Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 34. Некоторые алгебры с одной бинарной операцией 281
Определение 9. Если операция в группоиде (G; ∗) ассоциативна,
то он называется полугруппой.
Теорема 7.2. Если элемент a полугруппы (G; ∗) с нейтральным
элементом σ имеет обратный (в том числе или правый, или левый), то
он единственный для a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала b — правый, а c — левый
обратные для a. Тогда
c ∗ a ∗b = (c ∗ a) ∗ b = σ ∗b = b,
c ∗ a ∗b = c ∗ (a ∗ b) = c ∗σ = c.
Значит, c = b — обратный элемент для a. Аналогично показывается,
что обратный элемент (если он существует) для a будет единственным.
Теорема доказана.
В качестве примеров полугрупп можно привести группоиды
(K; ·), (R;·) и (Q; ·). Операция в этих группоидах коммутативна и
ассоциативна, но для одного элемента — числа нуль — в них нет
обратного элемента.
Особую роль в математике играют следующие полугруппы.
Определение 10. Группоид (G; ∗) называется группой, если вы-
полняются свойства:
1) операция ∗ ассоциативна;
2) в (G; ∗) существует нейтральный элемент σ;
3) для каждого элемента g ∈ G существует обратный элемент
g0∈ G.
Группы с коммутативной операцией называются коммутативными, или абелевыми (немецкий математик Н. Х. Абель). Если из контекста известна операция ∗ группы (G; ∗), то вместо (G; ∗) можно
писать G. Количество элементов конечной группы G называется порядком этой группы и обозначается |G|. Таким образом, если число
элементов в группе G равно n, то |G| = n.
Определение 11. Подмножество G1⊆ G называется подгруппой
группы (G; ∗), если G1замкнуто и является группой относительно
операции ∗.
Применяется терминология:
1) группы (G; ·) называют мультпликативными, операцию (·) —
умножением; при этом нейтральный элемент чаще всего записывают
символом 1 или e, а обратный для g ∈ G элемент записывают как g−1;
282 Глава 7. Основные алгебраические структуры
2) группы (G; +) называют аддитивными, операцию (+) — сложением; при этом нейтральный элемент чаще всего записывают символом 0 или o, а обратный для g ∈ G элемент называют противоположным и записывают как −g.
Рассмотрим несколько примеров групп.
Пример 1. Группоиды (K; +), (R; +), (Q; +), (Z; +) есть беско-
нечные аддитивные абелевы группы; во всех случаях нейтральным
элементом будет число 0, а противоположным для элемента (числа) g
из любой перечисленной группы — элемент (число) −g. Так как
Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ K
и операция +, определенная в K, — это операция сложения и действительных, и рациональных и целых чисел (при этом везде она замкнута), то (Z; +) — подгруппа групп (Q; +), (R; +) и (K; +); далее, (Q; +)
является подгруппой групп (R; +) и (K;+) и, наконец, (R;+) есть
подгруппа группы (K; +). Нетрудно убедиться, что одноэлементное
множество {0} — это конечная подгруппа всех групп этого примера.
Пример 2. Группоиды (K0; ·), (R0; ·), (Q0; ·) — бесконечные
мультипликативные абелевы группы; во всех случаях нейтральным
элементом будет число 1, а обратным для элемента (числа) g из любой
перечисленной группы — элемент (число) g−1. Как и в предыдущем
примере, (Q0; ·) — это подгруппа групп (R0; ·) и (K0; ·), а группа
(R0; ·) — подгруппа группы (K0; ·). Легко проверить, что одноэлемент-
ное множество {1} и двухэлементное {1, −1} есть конечные подгруппы
перечисленных в этом примере групп.
Пример 3. Обозначим через G = h1 = ε1, ε2, . .. , εni множе-
ство всех значений корня n-ой степени из единицы (см. гл. 1, §3
настоящего пособия). Таким образом, ε
n
= 1 для всех i = 1, 2, . .. , n.
i
Тогда (εiεj)n= 1 для любых i, j = 1, 2, ... , n, поэтому εiεjявляется
одним из значений корня n-ой степени из единицы, εiεj∈ G, т. е.
операция умножения на G замкнута. Далее, если ε ∈ G — любой
корень n-ой степени из единицы, εn= 1, то из εε−1= 1, следует
1 = (ε · ε−1)n= εn·(ε−1)n, т. е. (ε−1)n= 1, (ε)−1∈ G. Этим доказано, что
G = h1 = ε1, ε2, .. . , εni — конечная подгруппа порядка n бесконечной
группы (K0; ·).
Пример 4. Пусть V множество элементов действительного ли-
нейного пространства Vnс бинарной опрерацией + (см. гл. 5, §22).
Очевидно, что (V ; +) — группоид. Из определения линейного пространства ясно, что для любого целого неотрицательного n (V ; +) —
§ 34. Некоторые алгебры с одной бинарной операцией 283
будет бесконечной аддитивной абелевой группой. Все подпространства
W ∈ V по операции + образуют подгруппы (W ; +) группы (V ; +). В
частности, все An(арифметические пространства, см. гл. 4, §16) по
сложению — бесконечные аддитивные абелевы группы и для любых
целых неорицательных k 6 n Ak⊆ An— подгруппы группы (An; +).
Пример 5. Множество G всех квадратных матриц порядка n
с действительными элементами образует для каждого натурального
n группоиды (G;·), но все они (при n > 2) не будут группами по
отношению к операции умножения, так как в общем случае квадратная матрица не имеет обратной. Если Γ ⊂ G — подмножество всех
невырожденных матриц, то из свойств операции умножения матриц
и свойства определителя произведения квадратных матриц следует,
что (Γ; ·) для каждого натурального n является группой. Подмножество Λ ⊂ Γ всех матриц с определителем равным единице также для
каждого натурального n образует подгруппу (Λ; ·) в соответствующей
группе (Γ; ·). Обе бесконечные серии этих групп хорошо известны и играют важную роль в математике, для них существуют общепринятые
обозначения: (Γ; ·) обозначается как GL(n, R), а (Λ; ·) как SL(n, R).
Поскольку умножение матриц некоммутативно, то группы GL(n, R) и
SL(n, R) являются примерами бесконечных мультипликативных неа-
белевых (при n > 2) групп.
Пример 6. Рассмотрим все симметрии квадрата. Они опреде-
ляются полностью, если показать, как при каждой симметрии отображаются друг на друга вершины. Пронумеруем по часовой стрелке
вершины числами 1, 2, 3, 4. Тогда все симметрии исчерпываются
возможностями:
1 2 3 4
e =
1 2 3 4
1 2 3 4
g3=
4 1 2 3
1 2 3 4
g6=
4 3 2 1
, g1=
, g4=
, g7=
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
1 4 3 2
1 2 3 4
2 1 4 3
, g2=
, g5=
.
1 2 3 4
3 4 1 2
1 2 3 4
3 2 1 4
,
,
Обозначим через G = he, g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7i. Определим
произведение gigjкак результат последовательно выполненных отображений вершин, сначала gi, а затем gj. Например,
1 2 3 4
g1g2=
2 3 4 1
1 2 3 4
3 4 1 2
=
1 2 3 4
= g3,
4 1 2 3
284 Глава 7. Основные алгебраические структуры
или
1 2 3 4
g1g3=
2 3 4 1
1 2 3 4
g1g4=
2 3 4 1
1 2 3 4
4 1 2 3
1 2 3 4
1 4 3 2
=
=
1 2 3 4
= e,
1 2 3 4
1 2 3 4
= g6.
4 3 2 1
Выполнив все произведения, убедимся, что эта операция на G замкнута и (G; ·) является группоидом. Заполним таблицу Кэли этого группоида, тогда из таблицы видно, что введенная операция умножения на G
ассоциативна и каждый элемент обратим в G. Поэтому группоид (G; ·)
относительно введенного умножения (·) является конечной группой
восьмого порядка |G| = 8. Эта группа неабелева, так как, например,
g1g4= g6, а g4g1= g7, т. е. g1g46= g4g1.
· e g1g2g3g4g5g6g
e e g1g2g3g4g5g6g
g1g1g2g
g2g2g
g3g
3
e g1g2g7g6g4g
3
g4g4g7g5g
g5g5g6g4g7g
g6g6g4g7g5g1g
e g6g7g5g
3
e g1g5g4g7g
e g2g3g
6
e g1g
2
3
g7g7g5g6g4g3g1g
e g
2
7
7
4
6
5
1
3
2
e
Полученная в приведенном примере 6 группа — это одна из так
называемых групп диэдра. Рассматривая все симметрии любого правильного многоугольника и определяя для каждого из них операцию
умножения так же, как для квадрата, мы получим все группы диэдра.
Можно аналогичным образом рассматривать группы симметрий любого правильного многогранника. Для куба это подробно показано в [6,
с. 30, 31].
Подобные методы применяют при изучении кристаллов (кристаллических решеток) и в квантовой механике.
Заметим, что все элементы he, g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7i рассмотренного примера — это так называемые подстановки на четырех
символах, а операция умножения симметрий квадрата, которая была
определена здесь же, в точности совпадает с операцией умножения
подстановок. Если мы будем изучать группы симметрий правильных
n-угольников, то элементы таких групп будут подстановками на n
символах и умножение элементов в группах симметрий многоугольников будет умножением подстановок. Вообще, теория групп начина-
§ 35. Некоторые алгебры с двумя бинарными операциями 285
лась с изучения групп подстановок. Здесь необходимо сказать, что
множество всех подстановок на n символах по рассмотренному выше
умножению составляет группу, которую обозначают Snи называют
симметрической группой n-й степени. При n > 3 эти группы некоммутативны и |Sn| = n!. Подробнее со строением симметрических групп
можно познакомиться в [6].
§ 35. Некоторые алгебры с двумя бинарными
операциями
В этом параграфе мы познакомимся с некоторыми алгебрами с
двумя бинарными операциями: кольцами, полями и телами.
Определение 12. Кольцом называется множество R с бинарны-
ми операциями сложения (+) и умножения (·), которые удовлетворяют
следующим условиям:
1) (R;+) — абелева группа;
2) (R;·) — полугруппа;
3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности (в общем случае левым и правым, поскольку умножение в
кольце не обязательно коммутативное).
Группа (R; +) называется аддитивной группой кольца R. Важно
отметить, что в любом кольце определяется операция вычитания как
обратная к сложению. А именно, поскольку (R; +) — абелева группа,
то для любых элементов r, v ∈ R
r − v = r + (−v).
Определение 13. Кольцо (R; +, ·) называется коммутативным,
если операция умножения коммутативна, и кольцом с единицей, если
(R; ·) — полугруппа с единицей.
Определение 14. Элемент r кольца R с единицей e называется
обратимым, если в R для него существует обратный элемент r−1.
Множество всех обратимых элементов кольца R обычно обозначают R∗.
Определение 15. Элемент r 6= 0 кольца R называется делителем
нуля, если в R существует такой элемент r16= 0, что выполняется одно
из равенств: rr1= 0 или r1r = 0.
Приведем примеры числовых колец: (K; +, ·), (R; +, ·), (Q; +, ·)
(Z; +, ·). Все эти кольца коммутативны, с единицей и без делителей
286 Глава 7. Основные алгебраические структуры
нуля. В кольцах (K; +, ·), (R; +, ·), (Q;+, ·) все числа отличные от
нуля обратимы, в кольце (Z; +, ·) обратимыми будут только числа 1
и −1. Таким образом, K∗= K \ {0}, R∗= R \ {0}, Q∗= Q \ {0}, а
Z∗= {1, −1}. Заметим, все эти множества являются группами по
умножению.
Обозначим 2Z — множество всех целых четных чисел. Очевидно,
(2Z; +, ·) также есть коммутативное кольцо без делителей нуля, но в
этом кольце нет единицы и обратимых элементов.
Определение 16. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.
Все кольца (K; +, ·), (R; +, ·), (Q; +, ·) (Z; +, ·) являются областями целостности.
Докажем несколько простых, но полезных свойств любых колец.
Теорема 7.3. Для любых элементов r, v и w произвольного
кольца R с нулевым элементом 0 выполняются равенства:
1) r ·0 = 0 · r = 0;
2) −(−r) = r;
3) (−r)v = −(rv), r(−v) = −(rv);
4) (−r)(−v) = rv;
5) r(v − w) = rv − rw, (r − v)w = rw − vw;
6) n(rv) = (nr)v = r(nv) для всех n ∈ Z;
7) (nr)(kv) = (nk)(rv) для всех n, k ∈ Z;
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала 5). По определению вычитания в кольце получаем w + (v − w) = v. Умножим обе части этого
равенства на r слева rw + r(v − w) = rv. Прибавляя к обеим частям
последнего равенства −rw, получим первое из равенств 5). Второе
доказывается аналогично.
Теперь докажем 1). Для любых r, v ∈ R справедливо: r ·0 = r(v −
− v) = rv − rv = 0. Аналогично 0 · r = (v − v) · r = vr −vr = 0.
Из определения противоположного элемента запишем равенство
r + (−r) = (−r) + r = 0.
Отсюда получаем, что если −r — противоположный для r, то r —
противоположный для −r, что доказывает 2).
Из 5) получаем
rv + (−r)v = (r + (−r))v = 0 ·v = 0,
что доказывает первое из равенств 3), второе доказывается аналогично.
§ 35. Некоторые алгебры с двумя бинарными операциями 287
Теперь, используя 3) и 2), получаем
(−r)(−v) = −(r(−v)) = −(−rv) = rv,
что доказывает 4).
Пусть n — натуральное число, тогда
n(rv) = rv + rv + ··· + rv
| {z }
n слагаемых
= (r + r + ··· + r)
| {z }
n слагаемых
v = (nr)v.
Легко провести доказательство первого равенства из 6) и для целых
отрицательных n, а затем показать справедливость второго равенства.
Равенство 7) доказывается аналогично. Теорема доказана.
Выше было отмечено, что K∗, R∗, Q∗и Z∗есть группы по
умножению. Оказывается, это не случайно.
Теорема 7.4. Множество R∗любого кольца R с единицей явля-
ется группой по умножению этого кольца.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку умножение в кольце R ассоциативно, то оно ассоциативно и в R∗. Очевидно, единица e кольца
R содержится в R∗. Для доказательства теоремы теперь осталось
показать замкнутость операции умножения на R∗и существование в
R∗обратных элементов r−1для всех элементов r ∈ R∗. Пусть r, v ∈ R∗,
а r−1и v−1обратные к ним элементы. Тогда
(rv)(v−1r−1) = (r(vv−1))r−1= (re)r−1= e.
Аналогично (v−1r−1)(rv) = e. Таким образом, v−1r
−1
будет обратным
для элемента rv, поэтому rv ∈ R∗и умножение замкнуто на R∗.
Поскольку r и r
−1
взимно обратны друг другу, то r−1∈ R∗и R∗—
группа. Теорема доказана.
Определение 17. Если R — кольцо с единицей, то группа R
всех его обратимых элементов называется мультипликативной группой
кольца R.
Итак, в любых кольцах можно выполнять три операции: сложение, умножение и вычитание. Однако в некоторых классах колец
можно выполнять и четвертую операцию — деление. Сначала рассмотрим вопрос о решении двух уравнений:
rx = v, yr = v
в произвольном кольце R с единицей.
∗
288 Глава 7. Основные алгебраические структуры
Теорема 7.5. Уравнения rx = v, yr = v разрешимы в кольце R с
единицей e при любой правой части v ∈ R тогда и только тогда, когда
r ∈ R∗. При этом оба уравнения имеют единственное решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если r ∈ R∗, то, умножая обе части первого
уравнения слева, а второго справа на r−1, получим решения уравнений.
Предположим, что, например, первое уравнение имеет два решения
x1и x2. Тогда rx1= v = rx2. Умножив это уравнение слева на r−1,
получим x1= x2. Аналогично доказывается единственность решения
второго уравнения.
Пусть теперь r — произвольный фиксированный элемент кольца
R и оба уравнения разрешимы при любых v ∈ R. Обозначим соответ-
ственно x = w1и y = w2решения этих уравнений при v = e. Тогда
rw1= e и w2r = e. Отсюда
w2= w2e = w2(rw1) = (w2r)w1= ew1= w1.
Поэтому w1= w2= r−1и r ∈ R∗. Теорема доказана.
Определение 18. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей
и r, v ∈ R. Говорят, что элемент v делится на r, если существует такой
элемент w ∈ R, что v = rw. При этом еще говорят, что r делит v.
Применяются привычные для деления чисел обозначения и терминология, а именно: r|v — r делит v или r делитель v, или v кратно r.
Заметим, что в приведенных выше примерах колец: (K; +, ·),
(R; +, ·), (Q; +, ·) операция деления выполняется для всех ненулевых
элементов, а в кольце (Z; +, ·) только для элементов 1 и −1.
Определение 19. Кольцо называется телом, если
1) в нем есть хотя бы один элемент, отличный от нуля;
2) уравнения
rx = v, yr = v
разрешимы для всех r 6= 0.
Условие 2) последнего определения равносильно тому, что мультипликативная группа тела содержит все его ненулевые элементы.
Очевидно, что любое тело не содержит делителей нуля.
Определение 20. Коммутативное тело с единицей называется
полем.
Так как любое поле является кольцом, то все поля обладают
общими свойствами колец, но при этом имеют свои специфичные
отличия, например в каждом поле для всех ненулевых элементов
определена операция деления.
§ 35. Некоторые алгебры с двумя бинарными операциями 289
Приведем примеры некоторых колец и полей наиболее значимых
в математике и в прикладных областях.
Пример 7. Все числовые кольца: (K; +, ·), (R; +, ·), (Q; +, ·) яв-
ляются полями, в то же время кольцо (Z; +, ·) полем не будет.
Пример 8. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами относительно известных операций сложения и умножения
образуют кольцо (см. гл. 2, §4). Так как операция деления в этом
кольце выполняется лишь частично (в общем случае многочлены, как
элементы кольца, необратимы), то это кольцо полем не является.
Пример 9. Множество всех квадратных матриц порядка n отно-
сительно операций сложения и умножения образуют кольцо (см. гл. 3,
§10). Поскольку лишь невырожденные матрицы имеют обратные, это
кольцо полем не будет.
Определение 21. Пусть дано целое число n > 0. Два целых
числа a и b называются сравнимыми по модулю n, если их разность
a −b делится на n, т. е. при n > 0 это означает, что a и b при делении
на n дают один и тот же остаток — вычет по модулю n, а при n = 0, —
что a = b. Записывается это так:
a ≡ b (mod n).
Пример 10. Пусть n = 6. Все целые числа Z разобьем на непе-
ресекающиеся классы Ciчисел, попарно сравнимых между собой по
модулю 6. По количеству остатков от деления целых чисел на 6 таких
классов будет 6:
R = hC0, C1, C2, C3, C4, C5i.
Здесь класс Ciсостоит из всех целых чисел, которые при делении на
6 дают остаток равный i. Введем в R две операции (+) — сложение и
(·) — умножение. Для любых чисел ciиз класса Ciи cjиз Cjсумма
ci+ cjпри делении на 6 будет давать всегда один и тот же остаток k.
Тогда определим операцию сложения классов по следующему правилу:
Ci+ Cj= Ck.
Составим таблицу Кэли для R по сложению. В этой таблице для
упрощения записи класс Ciобозначен числом i. Легко убедиться, что
операция + на R замкнута, коммутативна, ассоциативна и C0является
10 Б.К. Дураков
290 Глава 7. Основные алгебраические структуры
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
нулем по сложению, а для каждого элемента имеется противоположный элемент. Следовательно, R по сложению — конечная абелева
группа порядка 6. Заметим, что если целое число i + j делится на 6
без остатка, то
Ci+ Cj= C0.
Аналогично, если при делении произведения чисел cicjна 6
получается остаток r, то
Ci· Cj= Cr.
При заданном правиле умножения классов
C0· Ci= Ci· C0= C0.
Теперь составим таблицу Кэли R по умножению:
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Легко проверить, что операция умножения ассоциативна на R
и поэтому R полугруппа, а (R; +, ·) кольцо (принято такое кольцо
называть кольцом вычетов по модулю 6 и обозначать Zn). Если i · j
делится на 6, то
Ci· Cj= C0,
значит, в R имеются делители нуля. Тогда (R; +, ·) полем не является.
Пример 11. Пусть n = 5. Как и в примере 10, все целые числа Z
разобьем на непересекающиеся классы Ciчисел, попарно сравнимых
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]