Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 40. Прямая на плоскости 331
Приравнивая координаты левой и правой части этого равенства, получим
x = x0+ tm,
(9.10)
y = y0+ tn.
Определение 6. Уравнения (9.10) называются параметрическими
уравнениями L.
Замечание 9. Исключив параметр t в уравнениях (9.10), полу-
чим каноническое уравнение (9.9) этой прямой. И наоборот, введя
параметр t
x − x
t =
m
y − y
0
=
0
,
n
можно из канонического уравнения (9.9) прямой получить ее параметрические уравнения.
5. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нормальное
уранение прямой на плоскости является частным, но специальным
видом общего уравнения прямой на плоскости. С помощью этого
уравнения, в частности, несложно получить достаточно простую в применении и в вычислении формулу нахождения расстояния от данной
точки до данной прямой.
Пусть на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат OXY с началом в точке O дана прямая L. Опустим из начала
координат O на прямую L перпендикуляр, и точку пересечения перпендикуляра с прямой L обозначим P. Длину отрезка OP обозначим p.
y
P
n
0
M(x, y)
α
0
x
Рис. 9.3
L
332 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
На отрезке OP возьмем вектор n0единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора OP (рис. 9.3). Обозначим через α угол между осью OX и вектором n0, тогда координаты
этого вектора будут
n0= (cos α, sin α). (9.11)
Обозначим через n0ось, определяемую вектором n0. Точка M (x, y)
плоскости тогда и только тогда будет лежать на прямой L, когда
пр
OM = p. (9.12)
n
0
Так как n0— вектор единичной длины, то из формул (8.12) и (9.12)
получаем
|n0|пр
OM = (n0, OM ) = p. (9.13)
n
0
Координаты векторов сомножителей известны:
n0= (cos α, sin α), OM = (x − 0, y −0) = (x, y),
поэтому можем вычислить скалярное произведение
(n0, OM ) = x cos α + y sin α. (9.14)
Теперь из равенств (9.12), (9.13) и (9.14) получаем уравнение
x cos α + y sin α − p = 0, (9.15)
которое называется нормальным уравнением прямой L.
Существует еще несколько способов задания прямой на плоскости: уравнение прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две различные заданные
точки, и т. п. Все эти уравнения очень просто получаются из описанных выше. Предоставляется возможность получить их в качестве
самостоятельных упражнений.
6. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости в
декартовой прямоугольной системе координат OXY с началом в точке
O дана прямая L и M0(x0, y0) — произвольная фиксированная точка
плоскости. Найдем расстояние d от точки M0до прямой L. Для
вычисления этого расстояния опустим из начала координат O на прямую L перпендикуляр, и точку пересечения перпендикуляра с прямой
L обозначим P. Длину отрезка OP обозначим p. На отрезке OP
возьмем вектор n0единичной длины, направление которого совпадает
с направлением вектора OP. Обозначим через α угол между осью OX
§ 40. Прямая на плоскости 333
и вектором n0, тогда координаты этого вектора будут
n0= (cos α, sin α). (9.16)
Обозначим через n0ось, определяемую вектором n0(рис. 9.4).
Если точки O и M0расположены по разные стороны от прямой
L, то
пр
OM0= p + d.
n
0
Если точки O и M0расположены по одну сторону от прямой L, то
пр
OM0= p − d.
n
0
Если прямая L проходит через точку O, то вектор n0следует направить в ту полуплоскость от L, в которой лежит точка M0. В этом
случае
пр
OM0= 0 − d, (p = 0).
n
0
Таким образом, при любом взаимном расположении точек O и M
справедливо равенство
d = |пр
OM0− p|.
n
0
Если воспользоваться формулой (8.12),
d = |пр
OM0− p| = ||n0|пр
n
0
OM0− p| = |(n0, OM0) − p|.
n
0
Воспользуемся координатами векторов сомножителей
n0= (cos α, sin α), OM0= (x0− 0, y0− 0) = (x0, y0) (9.17)
для вычисления скалярного произведения
(n0, OM0) = x0cos α + y0sin α. (9.18)
Окончательно получаем формулу вычисления расстояния d от точки
M0до прямой L:
d = |x0cos α + y0sin α − p|. (9.19)
0
Таким образом, расстояние d от точки M0(x0, y0) до прямой L
равно модулю выражения, полученного после подстановки в левую
часть нормального уравнения (9.15) прямой L вместо переменных
x и y координат x0и y0точки M0соответственно.
334 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
y
P
M0(x0, y0)
p
n
0
0
d
x
L
Рис. 9.4
Прямую на плоскости достаточно редко задают нормальным
уравнением, его используют в специфических ситуациях. Как правило, для задания прямой на плоскости используют либо общее, либо
каноническое, либо уравнение с угловым коэффициентом (это уравнение является частным случаем общего уравнения). Каноническое
уравнение легко преобразовать в общее. Поэтому формулу (9.19) расстояния от точки до прямой очень важно переписать так, чтобы она
выражалась только через коэффициенты общего уравнения прямой на
плоскости. Для этого покажем, как привести общее уравнение прямой
L на плоскости
Ax + By + C = 0 (9.20)
с нормальным вектором, координаты которого n(A, B), к нормальному
виду
x cos α + y sin α − p = 0, (9.21)
где (cos α, sin α) — координаты также нормального вектора n0этой
же прямой L, но обязательно единичной длины. Поскольку векторы n(A, B) и n0(cos α, sin α) перпендикулярны к одной прямой L, то
данные векторы параллельны, а поэтому из следствия теоремы 8.13
их координаты пропорциональны, т. е. найдется число µ такое, что
выполняются равенства
µA = cos α, µB = sin α, µC = −p. (9.22)
§ 40. Прямая на плоскости 335
После возведения в квадрат первых двух равенств (9.22) и сложения
результатов получается µ2(A2+ B2) = 1, и тогда
1
µ = ±
√
A2+ B
. (9.23)
2
Число µ в формуле (9.23) называется нормирующим множителем.
Теперь надо выяснить, как для каждого общего уравнения прямой
выбирать знак µ. Поскольку число p является расстоянием, то p > 0.
А тогда из последнего равенства (9.22) ясно, что знак µ должен быть
противоположен знаку C.
В завершение приведем формулу вычисления расстояния d от
точки M0(x0, y0) до прямой L, заданной общим уравнением
Ax + By + C = 0.
Из (9.19) получаем
d = |Aµx0+ Bµy0+ Cµ|, (9.24)
где µ — нормирующий множитель (9.23), и знак µ противоположен
знаку C.
7. Уравнение пучка прямых
Определение 7. Пусть на плоскости дана точка M0(x0, y0). Мно-
жество всех прямых этой плоскости, проходящих через точку M0,
называется пучком прямых с центром в точке M0.
Нам надо получить уравнение пучка прямых с центром в данной
точке. За основу такого уравнения будет выбрано общее уравнение
прямой на плоскости. Очевидно, что центр любого пучка прямых
однозначно определяется точкой пересечения любых двух различных
прямых из этого пучка. Если же на плоскости выбраны две непараллельные прямые, то точка пересечения M0этих прямых однозначно
определяет пучок прямых на плоскости с центром в точке M0.
Докажем теорему 9.1.
Теорема 9.1. Пусть
A1x + B1y + C1= 0 и A2x + B2y + C2= 0
уравнения двух непараллельных прямых L1и L2, пересекающихся в
точке M0(x0, y0), а α и β — любые, не равные одновременно нулю,
336 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
числа. Тогда уравнение
α(A1x + B1y + C1) + β(A2x + B2y + C2) = 0 (9.25)
однозначно определяет пучок прямых с центром в точке M0, т. е. для
любых, не равных одновременно нулю, чисел α и β уравнение (9.25)
определит прямую, проходящую через точку M0, и наоборот, если L —
прямая, проходящая через точку M0, то существуют такие числа α и
β, для которых (9.25) будет общим уравнением прямой L.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала необходимо показать, что для любых чисел α и β, одновременно не равных нулю, уравнение (9.25)
является уравнением первой степени от двух неизвестных, т.е. уравнением некоторой прямой на плоскости. Раскроем скобки и приведем
подобные
(αA1+ βA2)x + (αB1+ βB2)y + (αC1+ βC2) = 0. (9.26)
Это уравнение будет уравнением первой степени от двух неизвестных
только в том случае, когда его коэффициенты при неизвестных x и y
не равны одновременно нулю. Предположим, что
αA1+ βA2= 0 и αB1+ βB2= 0,
тогда
A
A
1
2
= −
α
B
1
,
B
2
= −
β
и, следовательно,
α
A
A
B
1
2
=
B
1
,
2
β
т.е. нормальные векторы прямых L1и L2параллельны, а тогда параллельными будут и прямые L1и L2, что противоречит условию теоремы.
Поэтому уравнение (9.26), а значит и уравнение (9.25), является
уравнением первой степени от двух неизвестных для любых чисел α и
β, одновременно не равных нулю, т.е. является уравнением некоторой
прямой на плоскости.
Покажем, что любая прямая, заданная уравнением (9.25), где α
и β одновременно не равны нулю, проходит через точку M0. Пусть α
и β0— два фиксированных числа, и хотя бы одно из них не равно
0
нулю. Тогда уравнение (9.25) запишется в виде
α0(A1x + B1y + C1) + β0(A2x + B2y + C2) = 0, (9.27)
и оно задает некоторую прямую L0. Покажем, что эта прямая проходит
через точку M0(x0, y0). Поскольку прямые L1и L2пересекаются в этой
точке, то ее координаты (x0, y0) удовлетворяют уравнениям данных
§ 40. Прямая на плоскости 337
прямых
A1x0+ B1y0+ C1= 0 и A2x0+ B2y0+ C2= 0.
Следовательно,
α0(A1x0+ B1y0+ C1) + β0(A2x0+ B2y0+ C2) = 0,
т.е. прямая L0проходит через точку M0(x0, y0).
Для завершения доказательства теоремы выберем на плоскости произвольно фиксированную точку M1(x1, y1), отличную от точки
M0(x0, y0). Через две различные точки — M0(x0, y0) и M1(x1, y1) проходит единственная прямая, обозначим ее L∗. Осталось доказать, что
можно найти такие числа α и β, одновременно не равные нулю, что
(9.25) будет уравнением прямой L∗.
Подставим координаты (x1, y1) точки M1в уравнение (9.25) вместо x и y соответственно. Получим
α(A1x1+ B1y1+ C1) + β(A2x1+ B2y1+ C2) = 0. (9.28)
Так как координаты (x1, y1) фиксированной точки M1не являются
переменными величинами, то (9.28) следует рассматривать теперь как
уравнение от неизвестных α и β. Значит текущую ситуацию можно
переформулировать иначе, а именно: для данной пары чисел (x1, y1),
отличной от пары (x0, y0), найти такие значения неизвестных α и β,
чтобы выполнялось равенство (9.28), т. е. решить уравнение (9.28)
относительно неизвестных α, β. Это уравнение можно решить только
в том случае, когда хотя бы один из коэффициентов (либо при α, либо
при β) отличен от нуля. Предположим, что оба коэффициента равны
нулю одновременно:
A1x1+ B1y1+ C1= 0 и A2x1+ B2y1+ C2= 0.
Тогда обе прямые L1и L2проходят через две различные точки M
и M1и значит они совпадают, что невозможно по условию. Следовательно, хотя бы один из коэффициентов уравнения (9.28) (либо при α,
0
либо при β) отличен от нуля. Пусть, например, A1x1+ B1y1+ C16= 0,
тогда, заменив β любым отличным от нуля числом, найдем числовое
значение неизвестной α:
α = −
A2x1+ B2y1+ C
A1x1+ B1y1+ C
2
β.
1
338 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
При таких α и β прямая L∗будет задаваться уравнением (9.25). Аналогично рассматривается случай, когда в уравнении (9.28) коэффициент
при β отличен от нуля.
8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Здесь будут
рассмотрены вопросы, связанные со взаимным расположением двух
прямых на плоскости (параллельность, перпендикулярность и пр.). Почти все такие вопросы, как правило, решаются измерением угла между
двумя прямыми. Для разных форм уравнений прямых имеются свои
способы вычисления этого угла. рассмотрим случаи, когда каждая из
двух прямых задается либо общим, либо каноническим уравнением.
1) Пусть две прямые L1и L2заданы общими уравнениями:
L1: A1x + B1y + C1= 0 и L2: A2x + B2y + C2= 0.
Применяя элементарные знания школьной геометрии, получаем, что
угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями, равен
углу ϕ между нормальными векторами n1(A1, B1) и n2(A2, B2) этих
прямых. Из формулы (8.17) получаем
cos ϕ =
(n1, n2)
|n1||n2|
=
p
A1A2+ B1B
2
A
+ B
1
A
2
2
2
+ B
. (9.29)
2
2
p
2
1
Условие перпендикулярности прямых L1и L2, заданных общими
уравнениями, получаем из следствия 1 теоремы 8.9:
A1A2+ B1B2= 0. (9.30)
Условие параллельности прямых L1и L2, заданных общими урав-
нениями, получаем из следствия теоремы 8.13
A
A
B
1
2
=
1
. (9.31)
B
2
При этом, прямые L1и L2, заданные общими уравнениями, совпа-
дают тогда и только тогда, когда выполняются равенства
A
A
B
1
=
B
2
C
1
2
=
1
. (9.32)
C
2
2) Пусть обе прямые L1и L2заданы каноническими уравнениями
L1:
x − x
m
1
y − y
1
=
n
1
1
и L2:
x − x
m
2
y − y
2
=
n
2
,
2
§ 40. Прямая на плоскости 339
с направляющими векторами q1(m1, n1) и q2(m2, n2) соответственно.
Очевидно, что угол между прямыми L1и L2, заданными канониче-
скими уравнениями, равен углу ϕ между направляющими векторами q1(m1, n1) и q2(m2, n2) этих прямых. Применяя (8.17), получаем
cos ϕ =
(q1, q2)
|q1||q2|
=
p
m1m2+ n1n
2
m
+ n
1
m
2
2
2
+ n
, (9.33)
2
2
p
2
1
т. е. формулу для вычисления угла ϕ между прямыми L1и L2.
Условие перпендикулярности прямых L1и L2, заданных каноническими уравнениями, получаем из следствия 1 теоремы 8.9:
m1m2+ n1n2= 0. (9.34)
Условие параллельности прямых L1и L2, заданных каноническими уравнениями, получаем из следствия теоремы 8.13:
m
m
n
1
2
=
1
. (9.35)
n
2
3) Рассмотрим смешанный случай, когда прямая L1задана общим
уравнением, прямая L2— каноническим:
L1: Ax + By + C = 0 и L2:
x − x
m
Обозначим через ϕ — угол между прямыми L1и L
y − y
0
=
0
.
n
ϕ 6
2
π
2
и ψ —
угол между нормальным вектором n(A, B) прямой L1и направляющим вектором q(m, n) прямой L2. При любом взаимном расположении
векторов n и q будет выполняться равенство
π
ψ =
± ϕ, тогда sin ϕ = cosψ.
2
Следовательно,
sin ϕ = cosψ =
(n, q)
|n||q|
=
√
Am + Bn
A2+ B
√
2
m2+ n
2
(9.36)
есть формула вычисления угла между прямыми L1и L2, когда они
заданы разными типами уравнений.
Прямые L1и L2параллельны тогда и только тогда, когда нормальный вектор n прямой L1перпендикулярен направляющему вектору q прямой L2. Поэтому
340 Глава 9. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость
условие параллельности прямых L1и L2, заданных разными
типами уравнений,
Am + Bn = 0; (9.37)
условие перпендикулярности прямых L1и L2, заданных разными типами уравнений,
A
m
B
=
. (9.38)
n
Построение векторного уравнения r = r0+ tq прямой на плоско-
сти, как и канонического, основывается на существовании направляющего вектора прямой. Поэтому вопросы измерения угла между двумя
прямыми, выводы условий параллельности и перпендикулярности двух
прямых, заданных векторными уравнениями, решаются в точности так
же, как в случае 2), когда обе прямые задавались каноническими
уравнениями.
Пример 1. Показать, что прямые 3x − 2y + 2 = 0 и 2x − 2y + 2 =
= 0 пересекаются, и найти координаты точки пересечения.
Решение. Нормальные векторы n1(3, −2), n2(2, −2) этих прямых,
очевидно, непараллельны, поэтому данные прямые пересекаются. Точка пересечения прямых является их общей точкой, поэтому решаем
систему
3x − 2y = −2,
2x − 2y = −2.
Получим x = 0, y = 1. Значит, данные прямые пересекаются в точке
M(0, 1).
Пример 2. Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M (1, 3) параллельно прямой 2x + 3y + 2 = 0.
Решение. Пусть L искомая прямая. По условию прямая L и
заданная прямая параллельны, поэтому параллельными будут их нормальные векторы. А поскольку в качестве нормального вектора прямой
можно взять любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой,
то нормальный вектор n(2, 3) заданной прямой является нормальным
и для L. Поэтому прямую L можно записать уравнением
2(x − 1) + 3(y −3) = 0,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]