Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 40. Прямая на плоскости 341
или
2x + 3y − 11 = 0.
Пример 3. Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M (1, 3) перпендикулярно прямой 2x + 3y + 2 = 0.
Решение. Пусть L искомая прямая. По условию прямая L и
заданная прямая перпендикулярны, поэтому нормальный вектор n(2, 3)
заданной прямой можно взять в качестве направляющего вектора прямой L. А тогда прямую L можно записать каноническим уравнением:
x − 1
2
=
y − 3
,
3
или
3x − 2y + 6 = 0.
Пример 4. Показать, что прямые 3x − 5y + 3 = 0 и 10x + 6y −
− 1 = 0 перпендикулярны.
Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные
векторы. Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:
3 · 10 −5 · 6 = 0.
Данные прямые перпендикулярны.
Пример 5. Определить острый угол между прямыми 3x + y − 2 =
= 0 и 2x − y + 2 = 0.
Решение. Этот угол равен углу ϕ между нормальными векторами
данных прямых:
Следовательно,
Пример 6. Определить расстояние от точки M(1; 2) до прямой
2x − y + 7 = 0.
Решение. Воспользуемся формулой 9.24:
cos ϕ =
3 · 2 + 1 · (−1)
√
32+ 1
|2 − 2 ·2 + 7|
d =
√
p
2
22+ (−1)
ϕ =
22+ 1
π
4
2
.
2
=√5 .
=
√
2
.
2
342 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
§ 41. Плоскость
В этом параграфе мы рассмотрим только два вида уравнения
плоскости: общее и нормальное. Выводы этих уравнений плоскости
аналогичны рассуждениям, приведенным в пп. 1 и 5 §40.
1. Общее уравнение плоскости. Поставим, как и выше, следу-
ющую задачу.
Пусть в пространстве в декартовой прямоугольной системе координат OXY Z с началом в точке O даны точка M0(x0, y0, z0), ненулевой вектор n = (A, B, C) и плоскость π, проходящая через точку
M0перпендикулярно вектору n. Необходимо записать уравнение этой
плоскости.
Прежде всего заметим, что для каждой фиксированной точки M0(x0, y0, z0) и для каждого фиксированного ненулевого вектора
n = (A, B, C) в трехмерном пространстве существует единственная
плоскость, удовлетворяющая условию поставленной задачи.
Пусть M (x, y, z) — произвольная точка трехмерного пространства (рис. 9.5). Образуем два вектора: OM0и OM . Рассмотрим вектор
OM0−OM = M0M. Начало этого вектора M0находится на плоскости
π, а концом может быть любая точка M в пространстве. Выясним,
когда в условиях поставленной задачи точка M будет принадлежать
плоскости π.
n(A, B, C)
z
M0(x0, y0, z0)
π
M(x, y, z)
0
y
x
Рис. 9.5
§ 41. Плоскость 343
Очевидно, M ∈ π тогда и только тогда, когда вектор n перпендикулярен вектору M0M. Согласно теореме 8.7 скалярное произведение (n, M0M) равно нулю. Вектор M0M имеет координаты
(x − x0, y − y0, z − z0). Поэтому из формулы (8.14) получаем
(n, M0M) = A(x − x0) + B(y −y0) + C(z − z0) = 0.
Итак, мы получили уравнение
A(x − x0) + B(y −y0) + C(z − z0) = 0 (9.39)
плоскости π, проходящей через заданную точку M0с координатами (x0, y0, z0) перпендикулярно заданному вектору n с координатами (A, B,C). Таким образом, поставленная выше задача решена.
Поскольку на любой плоскости всегда можно выбрать точку, лежащую на ней, и выбрать ненулевой вектор, перпендикулярный к этой
плоскости, то любую плоскость можно задать уравнением (9.39).
Преобразуем уравнение (9.39):
A(x − x0) + B(y −y0) + C(z − z0) =
= Ax + By + Cz + (−Ax0− By0− Cz0) = 0.
Обозначим D = (−Ax0− By0− Cz0) и запишем уравнение (9.39) в
виде
Ax + By + Cz + D = 0. (9.40)
Это уравнение первой степени относительно трех переменных x, y и
z.
Определение 8. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к
данной плоскости π, называется нормальным вектором этой плоскости
π.
Определение 9. Уравнение (9.40) называется общим уравнением
плоскости в трехмерном пространстве с нормальным вектором n =
= (A, B, C).
Итак, мы выяснили, что любую плоскость в трехмерном пространстве можно задать уравнением первой степени относительно трех
переменных.
Пусть теперь OXY Z — произвольная фиксированная декартова
прямоугольная система координат и задано уравнение первой степени
Ax + By + Cz + D = 0, (9.41)
344 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
в котором коэффициенты A, B, C и D — любые действительные числа
с условием, что A, B и C не равны нулю одновременно. Алгебраическое уравнение (9.41) имеет хотя бы одно решение (x0, y0, z0), т.е.
выполняется равенство
Ax0+ By0+ Cz0+ D = 0, (9.42)
Вычтем из уравнения (9.41) равенство (9.42) и получим уравнение
A(x − x0) + B(y −y0) + C(z − z0) = 0, (9.43)
равносильное уравнению (9.41). Пусть M (x0, y0, z0) — точка на плоскости и n = (A, B, C) — вектор в выбранной системе координат. Покажем, что уравнение (9.43) в выбранной системе координат определяет
в пространстве плоскость π, проходящую через точку M(x0, y0, z0)
перпендикулярно вектору n = (A, B, C). Такая плоскость π определяется однозначно, поскольку коэффициенты A, B и C не равны нулю
одновременно. Выберем произвольно точку M(x, y, z) ∈ π, тогда ее
координаты удовлетворяют уравнению (9.43), поскольку вектор M0M в
этом случае перпендикулярен вектору n = (A, B,C), и тогда скалярное
проиведение этих векторов
A(x − x0) + B(y −y0) + C(z − z0)
равно нулю. Таким образом, координаты любой точки плоскости π
удовлетворяют уравнению (9.43).
Пусть точка N(x0, y0, z0) /∈ π. Тогда вектор M0N не будет ортогонален вектору n = (A, B, C), и поэтому их скалярное произведение
A(x0− x0) + B(y0− y0) + C(z − z0)
нулю не равно, и поэтому координаты (x0, y0, z0) произвольной точки
N /∈ π не удовлетворяют уравнению (9.43). Следовательно, в соответ-
ствии с определением 1 настоящей главы уравнение (9.43) определяет
в выбранной системе координат плоскость, проходящую через точку
M(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору n = (A, B, C), и значит, уравнение (9.41) задает в пространстве плоскость с нормальным вектором
n = (A, B, C).
5. Нормальное уравнение плоскости. Нормальное уравнение
плоскости является частным, но специальным видом общего уравнения
плоскости. Как и выше в §40, с помощью этого уравнения получим
формулу нахождения расстояния от данной точки до данной плоскости.
§ 41. Плоскость 345
Пусть на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат OXY Z с началом в точке O дана плоскость π. Опустим из
начала координат O на плоскость π перпендикуляр, а точку пересечения перпендикуляра с плоскостью π обозначим P. Длину отрезка
OP обозначим p. На отрезке OP возьмем вектор n0единичной длины,
направление которого совпадает с направлением вектора OP. Обозначим через α, β γ углы между вектором n0и осями OX, OY и OZ
соответственно. Тогда координаты этого вектора будут
n0= (cos α, cos β, cos γ). (9.44)
Обозначим через n0ось, определяемую вектором n0(рис. 9.6.). Точка
M(x, y, z) пространства тогда и только тогда будет лежать на плоско-
сти π, когда
пр
OM = p. (9.45)
n
0
z
P
M(x, y, z)
γ
n
0
α
β
0
x
Рис. 9.6
Так как n0— вектор единичной длины, то из формул (8.12) и
(9.45) получаем
|n0|пр
OM = (n0, OM ) = p. (9.46)
n
0
Координаты векторов сомножителей известны:
n0= (cos α, cos β, cos γ), OM = (x − 0, y −0, z − 0) = (x, y, z),
π
y
поэтому можем вычислить скалярное произведение
(n0, OM ) = x cos α + y cos β + z cos γ. (9.47)
346 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
Теперь из равенств (9.45), (9.46) и (9.47) получаем уравнение
x cos α + y cos β + z cos γ −p = 0, (9.48)
которое называется нормальным уравнением плоскости π.
6. Расстояние от точки до плоскости. Пусть в пространстве в
декартовой прямоугольной системе координат OXY Z с началом в точке O дана плоскость π и M0(x0, y0, z0) — произвольная фиксированная
точка пространства. Найдем расстояние d от точки M0до плоскости
π. Для вычисления этого расстояния опустим из начала координат O
на плоскость π перпендикуляр и точку пересечения перпендикуляра с
плоскостью π обозначим P. Длину отрезка OP обозначим p. На отрезке OP возьмем вектор n0единичной длины, направление которого
совпадает с направлением вектора OP . Обозначим через α, β γ углы
между вектором n0и осями OX, OY и OZ соответственно. Тогда
координаты этого вектора будут
n0= (cos α, cos β, cos γ). (9.49)
Пусть n0— ось, определяемая вектором n0(рис. 9.7).
Если точки O и M0расположены по разные стороны от плоскости
π, то
пр
OM0= p + d.
n
0
Если точки O и M0расположены по одну сторону от плоскости π, то
пр
OM0= p − d.
n
0
Если плоскость π проходит через точку O, то вектор n0следует
направить в то полупространство от π, в которой лежит точка M0. В
этом случае
пр
OM0= 0 − d, (p = 0).
n
0
Таким образом, при любом взаимном расположении точек O и M
справедливо равенство
0
d = |пр
OM0− p|.
n
0
Если воспользоваться формулой (8.12),
d = |пр
OM0− p| = ||n0|пр
n
0
OM0− p| = |(n0, OM0) − p|.
n
0
§ 41. Плоскость 347
z
d
π
n
P
0
0
y
x
Рис. 9.7
Запишем координаты векторов сомножителей
n0= (cos α, cos β, cos γ), OM0= (x0− 0, y0− 0, z0− 0) = (x0, y0, z0)
для вычисления скалярного произведения:
(n0, OM0) = x0cos α + y0cos β + z0cos γ. (9.51)
(9.50)
Окончательно получаем формулу вычисления расстояния d от точки
M0до плоскости π:
d = |x0cos α + y0cos β + z0cos γ −p|. (9.52)
Таким образом, расстояние d от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости π
равно модулю выражения, полученного после подстановки в левую
часть нормального уравнения (9.48) плоскости π вместо переменных x, y и z координат x0, y0и z0точки M0соответственно.
Плоскость в пространстве редко задают нормальным уравнением,
его используют в специфических ситуациях. Как правило, для задания
плоскости применяют общее уравнение. Поэтому формулу (9.52) расстояния от точки до плоскости необходимо переписать так, чтобы она
выражалась только через коэффициенты общего уравнения плоскости.
Покажем, как привести общее уравнение плоскости π
Ax + By + Cz + D = 0 (9.53)
348 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
с нормальным вектором, координаты которого n(A, B, C), к нормальному виду
x cos α + y cos β + z cos γ −p = 0, (9.54)
где (cos α, cos β, cos γ) координаты также нормального вектора n0этой
же плоскости π, но обязательно единичной длины. Поскольку векторы
n(A, B, C) и n0(cos α, cos β, cos γ) перпендикулярны к одной плоскости
π, то они параллельны, а значит, из следствия теоремы 8.13 их коорди-
наты пропорциональны, т. е. найдется число µ такое, что выполняются
равенства
µA = cos α, µB = cos β, µC = cos γ, µD = −p. (9.55)
После возведения в квадрат первых двух равенств (9.55) и сложения
результатов получается µ2(A2+ B2+ C2) = 1 (предоставляем студентам получить это равенство самостоятельно) и тогда
µ = ±
√
A2+ B2+ C
. (9.56)
2
Число µ в формуле (9.56) называется нормирующим множителем.
Теперь надо выяснить, как для каждого общего уравнения плоскости
выбирать знак µ. Поскольку число p является расстоянием, то p > 0.
А тогда из последнего равенства (9.55) ясно, что знак µ должен быть
противоположен знаку D.
В завершение приведем формулу вычисления расстояния d от
точки M0(x0, y0, z0) до плоскости π, заданной общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0.
Из (9.55) получаем
d = |Aµx0+ Bµy0+ Cµz0+ Dµ|, (9.57)
где µ — нормирующий множитель, и знак µ противоположен знаку D.
7. Уравнение плоскости, проходящей через три различ-
1
ные точки, не лежащие на одной прямой. Пусть в пространстве заданы три фиксированные точки — M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)
и M3(x3, y3, x3), не лежащие на одной прямой. Выведем уравнение плоскости π, проходящей через эти точки. Рассмотрим векторы
M1M2(x2− x1, y2− y1, z2− z1) и M1M3(x3− x1, y3− y1, z3− z1). По-
скольку точки M1, M2и M3не лежат на одной прямой, то векторы
M1M2и M1M3не коллинеарны. Если M(x, y, z) — произвольная точка
§ 42. Прямая в пространстве 349
трехмерного пространства, то M ∈ π тогда и только тогда, когда
векторы M1M2, M1M3и M1M компланарны, т. е. когда смешанное
произведение этих векторов равно нулю (см. следствие 2 теоремы
8.14). Вектор M1M имеет координаты (x − x1, y −y1, z −z1), поэтому
из следствия теоремы 8.15 получаем
x − x1y − y1z − z
x2− x1y2− y1z2− z
x3− x1y3− y1z3− z
1
= 0 (9.58)
1
1
– уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1, y1, z1),
M2(x2, y2, z2) и M3(x3, y3, x3), не лежащие на одной прямой.
8. Пучки плоскостей.
Определение 10. Пусть в пространстве дана прямая L. Множе-
ство всех плоскостей, проходящих через прямую L, называется пучком
плоскостей с центром в L.
Абсолютно аналогично теореме 9.1 формулируется и доказывается теорема 9.2.
Теорема 9.2. Пусть
A1x + B1y + C1z + D1= 0 и A2x + B2y + C2z + D2= 0
уравнения двух непараллельных плоскостей π1и π2, пересекающихся
по некоторой прямой L, а α и β — любые, не равные одновременно
нулю, числа. Тогда уравнение
α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (9.59)
однозначно определяет пучок плоскостей с центром в L, т. е. для
любых не равных одновременно нулю чисел α и β уравнение (9.59)
определит плоскость, проходящую через прямую L, и наоборот, если
π — плоскость, проходящая через прямую L, то существуют такие
числа α и β, для которых (9.59) будет общим уравнением плоскости
π.
Доказательство этой теоремы предлагаем студентам провести
самостоятельно.
§ 42. Прямая в пространстве
Прямую в пространстве можно задавать разными типами уравнений. Мы рассмотрим основные, наиболее используемые.
350 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
1. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Поставим
задачу.
Пусть в пространстве в декартовой прямоугольной системе координат OXY Z с началом в точке O даны точка M0(x0, y0, z0), ненулевой
вектор q = (m, n, p) и прямая L, проходящая через точку M0параллельно вектору q. Записать уравнение этой прямой.
Сначала заметим, что прямая, удовлетворяющая условию поставленной задачи, всегда может быть построена и притом единственным
образом.
Пусть M(x, y,z) — произвольная точка пространства (рис. 9.8).
Образуем два вектора: OM0и OM. Рассмотрим вектор OM0− OM =
= M0M. Начало этого вектора M0находится на прямой L, а концом
может быть любая точка M пространства. Необходимо выяснить, при
каких условиях точка M будет принадлежать прямой L. Очевидно,
что M ∈ L тогда и только тогда, когда вектор q будет параллельным
вектору M0M. Тогда по следствию теоремы 8.13 координаты этих векторов должны быть пропорциональны. Вектор M0M имеет координаты
(x − x0, y − y0, z − z0). Получаем каноническое уравнение
x − x
m
y − y
0
=
n
z − z
0
=
0
(9.60)
p
прямой L на плоскости, проходящей через заданную точку M0с координатами (x0, y0, z0) параллельно заданному вектору q с координатами
(m, n, p). Поставленная задача решена.
Определение 11. Любой ненулевой вектор, параллельный к данной прямой L, называется направляющим вектором этой прямой L.
Поскольку на любой прямой всегда можно выбрать точку, лежащую на ней, и выбрать направляющий вектор, то любую прямую в
пространстве можно задать уравнением (9.60).
Замечание 10. Как и в случае канонического уравнения прямой
на плоскости, одна или две из координат ненулевого вектора
q = (m, n, p) могут равняться нулю, то в уравнении (9.60) в од-
ном или в двух знаменателях могут стоять нули (в этом случае
выражение (9.60) плоскость задет, но формально уравнением не
является). В таком случае надо обратиться к замечанию 7 §38.
2. Векторное уравнение прямой в пространстве. Вывод век-
торного уравнения прямой в пространстве ничем не отличается от
аналогичного для прямой на плоскости. Тем не менее мы его повторим.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]