на число равна произведению этого числа на
проекцию вектора сомножителя.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства первой части формулировки теоремы достаточно ограничиться двумя слагаемыми. Пусть
даны два вектора a, b и ось u. Сведем векторы к общему началу,
выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось
OX совпала с осью u, а начало векторов — с началом выбранной
системы координат. Пусть в этой системе координат
a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k.
В силу выбора системы координат получаем
α1= прOXa = прua, α2= прOXb = прub.
Из формул (8.3) следует
a + b = (α1+ α2)i + (β1+ β2)j + (γ1+ γ2)k,
ta = (tα1)i + (tβ1)j + (tγ1)k
и здесь также
α1+ α2= прOX(a + b) = прu(a + b), tα1= прOXta = прuta.
Таким образом,
прu(a + b) = прua + прub, прuta = tпрua. (8.10)
Теорема доказана.
§ 36. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами 307
Пример 1. Найти длину вектора a = 20i + 30j − 60k и его на-
правляющие косинусы.
Решение. Длина вектора, заданного в прямоугольной системе
координат, равна положительному значению корня квадратного из
суммы квадратов его координат:
|a| = +q202+ 302+ (−60)2= 70.
Направляющие косинусы:
cosϕ =
20
70
2
=
7
, cosψ =
30
70
3
=
7
, cosϑ =
−60
70
= −
6
.
7
Пример 2. В прямоугольной декартовой системе координат заданы две точки: A(1; 3; 2) и B(5; 8; −1). Найти координаты вектора
a = AB в этой системе координат.
Решение. Координатами вектора AB(α, β, γ) в данной прямо-
угольной системе координат будут соотвествующие проекции этого
вектора на координатные оси. Из определения 9 следует, что проекция
вектора AB на ось OX равна разности координат по этой оси конца
и начала вектора α = 5 −1 = 4. Аналогично вычисляются остальные
координаты: β = 8 − 3 = 5 и γ = −1 − 2 = −3. Таким образом,
a = (4; 5; −3) или a = 4i + 5j −3k.
Пример 3. Нормировать вектор a = 3i + 4j − 12k, т. е. найти
единичный вектор eaвектора a.
Решение. По определению
ea=
|a|
Поэтому вычисляем длину вектора a:
|a| = +q32+ 42+ (−12)2= 13.
Таким образом,
3i + 4j −12k
ea=
=
13
a
3
13
.
i +
4
13
j −
12
k.
13
308 Глава 8. Векторная алгебра
§ 37. Скалярное произведение двух векторов-отрезков
Все, что будет рассматриваться в этом параграфе, входит в программу средней школы. Тем не менее имеет смысл еще раз прочитать
этот материал, так как он необходим при изучении многих разделов
математики, физики, а также прямых и плоскостей в следующей главе.
Вначале сделаем общее замечание.
Замечание 4. Если a и b — два ненулевых вектора-отрезка,
приведенные к общему началу, то углом между этими векторами
будем считать тот, величина которого ϕ удовлетворяет неравенствам 0 6 ϕ 6 π. Так как каждый ненулевой вектор задает
вполне определенное направление, то можно считать, что угол
между двумя ненулевыми векторами является углом между их направлениями. Поскольку нулевой вектор направления не имеет, то
угол между двумя векторами, хотя бы один из которых является
нулевым, не определен. При этом считается, что нулевой вектор
одновременно и перпендикулярен, и параллелен любому вектору.
Принимая во внимание замечание к определению 10 настоящего параграфа, мы в дальнейшем часто будем употреблять слово
«угол» вместо словосочетания «величина угла». Может возникнуть
вопрос: почему ранее в главе «Евклидовы пространства» не было
подобных пояснений? Дело в том, что в этой главе понятие угла
между двумя векторами евклидова пространства вводится формально (без связи с «геометрическими конфигурациями»).
Определение скалярного произведения векторов-отрезков и свойства этого произведения даны в §27 (свойства приведены без доказательства).
Определение 12. Скалярным произведением двух ненулевых
векторов-отрезков a и b называется число, равное произведению длин
этих векторов на косинус угла ϕ между ними. Скалярное произведение
двух векторов, хотя бы один из которых является нулевым, считается
равным нулю:
(a, b) = |a||b|cos ϕ. (8.11)
Алгебраические свойства скалярного произведения векторовотрезков:
1) (a, b) = (b, a) — коммутативность скалярного произведения;
2) (a, b + c) = (a, b) + (a, c) — дистрибутивность скалярного
умножения относительно сложения векторов;
§ 37. Скалярное произведение двух векторов-отрезков 309
3) (αa,b) = α(a, b) — ассоциативность скалярного произведения
относительно умножения вектора на число;
4) ∀a (a, a) > 0, причем (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда
a = 0 — положительность скалярного квадрата любого ненулевого
вектора.
Прежде чем доказывать эти свойства, приведем другое, эквивалентное данному, определение скалярного произведения векторовотрезков. Заметим, что любой ненулевой вектор-отрезок a с фиксированным началом в некоторой декартовой системе координат определяет ось a, содержащую этот вектор и имеющую с ним одинаковое
направление. Рассмотрим формулу скалярного произведения:
(a, b) = |a||b|cos ϕ.
Но по теореме 8.5
|b|cos ϕ = прab.
Аналогично
|a|cos ϕ = прba.
Таким образом,
(a, b) = прab = прba. (8.12)
Определение 13. Скалярным произведением двух векторовотрезков называется число, равное произведению длины одного из
этих векторов на проекцию другого вектора из этой пары на ось,
определяемую первым вектором.
Докажем алгебраические свойства 1)–4).
Справедливость свойства 1 следует из формулы (8.11).
Для доказательства свойств 2 и 3 воспользуемся формулами
(8.10) и (8.12). Итак,
(a, b + c) = |a|прa(b + c) = |a|(прab + прac) =
= |a|прab + прac = (a, b) + (a, c),
(αa, b) = |b|прb(αa) = α|b|прba = α(a, b).
Из формулы (8.11) получаем (a, a) = |a||a|cos 0 = |a|2. То есть
скалярный квадрат вектора-отрезка равен квадрату длины этого вектора и поэтому будет неотрицательным числом. При этом скалярный
квадрат вектора равен нулю в том и только в том случае, когда вектор
является нулевым.
310 Глава 8. Векторная алгебра
Алгебраические свойства 1)–4) доказаны.
Замечание 5. Если необходимо вычислить скалярное произведение линейных комбинаций двух систем векторов-отрезков
k
X
i=1
αiai,
s
X
j=1
βjbj,
то, используя свойства 2 и 3, легко вывести формулу скалярного
произведения двух линейных комбинаций векторов-отрезков:
k
X
i=1
αiai,
s
X
j=1
βjb
j
=
k
X
i=1
s
X
αiβj(ai, bj). (8.13)
j=1
Предоставим вам самостоятельно получить эту формулу.
Далее рассмотрим геометрические свойства скалярного произведения векторов-отрезков.
Теорема 8.7. Два вектора-отрезка ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно
нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если хотя бы один из сомножителей является нулевым вектором, то в соответствии с замечанием 4 и определением 12 настоящего параграфа утверждение теоремы верно. Пусть
теперь ненулевые векторы a и b ортогональны. Обозначим через ϕ
угол между ними. Тогда ϕ =
π
, cos
2
π
= 0 и поэтому (a, b) = 0.
2
Пусть теперь (a, b) = 0. Тогда либо |a| = 0 (и тогда a = 0), либо
π
|b| = 0 (и тогда b = 0), либо cos ϕ = 0 (и тогда ϕ =
). В любом случае
2
векторы a и b ортогональны. Теорема доказана.
Теорема 8.8. Угол между двумя ненулевыми векторами-
отрезками a и b является острым (тупым) тогда и только тогда, когда
скалярное произведение этих векторов положительно (отрицательно).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы векторы a и b ненулевые и не перпендикулярные, поэтому в соответствии с формулой
(8.11) знак скалярного произведения (a, b) определяется знаком cos ϕ.
Поскольку угол ϕ между векторами не превосходит π, то cos ϕ > 0
тогда и только тогда, когда ϕ — острый, и cos ϕ < 0, когда ϕ — тупой.
Теорема доказана.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]