Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 26. Характеристические корни и собственные векторы 231
где x0— фиксированный ненулевой вектор пространства Vn. Является
ли это преобразование линейным?
7. Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов:
a1= (1, 0, 0, −1), a2= (2, 1, 1, 0), a3= (1, 1, 1, 1),
a4= (1, 2, 3, 4), a5= (0, 1, 2, 3).
8. Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек ha1, a2, a3i
и hb2, b2, b3i:
a1= (1, 2, 1),
a2= (1, 1, −1),
a3= (1, 3, 3),
b1= (1, 2, 2),
b2= (2, 3, −1),
b3= (1, 1, −3).
9. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором базисе матрицами:
а)
2 −1 2
5 −3 3
−1 0 −2
, б)
−4 4 0
−2 1 2
0 1 0
, в)
4 −5 2
5 −7 3
6 −9 4
.
10. Выяснить, какие из следующих матриц линейных преобразований
можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:
а)
−1 3 −1
−3 5 −1
−3 3 1
, б)
6 −5 −3
3 −2 −2
2 −2 0
.
Г л а в а 6
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Мы уже знаем, что между линейными пространствами любой
конечной размерности и пространствами векторов-отрезков размерностей два и три имеется достаточно много общего. Так, в любом
линейном пространстве его векторы, так же как и в трехмерном, можно складывать, умножать на действительные числа; введено понятие
линейной зависимости векторов аналогично понятию параллельности;
в каждом линейном пространстве определены минимальные системы
порождающих, называемые базисами и т. п. Однако, по сравнению
с плоскостью и трехмерным пространством, в линейных пространствах нам явно недостает метрических свойств — мы не умеем изме-
рять длины векторов и углы между ними. В трехмерном векторном
пространстве эти понятия основаны на свойствах геометрии реального мира, который мы интерпретируем как трехмерное пространство. Их достаточно сложно геометрически привнести в линейные
пространства любой конечной размерности. Однако понятия длины
векторов-отрезков и угла между ними связаны с другим понятием —
скалярным произведением векторов-отрезков. Изначально скалярное
произведение векторов-отрезков — понятие также геометрическое, но
оно имеет ряд таких алгебраических свойств, которые его вполне характеризуют и могут быть взяты за основу аксиоматического введения
скалярного произведения векторов в линейном пространстве. После
введения скалярного произведения векторов в линейных пространствах мы с его помощью через формулы определим понятия длины
вектора и угла между векторами в любом линейном пространстве.
В применении к пространствам размерности два и три эти формулы
совпадут с известными.
§ 27. Скалярное произведение векторов
Начнем с определения скалярного произведения векторов-
отрезков.
линейного пространства
§ 27. Скалярное произведение векторов линейного пространства 233
Определение 1. Скалярным произведением двух ненулевых
векторов-отрезков a и b называется число, равное произведению длин
этих векторов на косинус угла ϕ между ними. Если хотя бы один из
векторов является нулевым, скалярное произведение такой пары равно
нулю:
(a, b) = |a||b|cos ϕ.
Из этого определения вытекают алгебраические свойства скаляр-
ного произведения векторов-отрезков:
1) (a, b) = (b, a) — коммутативность скалярного произведения;
2) (a, b + c) = (a, b) + (a,c) — дистрибутивность скалярного умно-
жения относительно сложения векторов;
3) (αa, b) = α(a, b) — ассоциативность скалярного произведения
относительно умножения вектора на число;
4) ∀a (a, a) > 0, причем (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда
a = o — положительность скалярного квадрата любого ненулевого
вектора.
Определение 2. Будем говорить, что в линейном пространстве
Vnзадано скалярное произведение векторов, если каждой паре векто-
ров a и b из Vnпоставлено в соответствие действительное число (a, b)
так, что выполняются следующие условия:
1) (a, b) = (b, a);
2) (a, b + c) = (a, b) + (a, c);
3) (αa, b) = α(a, b);
4) ∀a ∈ Vn(a, a) > 0, причем (a, a) = 0 тогда и только тогда, когда
a = o.
Условия 1)–4) будем называть аксиомами скалярного произве-
дения.
Определение 3. Линейное пространство Vn, в котором задано
скалярное произведение векторов, называется евклидовым и обозначается En.
Заметим, что из аксиомы 3 при α = 0 получаем равенство
f(o, b) = 0, (6.1)
т.е. скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор b
равно нулю, В частности, скалярный квадрат нулевого вектора равен
нулю.
234 Глава 6. Евклидовы пространства
Из аксиом 1–3 очевидно вытекает формула для скалярного про-
изведения линейных комбинаций двух систем векторов:
k
X
i=1
αiai,
s
X
j=1
βjb
k
i=1
s
X
αiβj(ai, bj). (6.2)
j=1
X
=
j
Закономерно возникает вопрос: всегда ли можно превратить линейное пространство в евклидово, или, другими словами, существует ли
универсальный способ введения скалярного произведения в любом
линейном пространстве? Ответ на этот вопрос дает теорема 6.1.
Теорема 6.1. При любом n в линейном пространстве Vnможно
ввести скалярное произведение векторов, т. е. можно превратить это
пространство в евклидово.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в пространстве Vnлюбую базу
e1, e2, .. . , en. Пусть a и b — любые векторы пространства Vnи
a =
n
X
αiei, b =
i=1
n
X
j=1
βjej.
Зададим скалярное произведение (a, b) так:
n
X
(a, b) =
αiβi. (6.3)
i=1
Нетрудно проверить, что все аксиомы скалярного произведения будут
выполняться, т. е. равенство (6.3) действительно определяет в Vnскалярное произведение векторов.
Определение 4. Длиной вектора a в евклидовом пространстве
Enназывается число |a|, равное положительному значению квадратно-
го корня из его скалярного квадрата
|a| =p(a, a) . (6.4)
Теорема 6.2. В любом евклидовом пространстве Enдля всех пар
его векторов a и b справедливо неравенство
(a, b)26 |a|2|b|
2
(оно называется неравенством Коши–Буняковского).
(6.5)
§ 27. Скалярное произведение векторов линейного пространства 235
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть α — произвольное действительное
число. Тогда из аксиомы 4 скалярного произведения следует
(a − αb, a −αb) > 0,
отсюда, используя аксиомы 1–3, получаем
(a, a) −2α(a, b) + α2(b, b) > 0,
или
|a|2− 2α(a, b) + α2|b|2> 0.
В левой части полученного неравенства записан квадратный трехчлен
от переменной α. Так как он должен быть неотрицательным при всех
значениях α, то его дискриминант не может быть положительным:
(a, b)2− |a|2|b|26 0,
что и требовалось доказать.
Очевидно, что неравенство Коши–Буняковского превращается
в равенство (a, b)2= |a|2|b|2в том и только в том случае, когда для
некоторого α имеем a − αb = 0, т. е. когда векторы a и b между собой
линейно зависимы, проще говоря — пропорциональны: a = αb.
Теорема 6.3. В любом евклидовом пространстве Enдля всех пар
его векторов a и b справедливо неравенство
|a + b| 6 |a| + |b| (6.6)
(оно называется неравенством треугольника).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь неравенством Коши–Буняковского,
получаем
|a + b|2= (a + b, a + b) = |a|2+ 2(a, b) + |b|26
6 |a|2+ 2|a||b| + |b|2= (|a| + |b|)2,
отсюда
|a + b| 6 |a| + |b|.
Определение 5. Угол ϕ между ненулевыми векторами a и b
евклидова пространства Enопределяется равенством
(a, b)
cos ϕ =
. (6.7)
|a||b|
236 Глава 6. Евклидовы пространства
Заметим, что угол между векторами евклидова пространства
определен вполне корректно, покажем, что косинус этого угла по
модулю не превосходит единицы. Действительно, из неравенства
Коши–Буняковского следует
−1 6
6 1.
|a||b|
В заключение заметим, что в линейном пространстве Vnска-
лярное произведение векторов можно задать, вообще говоря, многими
различными способами. Очевидно, что использование формулы (6.3)
зависит от выбора базы, но мы пока не знаем, можно ли ввести
скалярное произведение иначе, т.е. каким-либо принципиально иным
способом. Ниже приведем обзор всех возможных способов превращения n-мерного линейного пространства в евклидово пространство
и установим, что в определенном смысле для всякого натурального n
существует одно-единственное n-мерное евклидово пространство.
§ 28. Ортогональные системы.
Ортонормированный базис
Пусть дано произвольное евклидово пространство En.
(a, b)
Определение 6. Векторы a и b пространства Enназываются
ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:
(a, b) = 0.
Факт ортогональности векторов a и b будем записывать в виде
a ⊥ b. Из определения и формулы (6.1) следует, что нулевой вектор
ортогонален любому вектору пространства. Для евклидовых про-
странств любых размерностей справедлива теорема Пифагора.
Теорема 6.4. Если векторы a и b евклидова пространства E
ортогональны, то
|a + b|2= |a|2+ |b|2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если (a, b) = 0, то из определения длины вектора и аксиом 1–3 скалярного произведения получаем
|a + b|2= (a + b, a + b) = (a, a) + 2(a, b) + (b, b) = |a|2+ |b|2.
n
§ 28. Ортогональные системы. Ортонормированный базис 237
Определение 7. Система векторов a1, a2, .. . , akпространства E
называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно
ортогональны, т. е. для i 6= j
(ai, aj) = 0. (6.8)
Теорема 6.5. Всякая ортогональная система ненулевых векторов
пространства Enлинейно независима.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть в Enимеется система векторов a1, a2, .. . , ak, такая, что ai6= o, i = 1, 2, .. . , k, и выполня-
ется условие (6.8). Запишем равенство
α1a1+ α2a2+ ···+ αkak= o (6.9)
и выясним, при каких коэффициентах оно возможно. Умножим скалярно обе части этого равенства на вектор ai, i = 1, 2, ... , k, и, применяя
аксиомы скалярного произведения, а также формулу (6.1), получим
0 = (o, ai) = (α1a1+ α2a2+ ···+ αiai+ ···+ αkak, ai) =
n
= α1(a1, ai) + α2(a2, ai) + ··· + αi(ai, ai) + ··· + αk(ak, ai) = αi(ai, ai).
Ввиду того, что ai6= o, из аксиомы 4 имеем (ai, ai) > 0. Тогда αi= 0,
i = 1, 2, ... , k, что и требовалось доказать.
Следующая теорема и особенно метод ее доказательства позволят получить способ построения ортогональных баз в любом евклидовом пространстве.
Теорема 6.6. Если
a1, a2, .. . , a
k
(6.10)
— линейно независимая система из k векторов евклидова простран-
ства En, то из этих векторов некоторым способом можно построить
ортогональную систему векторов
b1, b2, .. . , bk, (6.11)
состоящую из k ненулевых векторов пространства En.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку система (6.10) линейно независима, то ai6= o, i = 1, 2, . .. , k. Пусть первый вектор системы (6.10)
будет первым вектором строящейся системы (6.11), т. е. b1= a1. Определим вектор b2в виде
b2= α1b1+ a2.
238 Глава 6. Евклидовы пространства
Заметим, что ввиду линейной независимости векторов a1и a2вектор
b2будет отличен от нулевого при любом числе α1. Подберем коэффициент α1так, чтобы векторы b1и b2были ортогональными:
0 = (b1, b2) = (b1, α1b1+ a2) = α1(b1, b1) + (b1, a2).
Поскольку по аксиоме 4 скалярный квадрат (b1, b1) не равен нулю,
то, сравнивая левую и правую части последней цепочки равенств,
получаем
α1= −
.
(b1, b1)
Далее, пусть уже построена такая ортогональная система ненулевых
векторов b1, b2, .. . , bl, l < k, что каждый вектор bi, i = 1, 2, . .. , l является линейной комбинацией векторов
a1, a2, .. . , al.
(b1, a2)
Тогда определим вектор b
b
= α1b1+ α2b2+ ···+ αlbl+ a
l+1
Вектор b
в такой записи не может равняться нулевому, ведь система
l+1
векторов (6.10) линейно независимая, а вектор a
l+1
в виде
.
l+1
не содержится в за-
l+1
писи векторов b1, b2, .. . , bl. Подберем коэффициенты αi, i = 1, 2, ... , l
так, чтобы вектор b
стал ортогональным ко всем уже построенным
l+1
векторам bi, i = 1, 2, ... , l:
0 = (bi, b
) = (bi, α1b1+ α2b2+ ···+ αlbl+ a
l+1
= α1(bi, b1) + α2(bi, b2) + ··· + αl(bi, bl) + (bi, a
l+1
) =
l+1
).
С учетом ортогональности системы векторов b1, b2, .. . , blпоследнее
равенство принимает вид
αi(bi, bi) + (bi, a
l+1
) = 0.
Значит,
αi= −
(bi, a
)
l+1
, i = 1, 2, . .. , l.
(bi, bi)
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему b1, b2, .. . , bk. Теорема доказана.
Процедура построения ортогональной системы из линейно независимой системы векторов евклидова пространства En, примененная
§ 28. Ортогональные системы. Ортонормированный базис 239
в доказательстве последней теоремы, называется процессом ортого-
нализации.
Следствие. Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базами, причем любой ненулевой вектор этого пространства
содержится в некоторой ортогональной базе.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную базу пространства
Enи применим к ней процесс ортогонализации. В результате получим
ортогональную систему из n ненулевых векторов. По теореме 6.5 она
будет линейно независимой, а поэтому составит базу пространства,
т.е. доказана первая часть теоремы.
В § 17 отмечалось, что любой ненулевой вектор пространства
может быть включен в некоторую базу этого пространства. Теперь,
учитывая, что в процессе ортогонализации первый вектор строящейся
ортогональной системы совпадает с первым вектором исходной линейно независимой системы, убеждаемся в справедливости второй части
утверждения теоремы.
Рассмотрим частный случай ортогональных баз евклидовых пространств. Это будут базы, аналогичные так называемым единичным
ортам i, j, k трехмерного пространства векторов-отрезков, используемых в аналитической геометрии.
Определение 8. Вектор b евклидова пространства Enназывается
нормированным, если его длина равна единице:
|b| = 1.
Понятно, что для нормированного вектора b всегда (b, b) = 1
и наоборот.
Определение 9. Если a — ненулевой вектор пространства En, то
нормированием вектора a называется процедура перехода к вектору
1
p
b =
a.
(a, a)
Вектор b будет нормированным, поскольку
(b, b) =
p
1
(a, a)
a,
p
1
a!=
(a, a)
1
p
(a, a)
!
2
(a, a) = 1.
240 Глава 6. Евклидовы пространства
Определение 10. База e1, e2, .. . , enевклидова пространства E
называется ортонормированной, если она ортогональна и все ее векторы нормированные, т. е.
0, i 6= j,
(ei, ej) =
(6.12)
1, i = j.
Теорема 6.7. Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базами.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как для любых чисел α и β из равенства (a, b) = 0 следует
(αa, βb) = αβ(a, b) = 0,
то при нормировании ортогональность системы векторов сохраняется.
А тогда для доказательства теоремы достаточно взять любую ортогональную базу евклидова пространства и нормировать все ее векторы.
Теорема 6.8 открывает возможность вычислять скалярное произ-
n
ведение векторов евклидова пространства так же, как в трехмерном
пространстве векторов-отрезков, когда известны координаты сомножителей в декартовой системе координат.
Теорема 6.8. База e1, e2, .. . , enевклидова пространства Enтогда
и только тогда будет ортонормированной, когда скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений
соответствующих координат этих векторов в этой базе, т. е. из
a =
n
X
αiei, b =
i=1
n
X
j=1
βje
j
(6.13)
следует
n
X
(a, b) =
i=1
αiβ
i
(6.14)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если база e1, e2, .. . , e
ортонормированная, т. е. для нее верно (6.12), то
n
(a, b) =
k
X
i=1
αiei,
s
X
j=1
βje
k
i=1
s
X
αiβj(ei, ej) =
j=1
X
=
j
n
X
i=1
αiβi.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]