Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 37. Скалярное произведение двух векторов-отрезков 311
В завершение параграфа получим формулу вычисления скалярного произведения двух векторов-отрезков, заданных декартовыми
прямоугольными координатами.
Теорема 8.9. Если два вектора заданы в декартовой прямоугольной системе координат
a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k,
то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений
их одноименных координат, т. е.
(a, b) = α1α2+ β1β2+ γ1γ2. (8.14)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства воспользуемся формулой (8.13). Нам потребуется подставлять в эту формулу значения
скалярных произведений всевозможных пар базисных векторов. Учитывая, что все базисные векторы i, j, k попарно перпендикулярны и
имеют единичную длину, получаем
(i, j) = (j,i) = (i, k) = (k, i) = (j, k) = (k, j) = 0, (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1.
(8.15)
В соответствии с формулой (8.13)
(a, b) = α1α2(i, i) + α1β2(i, j) + α1γ2(i, k) + β1α2(j, i) + β1β2(j, j)+
+ β1γ2(j, k) + γ1α2(k, i) + γ1β2(k, j) + γ1γ2(k, k).
Из (8.15) получаем
(a, b) = α1α2+ β1β2+ γ1γ2.
Теорема доказана.
Следствие 1. Два вектора
a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
α1α2+ β1β2+ γ1γ2= 0. (8.16)
312 Глава 8. Векторная алгебра
Следствие 2. Если
a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k,
то угол ϕ между этими векторами вычисляется по формуле
cos ϕ =
(a, b)
|a||b|
=
p
α
α1α2+ β1β2+ γ1γ
+ β
2
+ γ
1
1
2
1
p
2
α
2
+ β
2
+ γ
2
2
2
. (8.17)
2
2
Для вывода этой формулы необходимо воспользоваться теоремой 8.9
и формулой (8.7).
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = 3i + 4j −
− 5k и b = 2i − 4j + 3k.
Решение. (a, b) = 3 · 2 + 4 ·(−4) + (−5) · 3 = −25.
Пример 2. При каком значении числа k векторы a = ki + 3j − 5k
и b = 2i − kj + 4k будут перпендикулярны?
Решение. Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю:
(a, b) = k · 2 + 3 · (−k) + (−5) ·4 = −k −20 = 0.
При k = −20.
§ 38. Векторное произведение векторов-отрезков
Рассмотрим такие тройки векторов-отрезков, для которых очень
важно их взаимное расположение относительно друг друга.
Определение 14. Тройка векторов-отрезков a,b, c называется
упорядоченной, если указан порядок их следования: какой — первый,
какой — второй и какой — третий.
Обычно порядок устанавливается записью этих векторов в тройке. Так, в тройке, записанной в определении 14, a — первый, b —
второй и c — третий.
Определение 15. Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов-отрезков a, b, c называется правой (левой), если при
сведении их к общему началу, условный наблюдатель, помещенный в
конец вектора c, видит перемещение от a к b против часовой стрелки
(по часовой стрелке) (рис. 8.6).
Поскольку любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов является либо правой, либо левой, то все множество упорядоченных некомпланарных векторов делится на два непересекающихся
§ 38. Векторное произведение векторов-отрезков 313
c
b
a
Рис. 8.6
c
a
b
подмножества: в одном из них содержатся только правые тройки, в
другом — только левые.
Замечание. Понятие правой или левой тройки теряет смысл для
компланарных векторов.
Определение 16. Если две упорядоченные тройки некомпланарных векторов либо являются правыми (обе), либо обе — левыми, то
говорят, что эти тройки одной ориентации, в противном случае про
них говорят, что они противоположной ориентации.
Рассмотрим три некомпланарных вектора a, b, c, изображенных
на рис. 8.6. Из этих векторов можно составить шесть различных
упрядоченных троек:
abc; bca; cab; (8.18)
bac; acb; cba. (8.19)
Из определения 15 следует, что все тройки (8.18) правые, тройки
(8.19) — левые.
Определение 17. Векторным произведением ненулевого вектора
a на неколлинеарный ему вектор b называется такой вектор c, который
удовлетворяет трем условиям:
1) длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на
синус угла ϕ между ними
|c| = |a||b|sin ϕ; (8.20)
2) вектор c ортогонален плоскости векторов a и b;
3) упорядоченная тройка векторов abc является правой.
Векторное произведение двух коллинеарных векторов (в том числе и когда хотя бы один из них нулевой) считается равным нулевому
вектору.
Векторное произведение c вектора a на вектор b будем обозначать как
c = [a, b].
314 Глава 8. Векторная алгебра
Свойства векторного произведения двух векторов можно разделить на две группы: геометрические и алгебраические. Вначале
рассмотрим геометрические свойства.
Теорема 8.10. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда,
когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если векторы a и b коллинеарны, то либо
угол между ними равен нулю или π, либо хотя бы один из них
нулевой. В любом случае непосредственно из определения векторного
произведения 17 и замечания к нему следует, что [a, b] = 0.
Пусть теперь c = [a, b] = 0. Обозначим через ϕ угол между a и
b, тогда по определению 17 и замечанию
|c| = |a||b|sin ϕ.
Значит,
|a||b|sin ϕ = 0
и поэтому либо ϕ равен нулю или π, либо хотя бы один из a и b имеет
нулевую длину, т. е. нулевой. В каждом случае a и b коллинеарны.
Теорема доказана.
Следствие. Для любого вектора a
[a, a] = 0.
Теорема 8.11. Длина векторного произведения c = [a, b] равна
площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, приведенных к общему началу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство вытекает из формулы вычисления площади параллелограмма и формулы (8.20). Теорема доказана.
Следствие. Пусть S — площадь параллелограмма, построенного
на векторах a и b как на сторонах, и e — единичный вектор вектора
[a, b] (т. е. вектор единичной длины, коллинеарный вектору [a, b] и
имеющий с ним одинаковое направление). Тогда (рис. 8.7)
[a, b] = Se.
Пусть L — некоторая прямая и a — вектор. Можем считать,
что начало вектора a находится на прямой L. Прямая L и вектор a
§ 38. Векторное произведение векторов-отрезков 315
[a, b]
b
|[a, b]| = S
a
Рис. 8.7
образуют два смежных угла. Пусть a не перпендикулярен L, тогда
один из этих смежных углов будет острым. Его будем называть углом
между прямой L и вектором a. Если прямая и вектор ортогональны,
то угол между ними прямой.
Определение 18. Пусть угол между прямой L и вектором a,
начало которого находится на L, равен ϕ. Проекцией вектора a на
прямую L будем называть такой вектор a0, который расположен на
прямой L, угол между векторами a и a0равен ϕ, и |a0| = |a|cos ϕ:
a0= прLa.
a
L
ϕ
0
a
Рис. 8.8
Определение 19. Пусть дана плоскость π и вектор a с началом
в точке A и концом в точке B. Пусть основаниями перпендикуляров из
точек A и B на π являются точки A0и B0соответственно. Тогда (рис.
8.8) вектор a0= A0B0называется проекцией вектора a на плоскость π:
a0= прπa.
Замечание 6. По определению 9 проекция вектора на ось
является числом, а из определений 18 и 19 следует, что проекция
вектора на прямую или на плоскость есть вектор.
Теорема 8.12. Пусть a и b — два вектора и L — прямая,
расположенная в плоскости этих векторов и перпендикулярная вектору
316 Глава 8. Векторная алгебра
b. Тогда
[a, b] = [a0, b],
где a0= прLa.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, площадь параллелограмма,
построенного на векторах a и b, равна площади параллелограмма,
построенного на векторах a0и b. Значит, по теореме 8.11 длины
векторов [a,b] и [a0, b] равны и очевидно, что эти векторы имеют
одинаковое направление. Теорема доказана.
Перечислим теперь алгебраические свойства векторного произведения:
1) [a, b] = −[b, a] — антикоммутативность;
2) [αa, b] = α[a, b] — ассоциативность относительно числового
множителя;
20)[a, αb] = α[a, b] — ассоциативность относительно числового
множителя;
3) [a + b, c] = [a, c] + [b, c] — дистрибутивность;
30)[a, b + c] = [a, b] + [a, c] — дистрибутивность;
Докажем свойство 1). Если векторы a и b коллинеарны, то по
теореме 8.10 [a, b] = 0 и [b, a] = 0, поэтому [a,b] = −[b, a]. Пусть
теперь a и b не коллинеарны. По теореме 8.11 |[a, b]| = |[b, a]|. Поскольку векторы [a, b] и [b, a] — противоположно направлены, то
[a, b] = −[b, a].
Для доказательства свойства 2) рассмотрим сначала случаи,
когда либо a и b коллинеарны, либо α = 0. В любом из этих случаев с
помощью теоремы 8.10 и определения произведения вектора на число
мы получим справедливость выполнения свойства 2). Пусть теперь a и
b не коллинеарны и α 6= 0. Покажем равенство длин векторов в правой
и левой части свойства 2). Обозначим ϕ — угол между векторами a и
b и ψ — угол между αa и b. Если α > 0, то ϕ = ψ, а если α < 0, то
ψ = π − ϕ. В любом случае sin ϕ = sin ψ. Итак,
|[αa, b]| = |α||a||b|sin ψ,
|α[a, b]| = |α||a||b|sin ϕ,
следовательно,
|[αa, b]| = |α[a, b]|.
Поскольку векторы [αa, b] и α[a, b] перпендикулярны к одной
и той же плоскости, то они коллинеарны. Остается показать, что
эти векторы одинаково направлены. Если α > 0, то векторы a и αa
§ 38. Векторное произведение векторов-отрезков 317
одинаково направлены, а тогда векторы [αa, b] и α[a, b] — одинаково
направлены. Если α < 0, то векторы a и αa противоположно направлены. Значит векторы [αa, b] и [a, b] направлены противоположно, а
векторы [αa, b] и α[a, b] направлены одинаково. Свойство 2) доказано.
Свойство 20) легко доказывается с использованием свойств 1) и 2).
Приступим к доказательству свойства 3). Сведем векторы a, b
и c к общему началу в точке O. Рассмотрим параллелограмм Π1,
построенный на векторах a и b как на сторонах с диагональю a + b.
Пусть π — плоскость, перпендикулярная вектору c, и L1, L2и L3—
прямые, проведенные в плоскости π через основание O0проекции
вектора c на плоскость π, параллельные соответственно векторам: a,
b и a + b (при этом точка O проектируется в точку O0на плоскости
π). Пусть a0= пр
a, b0= пр
L
1
b и a0+ b0= пр
L
2
a + b. Пусть Π2—
L
3
параллелограмм, построенный на векторах a0и b0как на сторонах.
Очевидно, что a0+ b0будет диагональю этого параллелограмма. По
теореме 8.12
[a, c] = [a0, c], [b, c] = [b0, c], [a + b, c] = [a0+ b0, c]. (8.21)
Отсюда ясно, что для доказательства свойства 3) достаточно
доказать следующее равенство:
[a0+ b0, c] = [a0, c] + [b0, c]. (8.22)
Векторы [a0+ b0, c], [a0, c] и [b0, c] можно получить из векторов a0+ b0,
a0и b0, изменив их длины в |c| раз и повернув каждый из них в одном
π
направлении в плоскости π вокруг точки O0на угол
. В результате
2
этой операции в плоскости π получим параллелограмм со сторонами
[a0, c] и [b0, c] и диагональю [a0+ b0, c]. Таким образом, диагональ
[a0+ b0, c]
этого параллелограмма является суммой векторов [a0, c] и [b0, c] и
равенство 8.22 доказано. Тем самым свойство 3) доказано. Свойство
30) легко доказывается с иcпользованием всех свойств: 1), 2), 20) и 3).
Применяя все алгебраические свойства векторного произведения,
можно легко получить формулу векторного умножения линейных комбинаций векторов, а именно:
k
X
i=1
αiai,
s
X
j=1
βjb
k
i=1
s
X
αiβj[ai, bj] . (8.23)
j=1
X
=
j
318 Глава 8. Векторная алгебра
Предоставим студенту самостоятельно получить эту формулу.
Применение теоремы 8.9 позволяет вычислять скалярное произведение векторов, заданных в декартовой прямоугольной системе коордиат. Следующая теорема даст аналогичную формулу для векторного
произведения.
Теорема 8.13. Пусть a и b — два вектора, записанные в декарто-
вой прямоугольной системе координат OXY Z с базисными векторами
i, j, k:
a = α1i + β1j + γ1k, b = α2i + β2j + γ2k,
тогда векторное произведение этих векторов можно вычислять по
формулам
[a, b] = (β1γ2− β2γ1, γ1α2− γ2α1, α1β2− α2β1) (8.24)
или
[a, b] =
i j k
α1β1γ
α2β2γ
. (8.25)
1
2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычислим всевозможные векторные произведения базисных векторов i, j, k. Данные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна 1. При этом упорядоченная
тройка i, j, k является правой. Поэтому
[i, i] = 0, [j, i] = −k, [k, i] = j,
[i, j] = k, [j, j] = 0, [k, j] = −i,
. (8.26)
[i, k] = −j, [j, k] = i, [k, k] = 0.
Применяя формулу 8.23, вычислим векторное произведение вектора a на b:
[a, b] = [α1i + β1j + γ1k, α2i + β2j + γ2k] = α1α2[i, i] + α1β2[i, j]+
+ α1γ2[i, k] + β1α2[j, i] + β1β2[j, j] + β1γ2[j, k] + γ1α2[k, i] + γ1β2[k, j]+
+ γ1γ2[k, k] = (β1γ2− β2γ1)i + (γ1α2− γ2α1)j + (α1β2− α2β1)k,
что и доказывает равенство (8.24). Докажем равенство (8.25), для этого необходимо разложить определитель равенства (8.25) по элементам
первой строки и получится равенство (8.24). Теорема доказана.
Следствие. Два вектора a = α1i + β1j + γ1k и b = α2i + β2j + γ2k
коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцио-
нальны:
§ 38. Векторное произведение векторов-отрезков 319
α
α
β
1
=
β
2
γ
1
2
1
=
. (8.27)
γ
2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего необходимо сделать замечание к прочтению формулы (8.27).
Замечание 7. Некоторые координаты векторов могут быть
равны нулю, поэтому в знаменателях формулы (8.27) также могут стоять нули. Имеется правило прочтения пропорций: любую
пропорцию
α
γ
=
β
δ
понимают в смысле равенства
αδ = βγ.
Если векторы a = α1i + β1j + γ1k и b = α2i + β2j + γ2k коллинеарны, то по теореме 8.10 их векторное произведение [a, b] равно
нулевому вектору. Значит, равны нулю координаты в правой части
формулы (8.24), т.е. верны пропорции (8.27). И наоборот, если верны
пропорции (8.27), то все координаты в правой части формулы (8.24)
равны нулю, т. е. равно нулевому вектору векторное произведение
[a, b], и тогда по теореме 8.10 векторы a и b коллинеарны. Следствие
доказано.
Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = 3i + 2j −
− 5k и b = i − j + 2k.
Решение. Из теремы 8.13 получаем
[a, b] =
i j k
3 2 −5
1 −1 2
= −i − 11j −5k
.
Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного
на векторах a = 6i + 3j −2k и b = 3i − 2j + 6k как на сторонах.
Решение. Из теоремы 8.11 следует, что искомая площадь S равна
длине векторного произведения вектора a на вектор b:
[a, b] =
i j k
6 3 −2
3 −2 6
= 14i − 42j −21k.
320 Глава 8. Векторная алгебра
Таким образом, S = |[a, b]| = +√142+ 422+ 212= 49.
§ 39. Смешанное произведение векторов-отрезков
Определение 20. Пусть даны три вектора a, b и c. Скалярное
произведение векторов [a, b] и c называется смешанным произведением векторов a, b и c и записывается как ([a, b], c).
Сначала рассмотрим геометрические свойства смешанного произведения.
Теорема 8.14. Пусть векторы a, b и c приведены к общему
началу. Тогда модуль смешанного произведения ([a, b], c) равен объему
V параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c как на сторонах.
При этом ([a, b], c) = V , если упорядоченная тройка a, b, c — правая и
([a, b], c) = −V , если эта тройка левая.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a и b — коллинеарны, то параллелепипед, указанный в формулировке теоремы, будет формальным
(вырожденным), имеющим нулевой объем. При этом [a,b] = 0 (см.
теорему 8.10). И тогда ([a, b], c) = (0, c) = 0.
Пусть теперь a и b не коллинеарны. Обозначим через S площадь
параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах,
e — единичный вектор векторного произведения [a, b], и e — ось,
определяемую вектором e. Тогда, используя следствие теоремы 8.11,
свойства скалярного произведения и формулу 8.12, получаем
([a, b], c) = (Se, c) = S(e, c) = S|e|прec = Sпрec. (8.28)
Если векторы a, b и c компланарны, то, с одной стороны,
параллелепипед, построенный на этих векторах, будет вырожденным
(имеющим нулевой объем), а с другой — вектор ([a, b] будет перпендикулярен вектору c, следовательно, прec = 0 и из формулы 8.28
([a, b], c) = 0. То есть в этом случае теорема справедлива.
Пусть теперь векторы a, b и c — не компланарны (рис. 8.9). Заметим, что прec = ±h, где h — это высота параллелепипеда, построенного
на векторах a, b и c, в котором основанием является параллелограмм,
построенный на векторах a, и b. При этом прec = h, если векторы e и
c расположены по одну сторону от плоскости векторов a и b (и тогда
тройка векторов a, b, c — правая) и прec = −h, если векторы e и c
расположены по разные стороны от плоскости векторов a и b (и тогда
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]