Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 42. Прямая в пространстве 351
z
q(m, n, p)
M0(x0, y0, z0)
r − r
r
0
0
M(x, y, z)
r
0
y
L
x
Рис. 9.8
Рассмотрим рис. 9.8. Обозначим r0= OM0и r = OM . Далее,
OM = OM0+ M0M. (9.61)
Так как вектор M0M параллелен вектору q, то при любом положении
точки M на прямой L всегда существует число t, зависящее от положения точки M на прямой L такое, что
M0M = tq.
Тогда равенство можно переписать в виде
r = r0+ tq, (9.62)
где t является переменным параметром. Поскольку M пробегает все
точки прямой L, то −∞ < t < +∞.
Определение 12. Уравнение (9.62) называется векторным уравнением прямой L, проходящей через конец заданного вектора r0с
направляющим вектором q. При этом переменный вектор r будет
годографом этой прямой, т. е. при непрерывном изменении параметра
t от −∞ до +∞ конец вектора r прорисует все точки прямой L.
3. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Па-
раметрические уравнения прямой в пространстве, так же как для прямой на плоскости, легко получаются из векторного уравнения (9.62).
Запишем это уравнение в координатной форме:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(m, n, p).
352 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
Приравнивая координаты левой и правой части этого равенства, получим
x = x0+ tm,
y = y0+ tn,
z = z0+ tp.
(9.63)
Определение 13. Уравнения (9.63) называются параметрическими уравнениями прямой L.
Замечание 11. Исключив параметр t в уравнениях (9.63),
получим каноническое уравнение (9.60) этой прямой. И наоборот,
введя параметр t
x − x
t =
m
y − y
0
=
n
z − z
0
=
0
,
p
можно из канонического уравнения (9.60) прямой получить ее параметрические уравнения.
4. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие
уравнения прямой в пространстве.
Пусть в пространстве выбраны две непараллельные плоскости π
и π2, пересекающиеся по прямой L.
π1: A1x + B1y + C1z + D1= 0,
L :
π2: A2x + B2y + C2z + D2= 0.
Любая точка M (x, y, z) ∈ L принадлежит каждой плоскости π1и π2,
поэтому ее координаты удовлетворяют каждому уравнению этих плоскостей. Если координаты некоторой точки удовлетворяют каждому
уравнению плоскостей π1и π2, то данная точка прнадлежит каждой из
плоскостей π1и π2и поэтому принадлежит прямой L. Таким образом,
следующая система уравнений однозначно определяет в пространстве
прямую L:
A1x + B1y + C1z + D1= 0,
(9.64)
A2x + B2y + C2z + D2= 0.
1
Уравнения (9.64), рассматриваемые совместно, называются общим
уравнением прямой в пространстве.
Если пространственная прямая L задана каноническим уравнением
x − x
m
y − y
0
=
n
z − z
0
=
0
, (9.65)
p
§ 42. Прямая в пространстве 353
то легко получить общее уравнение этой прямой. Достаточно заметить, каждое из уравнений:
x − x
m
y − y
0
=
n
y − y
0
и
n
z − z
0
=
0
(9.66)
p
можно рассматривать как уравнение первого порядка от трех переменных x, y и z. Поэтому каждое из уравнений (9.66) задает в
пространстве плоскости π1и π2соответственно. Перепишем уравнения
(9.66) иначе:
π1: n(x −x0) − m(y − y0) + 0(z − z0) = 0,
π2: 0(x −x0) + p(y − y0) − n(z − z0) = 0.
Если предположить, что плоскости π1и π2параллельны, то параллельными будут их нормальные векторы, а из следствия теоремы 8.13
получим, что координаты нормальных векторов плоскостей π1и π
будут пропорциональны:
n
−m
=
0
p
=
0
. (9.67)
−n
2
Сравнивая поочередно пропорции (9.67), получим
m = n = p = 0.
Но тогда направляющий вектор прямой (9.65) будет нулевым, что
невозможно. Поэтому плоскости π1и π2не параллельны и, значит,
пересекаются. Очевидно, что
L = π1∩ π
2
и тогда общими уравнениями прямой L будет следующая система
уравнений:
x − x
m
y − y
n
y − y
0
=
0
,
n
z − z
0
=
0
.
p
Теперь наоборот, пусть прямая L задана общими уравнениями
A1x + B1y + C1z + D1= 0,
(9.68)
A2x + B2y + C2z + D2= 0.
12 Б.К. Дураков
354 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
Получим каноническое уравнение прямой L. Для составления канонического уравнения прямой надо знать координаты точки, лежащей на
этой прямой, и координаты любого ее направляющего вектора. Каждое
уравнение системы (9.68) задает в пространстве плоскость:
π1: A1x + B1y + C1z + D1= 0,
π2: A2x + B2y + C2z + D2= 0.
Система (9.68) линейных уравнений совместна, так как
π1∩ π2= L
и тройки координат всех точек прямой L образуют все решения системы (9.68) и наборот. Пусть (x0, y0, z0) — одно из решений системы
(9.68), тогда точка M0(x0, y0, z0) ∈ L. Осталось найти направляющий
вектор прямой L.
Нормальные векторы n1= (A1, B1, C1) и n2= (A2, B2, C2) перпендикулярны плоскостям π1и π2соответственно, поэтому они оба
перпендикулярны любой прямой, расположенной в соответствующей
плоскости. Поскольку прямая L находится в каждой из плоскостей π
и π2, то n1⊥ L и n2⊥ L. Но тогда векторное произведение [n1, n2] k L
и вектор [n1, n2] можно взять как направляющий вектор прямой L. Из
формулы (8.25) получаем
[n1, n2] =
i j k
A1B1C
A2B2C
=
B1C
B2C
1
2
1
i −
2
A1C
A2C
1
j +
2
A1B
A2B
1
k.
2
Используя координаты направляющего вектора прямой L, запишем
каноническое уравнение этой прямой:
x − x
B1C
B2C
0
=
1
2
−
y − y
A1C
A2C
=
z − z
A1B
A2B
0
. (9.69)
1
2
0
1
2
1
§ 43. Взаимное расположение плоскостей,
прямых и прямой с плоскостью в пространстве
В этом параграфе рассмотрим вопросы, связанные со взаимным
расположением всех геометрических объектов первого порядка, расположенных в трехмерном пространстве: двух плоскостей; двух прямых
в пространстве; прямой и плоскости. С каждым из перечисленных
§ 43. Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой с плоскостью в пространстве 355
объектов можно связать вектор или нормальный, или направляющий.
Как и в аналогичной ситуации, связанной со взаимным расположением
двух прямых на плоскости, нас, прежде всего, будут интересовать
вопросы параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых
и прямой с плоскостью. Все эти вопросы решаются измерением угла
между двумя из перечисленных геометрических объектов и в конце
концов между связанными с ними векторами. Вопросы, перечисленные
в заголовке, будем рассматривать отдельно и поочередно.
1. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Пусть
даны две плоскости π1и π2:
π1: A1x + B1y + C1z + D1= 0 и π2: A2x + B2y + C2z + D2= 0.
Очевидно, что двухгранный угол ϕ между этими плоскостями равен
линейному углу между нормальными векторами n1(A1, B1, C1) и
n2(A2, B2, C2) плоскостей π1и π2. Из формулы (8.17) получаем
cos ϕ =
(n1, n2)
|n1||n2|
=
p
A
A1A2+ B1B2+ C1C
1
2
+ B
1
2
+ C
2
1
p
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
. (9.70)
2
2
Условие перпендикулярности плоскостей π1и π2, заданных общими
уравнениями, получаем из следствия 1 теоремы 8.9:
A1A2+ B1B2+ C1C2= 0. (9.71)
Условие параллельности плоскостей π1и π2, заданных общими
уравнениями, получаем из следствия теоремы 8.13:
A
A
B
1
=
B
2
C
1
2
=
1
. (9.72)
C
2
При этом плоскости π1и π2, заданные общими уравнениями, сов-
падают тогда и только тогда, когда выполняются равенства
A
A
B
1
=
B
2
C
1
=
C
2
D
1
2
=
1
. (9.73)
D
2
2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Посколь-
ку каноническое уравнение, векторное и параметрические уравнения
прямой в пространстве легко взаимозаменяемы, то взаимное расположение прямых в пространстве для всех трех типов уравнений мы
рассмотрим только для канонического уравнения прямых. Если две
прямые или одна из двух прямых заданы общими уравнениями (9.64),
12*
356 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
то эти уравнения с помощью формулы (9.69) также следует перевести
в канонические (или в каноническое) уравнения.
Пусть теперь обе прямые L1и L2заданы каноническими уравнениями:
L1:
x − x
m
1
y − y
1
=
n
1
z − z
1
=
1
p
и L2:
1
x − x
m
2
y − y
2
=
n
2
z − z
2
=
2
,
p
2
проходящие через точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) с направляющими векторами q1(m1, n1, p1) и q2(m2, n2, p2) соответственно. В отличие
от случая расположения двух прямых на плоскости (где эти прямые
либо параллельны, либо пересекаются) в пространстве прямые L1и
L2могут быть скрещивающимися.
Условие пересечения или совпадения прямых L1и L2. Вначале
выясним, когда прямые L1и L2могут лежать или не лежать в одной
плоскости (являться или не являться компланарными). Очевидно, что
для компланарности прямых L1и L2(т.е. их пересечения или совпадения) необходимым и достаточным условием будет компланарность
трех векторов: M1M2, q1(m1, n1, p1) и q2(m2, n2, p2), т. е. должно выполняться равенство
x1− x2y1− y2z1− z
m
m
1
2
n
n
1
2
2
p
= 0.
1
p
2
Следовательно, прямые L1и L2в пространстве не пересекаются тогда
и только тогда, когда это равенство не выполняется.
Определение 14. Под углом между прямыми L1и L2, заданными
каноническими уравнениями, будем понимать угол ϕ 6 90◦между
направляющими векторами q1(m1, n1, p1) и q2(m2, n2, p2) этих прямых.
Применяя (8.17), получаем
cos ϕ =
(q1, q2)
|q1||q2|
=
p
m
m1m2+ n1n2+ p1p
2
1
+ n
2
1
+ p
2
1
p
m
2
2
2
+ n
2
2
+ p
2
2
(9.74)
– формулу для вычисления угла ϕ между прямыми L1и L2.
Условие перпендикулярности прямых L1и L2, заданных каноническими уравнениями, получаем из следствия 1 теоремы 8.9:
m1m2+ n1n2+ p1p2= 0. (9.75)
§ 43. Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой с плоскостью в пространстве 357
Условие параллельности прямых L1и L2, заданных каноническими уравнениями, получаем из следствия теоремы 8.13:
m
m
n
1
=
n
2
p
1
2
=
1
. (9.76)
p
2
3. Взаимное расположение прямой и плоскости в простран-
стве. Пусть плоскость π задана общим уравнением, прямая L —
каноническим:
π : Ax + By + Cz + D = 0 и L :
x − x
m
y − y
0
=
n
z − z
0
=
0
.
p
Обозначим через ϕ — угол между плоскостью π и прямой L (ϕ 6 90◦)
и ψ — угол между нормальным вектором n(A, B, C) плоскости π и
направляющим вектором q(m, n, p) прямой L (рис. 9.9) При любом
взаимном расположении векторов n и q будет выполняться равенство
ψ = 90◦± ϕ, тогда sin ϕ = cosψ.
Значит,
sin ϕ = cosψ =
(n, q)
|n||q|
=
√
A2+ B2+ C
Am + Bn + Cp
p
2
m2+ n2+ p
2
(9.77)
есть формула вычисления угла между плоскостью π и прямой L.
n(A, B, C)
q(m, n, p)
ψ
ϕ
Рис. 9.9
Плоскость π и прямая L параллельны тогда и только тогда, когда
нормальный вектор n плоскости π перпендикулярен направляющему
вектору q прямой L и наоборот, плоскость π перпендикулярна прямой
L тогда и только тогда, когда нормальный вектор n плоскости π
параллелен направляющему вектору q прямой L. Поэтому,
358 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
условие параллельности плоскости π и прямой L:
Am + Bn + Cp = 0; (9.78)
условие перпендикулярности плоскости π и прямой L:
A
m
=
B
n
C
=
. (9.79)
p
Условие принадлежности прямой L к плоскости π. Если прямая L лежит в плоскости π, то, во-первых, L и π должны быть
параллельными и, во-вторых, иметь общую точку, например, точку
M0(x0, y0, z0), т.е. координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости π.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку M(2; −1; 3) перпендикулярно вектору n = 2i + j − 3j.
Решение. Воспользуемся формулой 9.39:
2(x − 2) + (y + 1) − 3(z − 3) = 0, или 2x + y −3z + 6 = 0.
Пример 2. Найти расстояние от точки M(1; −2; 1) до плоскости
6x + 3y − 2z − 1 = 0.
Решение. Применим формулу 9.57:
|6 + 3 ·(−2) + (−2) · 1 − 1|
d =
p
62+ 32+ (−2)
2
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
M(1; −1; 1) параллельно вектору l = 2i + 3j −4j.
Решение. Воспользуемся каноническим уравнением прямой в
пространстве
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z − 1
.
−4
=
3
.
7
§ 43. Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой с плоскостью в пространстве 359
Упражнения для самостоятельной работы
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; −1; 0),
M2(2; 1; 3) и M3(2; −1; 4).
2. Найти угол между плоскостями 2x + y −2z −5 = 0 и 3x + 6y −2z −
− 1 = 0.
3. Найти расстояние от точки M(2; 1; −1) до плоскости x −y + z + 1 =
= 0.
4. Найти расстояние между параллельными плоскостями x −2y + 2z −
− 2 = 0 и 2x − 4y + 4z + 1 = 0.
5. Найти угол между прямыми
x + 2y + z − 1 = 0,
x − y − z − 1 = 0,
и
x − 2y + z + 1 = 0
6. Найти угол между прямой
x − y + 2z + 1 = 0.
x + y + 3z = 0,
и плоскостью x − y −z + 1 = 0.
x − y − z = 0
7. Написать уравнение прямой, проходящей через точки M (1; −1; 1) и
N(2; 3; 5).
8. Прямая L проходит через точки M (2; −1; 3) и N(0; 2; −1). Найти
координаты точки пересечения прямой L с плоскостью 3x − 2y + z = 0.
9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(1; 2; 1)
перпендикулярно плоскости x + 2y − z = 0.
10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 2; 1)
перпендикулярно прямой
x + 2y − z − 1 = 0,
2x + y − z + 1 = 0.
Г л а в а 10
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КРИВЫЕ
И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе будет приведен список геометрических объектов на
плоскости и в пространстве, которые задаются уравнениями второй
степени от двух или трех переменных. Кроме нескольких вырожденных случаев, это будут кривые (на плоскости) и поверхности второго
порядка. Мы не будем изучать связь между геометрическими свойствами кривых и поверхностей и алгебраическими характеристиками
уравнений, задающих конкретные кривые или поверхности. На изучение этих вопросов требуется достаточно много времени, которого нет
в современных учебных планах. Все это подробно изучено и описано в многочисленной литературе по аналитической геометрии. Цель,
которую мы здесь ставим, состоит в том, чтобы научить читателя
распознавать кривые и поверхности по их общим уравнениям.
§ 44. Преобразование декартовых прямоугольных
координат на плоскости и в пространстве
Забегая вперед, заметим, что на плоскости существует только
три типа кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола. Если
в выбранной декартовой прямоугольной системе координат произвольным образом расположить эллипс, гиперболу и параболу, то алгебраические уравнения, задающие в данной системе координат каждую
из этих кривых, будут настолько близки, что по их виду сказать
определенно, какую из кривых каждое из них задает, как правило,
невозможно. Выяснить это можно только в том случае, когда кривая в
выбранной системе координат расположена «особым образом». В дальнейшем такое расположение будем называть каноническим. Уравнение
кривой в этом случае будет иметь специфический вид, который мы
будем также называть каноническим. Канонические виды каждого из
трех перечисленных типов кривых имеют характерные различия, что
позволит по виду канонического уравнения определять тип кривой.
То же самое относится и к поверхностям второго порядка. Поскольку
на плоскости и в пространстве можно выбирать разные декартовы
прямоугольные системы координат, то ясно, что для данного уравне-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]