Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 401
0
x
y
z
Рис. 10.9
Ось OZ является осью симметрии гиперболического параболоида
(10.114), плоскости OXZ и OY Z — плоскостями симметрии. Гиперболический параболоид имеет единственную общую точку с любой осью
координат — это начало O(0, 0, 0).
Дальнейшее исследование проведем для случая q > 0.
Рассмотрим сечения гиперболического параболоида плоскостями
πh, параллельными плоскости OXY , с уравнениями
πh: z = h, − ∞ < h < +∞.
После подстановки в уравнение (10.114) получим
Lh:
2
x
2
a
−
2
y
2
b
= 2qh
уравнение линий сечений.
При h = 0 в плоскости OXY получается пара пересекающихся в
начале координат прямых
r
2
y = ±
Если h > 0, то уравнение линий сечений легко записать в следу-
b
x.
2
a
ющем виде:
Lh:
2
x
2
a
h
−
2
y
= 1, (10.115)
2
b
h
где
2
a
= 2qha
h
2
и b
2
= 2qhb2.
h
402 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Значит, Lh— это семейство гипербол; при h → +∞ расстояние между
их вершинами неограниченно увеличивается.
Если h < 0, то уравнение линий сечений теперь имеют вид
Lh: −
2
x
2
a
h
+
2
y
= 1, (10.116)
2
b
h
где
2
a
= −2qha
h
2
и b
2
= −2qhb2.
h
То есть Lhпри h < 0 также является семейством гипербол, сопряженных для гипербол (10.115); при h → −∞ расстояние между их
вершинами также неограниченно увеличивается.
Рассмотрим теперь сечения гиперболического параболоида
(10.114) плоскостями, параллельными другим координатным плоскостям. Сначала исследуем сечения координатными плоскостями OY Z
и OXZ. Получим две «взаимно перпендикулярные» параболы
2
y
= −2qz, x = 0 (10.117)
2
b
и
2
x
= 2qz, y = 0. (10.118)
2
a
Ветви первой параболы направлены вниз, а ветви второй — вверх.
Если рассекать плоскостями πtс уравнениями
πt: x = t, − ∞ < t < +∞,
параллельными плоскости OY Z, то после соответствующей подстановки в уравнение (10.114) и несложных преобразований получим
семейство парабол
Lt:
2
y
= −2qz −
2
b
t
2qa
2
2
, x = t.
Каждая из этих парабол получается таким параллельным переносом
параболы (10.117), при котором ее вершина с координатами (0, 0, 0)
переходит в точку, расположенную на параболе (10.118), с координатами
t, 0,
2
t
2pa
.
2
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 403
0
x
y
z
Таким образом, гиперболический параболоид (10.114) получается путем параллельного перемещения параболы (10.117), когда ее
вершина перемещается по параболе (10.118). Очевидно, что гиперболический параболоид (10.114) можно получить, если неподвижной
будет парабола (10.117), а парабола (10.118) перемещается по ней
(рис. 10.10).
Рис. 10.10
Нетрудно провести аналогичные исследования формы гиперболического параболоида (10.114) при q < 0.
7. Цилиндрические поверхности второго порядка. Во время
исследования общего уравнения поверхности второго порядка мы получили три типа цилиндра — эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры. Канонические уравнения этих поверхностей
соответственно имеют вид
2
x
2
a
+
y
b
2
2
= 1,
2
x
2
a
−
2
y
= 1, y2= 2px. (10.119)
2
b
Уравнения (10.119) означают, что для любой точки M(x, y, z), находящейся на любом выбранном из этих цилиндров, первые ее две
координаты x и y будут связаны между собой одним из перечисленных
в (10.119) уравнений для любых z. Следовательно, во всех сечениях
каждого из этих цилиндров плоскостями πh, параллельными плоскости OXY , с уравнениями
πh: z = h, − ∞ < h < +∞,
будут получаться одинаковые кривые второго порядка, определенные
уравнениями (10.119). А именно: для первого цилиндра это будут одинаковые эллипсы, для второго — гиперболы, для третьего — параболы.
404 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
Обозначим через L эллипс, расположенный в плоскости OXY и
заданный первым из уравнений (10.119). Пусть M0(x0, y0) — некоторая
точка на L. Тогда любая точка M (x0, y0, z) пространства OXY Z принадлежит эллиптическому цилиндру, заданному первым из уравнений
(10.119), поскольку ее первые две координаты удовлетворяют этому
уравнению. Множество всех точек M (x0, y0, z) составляет прямую,
параллельную оси OZ и пересекающую эллипс L в точке M0(x0, y0).
Таким образом, этот эллиптический цилиндр состоит из множества
всех прямых, параллельных оси OZ и проходящих через каждую
точку эллипса L. Эллипс L называется направляющей линией, а
прямые, образующие эллиптический цилиндр, — образующими этой
поверхности.
Аналогично рассматривается строение двух других цилиндров из
(10.119) (рис. 10.11).
Рис. 10.11
Замечание. Если в плоскости OXY некоторая кривая L зада-
на уравнением
F (x, y) = 0,
то рассуждения, приведенные выше, показывают, что это уравнение задает в пространстве цилиндрическую поверхность (в общем
случае не второго порядка) с направляющей линией L и образующими прямыми, параллельными оси OZ.
§ 48. Поверхности вращения
Пусть в плоскости OY Z трехмерного пространства с заданной в
нем прямоугольной декартовой системой координат OXY Z дана линия
§ 48. Поверхности вращения 405
F (Y , Z) = 0
0
x
y
z
L, уравнение которой запишем в виде
F (Y , Z) = 0. (10.120)
При вращении кривой L вокруг оси OY получится поверхность Γ.
Найдем уравнение этой поверхности.
Пусть M (x, y, z) — произвольная точка на поверхности Γ. Проведем через точку M плоскость πy, перпендикулярную к оси OY. Нетрудно понять, что в сечении поверхности Γ плоскостью πyполучится
окружность с центром в точке P , расположенной на оси OY. Очевидно,
что координаты точки P будут (0, y, 0). Рассмотрим радиус R полученной окружности. С одной стороны, R =√x2+ z2, как расстояние
между точками M и P , а с другой — R равен абсолютной величине
аппликаты Z той точки My∈ L, которая получается от пересечения
линии L и плоскости πy. Таким образом Z = ±√x2+ z2. Очевидно,
что ордината Y точки My∈ L равна y. После замены
Y = y, Z = ±px2+ z
2
в уравнении (10.120), получим уравнение поверхности Γ:
F (y, ±px2+ z2) = 0. (10.121)
Таким образом, мы можем сделать следующее заключение.
Чтобы получить уравнение поверхности, образованной от
вращения некоторой линии L, расположенной в плоскости OY Z,
вокруг оси OY , необходимо в уравнении линии L заменить z на
±√x2+ z2(рис. 10.12).
Рис. 10.12
406 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Рассмотрим поверхности, которые можно получить вращением
вокруг координатной оси кривых второго порядка.
1. Эллипсоид вращения. Если вращать эллипс
2
x
2
a
+
2
z
= 1,
2
c
расположенный в плоскости OXZ, вокруг оси OX, то, согласно приведенному выше правилу, получим уравнение
2
x
a
2
y2+ z
+
2
= 1,
2
c
или
2
x
2
a
+
2
y
2
c
+
z
c
2
2
= 1.
Это уравнение эллипсоида. Если данный эллипс вращать вокруг оси
OZ, то получим уравнение
2
x
2
a
+
2
y
2
a
+
z
c
2
2
= 1,
которое также является уравнением эллипсоида.
2. Гиперболоиды вращения. Если вращать гиперболу
2
x
2
a
−
2
z
= 1,
2
c
расположенную в плоскости OXZ, вокруг оси OX, то получим
2
x
2
a
−
2
y
2
c
−
2
z
= 1
2
c
— уравнение двуполостного гиперболоида, а после вращения этой же
гиперболы вокруг оси OZ получим
2
x
2
a
+
2
y
2
a
−
2
z
= 1
2
c
— уравнение однополостного гиперболоида.
3. Эллиптический параболоид вращения. Если вращать пара-
болу
y2= 2pz,
§ 49. Кривые второго порядка как сечения конической поверхности 407
расположенную в плоскости OY Z, вокруг оси OZ, то получим
x2+ y2= 2pz
— уравнение эллиптического параболоида вращения.
4. Круговые конусы. Если вращать прямую
y = kz,
расположенную в плоскости OY Z, вокруг оси OY , то получим
2
x2−
y
+ z2= 0
2
k
— уравнение кругового конуса. Если эту же прямую вращать вокруг
оси OZ, то получим
2
x
2
k
+
2
y
− z2= 0
2
k
— уравнение другого кругового конуса.
5. Круговые цилиндры. Если вращать прямую
y = k,
расположенную в плоскости OY Z, вокруг оси OZ, то получим
x2+ y2= k
2
— уравнение кругового цилиндра.
§ 49. Кривые второго порядка как сечения
конической поверхности
В этом параграфе будет показано, что для заданного конуса при
надлежащем выборе секущих ее плоскостей можно получить либо
эллипс, либо гиперболу, либо параболу. Это утверждение справедливо
для любого конуса (читатель может самостоятельно в этом убедиться),
но для упрощения преобразований мы выберем круговой конус с
уравнением
x2+ y2− z2= 0. (10.122)
408 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
В сечениях плоскостями, параллельными координатной плоскости
OXY ,
πh: z = h, − ∞ < h < +∞, h 6= 0,
получаются окружности с уравнениями
x2+ y2= h2.
Рассмотрим сечение конуса (10.122) плоскостью
1
z =
y + 1.
2
После подстановки в уравнение (10.122) получим
x2+
3
4
y2− 2
2
y +
3
4
9
−
4
= 0,
3
или
x2+
3
y −
4
2
2
3
=
4
.
3
Нетрудно понять, что это уравнение эллипса.
Далее рассмотрим сечения конуса (10.122) плоскостями
x = t, t 6= 0
и получим
t2+ y2− z2= 0,
2
z
2
t
−
2
y
= 1
2
t
— уравнения гипербол.
И, наконец, рассмотрим сечение конуса (10.122) плоскостью π,
параллельной образующей конуса x = z, y = 0, заданной уравнением
x − z + 1 = 0.
Сделаем следующее преобразование прямоугольной декартовой системы координат:
x =
x0− z
√
2
0
1
−
, y = y0, z =
x0+ z
2
√
0
1
+
.
2
2
В системе координат O0X0Y0Z0плоскость π будет координатной плоскостью z0= 0, а уравнение поверхности (10.122) в этой системе коор-
§ 50. Линейчатые поверхности второго порядка 409
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
динат принимает вид
2
0
y
− 2x0z0− x
√
0
2 = 0. (10.123)
Значит, в сечении поверхности (10.123) плоскостью z0= 0 будет парабола
= x
0
√
2 .
2
0
y
Итак, мы решили задачу, поставленную в начале параграфа.
Читатель при желании может решить общую задачу, а именно: рассмотреть произвольную коническую поверхность и изучить ее сечения
различными плоскостями (рис. 10.13).
Рис. 10.13
§ 50. Линейчатые поверхности второго порядка
Определение 1. Поверхность, образованная точками перемеща-
емой прямой, называется линейчатой, а расположенные на ней прямые — прямолинейными образующими этой поверхности.
Конические и цилиндрические поверхности соответствуют этому
определению и поэтому являются линейчатыми. Покажем, что среди
поверхностей второго порядка еще две — однополостной гиперболоид
и гиперболический параболоид — также будут линейчатыми поверхностями.
Сначала рассмотрим однополостной гиперболоид с каноническим
уравнением
2
x
2
a
+
2
y
−
2
b
z
c
2
2
= 1.
410 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Перепишем это уравнение в виде
2
x
2
a
−
2
z
2
c
= 1 −
2
y
.
2
b
Обе части последнего уравнения являются разностями квадратов, поэтому оно равносильно следующему
x
a
+
z
c
−
=
z
c
1 +
x
a
y
b
1 −
y
. (10.124)
b
Запишем систему уравнений первой степени
x
z
+
a
x
−
a
= k1 +
c
z
1
=
c
k
1 −
y
,
b
y
(10.125)
,
b
где k — произвольное число.
При любом значении k каждое из этих уравнений определяет
плоскость, а система (10.125) — прямую. При изменении параметра
k получится семейство прямых. Если уравнения в системе (10.125)
почленно перемножить, то получится уравнение (10.124). Значит, система (10.125) и уравнение (10.124) равносильны. Поэтому, если точка
M лежит на одной из прямых (10.125), то она принадлежит однополостному гиперболоиду. То есть все прямые семейства (10.125) целиком располагаются на однополостном гиперболоиде и, следовательно,
все семейство прямых (10.125) образует однополостной гиперболоид.
Рассмотрим другую систему уравнений первой степени:
x
z
+
a
c
x
z
−
a
c
1
=
1 −
t
= t1 +
y
,
b
y
(10.126)
.
b
Она равносильна уравнению (10.124) и на однополостном гиперболоиде определит еще одно семейство прямых, отличное от рассмотренного
(t — произвольное число).
Таким образом, через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого семества прямых (10.125)
и (10.126) (рис. 10.14).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]