Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 18. Ранг матрицы 161
Рассмотрим все элементы j-го столбца матрицы C, т. е. в этой формуле
при фиксированном значении j придадим индексу i все возможные
значения. Если расписать все суммы, расположенные в правых частях
равенств, а затем все равенства объединить в одно матричное равенство, левая часть которого будет равна j-му столбцу матрицы C, то
станет ясно, что для всех возможных значений j j-й столбец матрицы
C является линейной комбинацией столбцов матрицы A с коэффици-
ентами b1j, b2j, .. . , bnj. Другими словами, система столбцов матрицы C
линейно выражается через систему столбцов матрицы A. Теперь, по
теореме 4.11, вертикальный ранг матрицы C не больше вертикального
ранга матрицы A. По теореме 4.13 это соотношение справедливо и для
рангов матриц C и A. Аналогично показывается, что всякая i-я строка
матрицы C будет линейной комбинацией строк матрицы B, а поэтому
ранг C не выше ранга B.
Утверждение 2. Ранг произведения произвольной матрицы A
справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен
рангу матрицы A.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть C = AQ. Из утверждения 1 ясно,
что ранг матрицы C не больше ранга матрицы A. Умножая исходное
равенство справа на Q−1, получим A = CQ−1, а поэтому, снова из
утверждения 1, ранг A не больше ранга C. Следовательно, r(A) =
= r(C).
Пример. Вычислить ранг матрицы A:
1 0 2 0 0
A =
0 1 0 2 0
2 0 4 0 0
.
1 1 1 1 1
Решение. Выполним элементарные преобразования:
1 0 2 0 0
0 1 0 2 0
2 0 4 0 0
1 1 1 1 1
∼
∼
1 0 0 0 0
0 1 0 2 0
0 1 −1 1 1
0 0 0 0 0
1 0 2 0 0
0 1 0 2 0
0 0 0 0 0
0 1 −1 1 1
∼
1 0 2 0 0
∼
0 1 0 2 0
0 1 −1 1 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 2 0
0 0 −1 −1 1
0 0 0 0 0
∼
∼
6 Б.К. Дураков
162 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
∼
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 −1 −1 1
0 0 0 0 0
∼
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 0
∼
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
Ранг матрицы A равен 3.
§ 19. Системы линейных уравнений
В этом параграфе будут рассмотрены произвольные системы
линейных уравнений. Выше мы уже касались некоторых вопросов,
связанных с этой темой. Так, в § 14 приведены все сопутствующие
линейным системам определения, отдельно изучены квадратные системы с отличным от нуля главным определителем, доказана теорема
Крамера, выведены формулы Крамера. В § 15 приведен общий метод решения систем линейных уравнений — метод последовательного
.
исключения неизвестных, или, как его чаще всего называют, метод
Гаусса. Этим методом можно решать любые системы, в том числе
и те, которые решают с помощью формул Крамера. Следовательно,
задача нахождения решений произвольной системы линейных уравнений вполне решена. Поэтому мы сосредоточим свое внимание на
вопросе существования решений систем линейных уравнений, или,
что то же самое, на вопросе совместности систем. Здесь заметим,
что применение метода Гаусса дает ответ и на этот вопрос при полном
проведении процедуры нахождения решений системы. Мы докажем
теорему, которая позволит, не решая системы, определить, совместна
она или нет, что имеет важное теоретическое значение.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
α11x1+ α12x2+ ···+ α1nxn= β1,
α21x1+ α22x2+ ···+ α2nxn= β2,
(4.61)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
αm1x1+ αm2x2+ ···+ αmnxn= βm.
Здесь нам будет удобнее обозначать все коэффициенты системы
и свободные члены строчными греческими буквами.
§ 19. Системы линейных уравнений 163
Запишем основную A и расширенную A матрицы системы (4.61):
1n
2n
.
.
.
mn
β
1
β
2
.
.
.
.
β
m
A =
α
11
α
21
.
.
.
α
m1αm2
α
α
.
.
.
12
22
... α
... α
.
.
.
... α
1n
2n
.
.
.
mn
, A =
α
11
α
21
.
.
.
α
m1αm2
α
α
12
22
.
.
.
... α
... α
.
.
.
... α
Очевидно, что ранг матрицы A либо равен рангу матрицы A,
либо на единицу больше последнего. В самом деле, если взять некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы
A, то либо она будет максимальной линейно независимой в системе
столбцов матрицы A, т. е. столбец свободных членов матрицы A будет
через нее линейно выражаться (в этом случае ранги матриц A и A
равны), либо в результате присоединения к ней столбца свободных
членов матрицы A получим максимальную линейно независимую систему столбцов расширенной матрицы (в этом случае ранг матрицы A
на единицу больше ранга матрицы A).
Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью
решается теоремой 4.15.
Теорема 4.15 (Кронекера — Капелли). Система линейных
уравнений (4.61) тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы A равен рангу ее основной матрицы A.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система (4.61) совместна и пусть
γ1, γ2, .. . , γn— одно из ее решений. Подставляя эти числа вместо
неизвестных в систему (4.61), получим систему равенств
α11γ1+ α12γ2+ ···+ α1nγn= β1,
α21γ1+ α22γ2+ ···+ α2nγn= β2,
(4.62)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
αm1γ1+ αm2γ2+ ···+ αmnγn= βm.
Перепишем эту систему в виде векторного равенства:
γ
1
α
α
α
11
21
.
.
.
m1
+ γ
2
α
α
α
12
22
.
.
.
m2
+ ··· + γ
n
α
α
α
1n
2n
.
.
.
mn
=
β
1
β
2
. (4.63)
.
.
.
β
m
6*
164 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Из этого равенства следует, что столбец свободных членов расширенной матрицы A линейно выражается через столбцы основной
матрицы A, поэтому r(A) = r(A) и в одну сторону теорема доказана.
Пусть теперь r(A) = r(A). Выше отмечалось, что в этом случае
столбец свободных членов расширенной матрицы A будет линейно
выражаться через максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы A, а значит, и через все столбцы основной матрицы
системы, т.е. для подходящих коэффициентов γ1, γ2, .. . , γnбудет выполняться векторное равенство (4.63) и, значит, равенства (4.62).
Но тогда, по определению, набор чисел γ1, γ2, .. . , γnбудет решением
системы (4.61), т. е. система линейных уравнений (4.61) совместна.
Теорема доказана полностью.
Используя теорему Кронекера — Капелли, можно упростить процедуру решения систем линейных уравнений. В самом деле, если
r(A) < r(A), то система (4.61) несовместна и на этом ее решение
закончено. Пусть установлено, что r(A) = r(A) = r. Тогда следует
выделить r линейно независимых уравнений (они будут иметь те
коэффициенты, которые составляют в матрице A максимальную линейно независимую систему строк). Без ограничения общности можно
считать, что это первые r уравнений системы (4.61). Остальные m − r
уравнений системы линейно выражаются через них и в результате
применения метода Гаусса преобразуются в уравнения со всеми нулевыми коэффициентами. Потому эти уравнения необходимо отбросить,
а решать будем равносильную исходной систему из r уравнений с n
неизвестными:
α11x1+ α12x2+ ···+ α1nxn= β1,
α21x1+ α22x2+ ···+ α2nxn= β2,
(4.64)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
αr1x1+ αr2x2+ ···+ αrnxn= βr.
Тогда могут иметь место два случая.
1. Если r = n (ранг совпадает с числом неизвестных системы),
то получится квадратная система, определитель основной матрицы
которой отличен от нуля. Тогда можно ее решать и методом Гаусса,
и с помощью формул Крамера. По теореме Крамера система (4.64),
а следовательно, и (4.61), будет иметь единственное решение.
2. Пусть r < n, и пусть, для определенности, отличен от нуля
минор r-го порядка, составленный из коэффициентов при первых r
неизвестных. Перенесем в каждом из уравнений (4.64) в правую часть
§ 19. Системы линейных уравнений 165
все слагаемые с неизвестными x
r+1
, x
, .. . , xn:
r+2
α11x1+ α12x2+ ···+ α1rxr= β1− α
α21x1+ α22x2+ ···+ α2rxr= β2− α
1,r+1xr+1
2,r+1xr+1
− ···− α1nxn,
− ···− α2nxn,
(4.65)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... ...
αr1x1+ αr2x2+ ···+ αrrxr= βr− α
r,r+1xr+1
− ···− αrnxn.
Полученную систему можно рассматривать как квадратную относительно неизвестных x1, x2, .. . , xr, причем определитель матрицы
(с элементами из коэффициентов при этих неизвестных) нулю не
равен. И тогда с помощью формул Крамера или применяя метод Гаусса
значения основных неизвестных x1, x2, .. . , xrможно выразить через
значения свободных неизвестных x
r+1
, x
, .. . , xn. Эти выражения
r+2
называются общим решением системы (4.65), а значит, и исходной системы (4.61). Подставляя в общее решение вместо свободных
неизвестных любые числовые значения, будем получать бесчисленное
множество частных решений системы (4.61).
Все сказанное выше сформулируем в виде правила решения
произвольной системы линейных уравнений.
Пусть дана совместная система линейных уравнений (4.61),
а ее основная матрица A имеет ранг r. Выбираем в A r линейно независимых строк и оставляем в системе (4.61) лишь те
уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки.
В этих уравнениях оставляем в левых частях такие r неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от
нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Придавая свободным неизвестным
произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных
неизвестных по формулам Крамера или методом Гаусса, мы получим все решения системы (4.61).
Дополнительно сформулируем полученный нами результат в виде
теоремы.
Теорема 4.16. Совместная система линейных уравнений (4.61)
тогда и только тогда обладает единственным решением, когда ранг ее
основной матрицы A равен числу неизвестных.
166 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
§ 20. Подпространства n-мерного векторного
пространства A
n
Вернемся к n-мерным векторным пространствам An. Рассмотрим
некоторые подмножества элементов пространства An.
Определение 23. Пусть W — такое подмножество элементов
пространства An, что для любых двух элементов a, b ∈ W и любого
действительного числа γ
a + b ∈ W ,
γa ∈ W.
Тогда W будем называть подпространством пространства An.
Заметим, что любое подпространство содержит нулевой вектор o = (0, 0, . . . , 0). Действительно, достаточно в определении 23
взять γ = 0. Далее, из определения 23 следует, что любое подпространство содержит всякую линейную комбинацию своих векторов.
Приведем несколько примеров подпространств пространства An,
имеющих важное значение для дальнейшего изложения материала.
Пример 1. Пусть W0состоит только из одного элемента — нуле-
вого вектора пространства A
n
W0= ho = (0, 0, ... , 0)i.
Нетрудно проверить, что все условия определения 23 выполняются, и
тогда W0— подпространство пространства An.
Пример 2. Пусть
Wn= h(α1, α2, .. . , α
Если (α1, α2, .. . , α
, 0) и (β1, β2, .. . , β
n−1
, 0) | ∀αi∈ R, i = 1, 2, ... , n −1i.
n−1
, 0) — два произвольных
n−1
вектора из Wn, а γ — любое действительное число, то
(α1, α2, .. . , α
γ(α1, α2, .. . , α
, 0) + (β1, β2, .. . , β
n−1
= (α1+ β1, α2+ β1, .. . , α
, 0) = (γα1, γα2, .. . , γα
n−1
n−1
, 0) =
n−1
n−1
, 0) ∈ Wn.
+ β
, 0) ∈ Wn,
n−1
Таким образом, Wnесть подпространство пространства An.
Нетрудно проверить, что подмножества
Wj= h(α1, .. . , α
j−1
, 0, α
, .. . , αn) | ∀αi∈ R,
j+1
§ 20. Подпространства n-мерного векторного пространства A
n
167
i = 1, 2, ... , j − 1, j + 1, ... , ni
для всех j = 1, 2, .. . , n будут подпространствами пространства An.
Пример 3. Выберем в пространстве Anпроизвольным образом
несколько векторов:
a1, a2, .. . , ak.
Обозначим через W множество всевозможных линейных комбинаций
выбранных векторов
W = hγ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak| ∀γi∈ R, i = 1, 2, ... , ki.
Нетрудно проверить (оставляем проверку читателю), что W — подпространство пространства An.
Определение 24. Подпространство W , построенное в примере
3, называется линейной оболочкой векторов a1, a2, .. . , ak, или подпространством пространства An, натянутым на векторы a1, a2, .. . , ak.
Как видно из приведенных примеров, в Anимеется очень много
подпространств, нетрудно догадаться, что их бесконечно много.
Пусть W — любое ненулевое подпространство пространства An.
Выберем в W произвольным образом максимальную линейно независимую систему векторов
e1, e2, .. . , ek∈ W.
Тогда, с одной стороны, как было отмечено выше, всякая линейная
комбинация выбранных векторов содержится в W , а с другой – в силу
максимальности, любой вектор из W будет линейной комбинацией
векторов e1, e2, .. . , ek. Таким образом, векторы e1, e2, .. . , ekявляются
минимальной системой порождающих для подпространства W.
Определение 25. Любую максимальную линейно независимую
систему векторов подпространства W будем называть базисом этого
подпространства.
Так как любое подпространство представляет собой прежде всего
некоторую систему векторов пространства An, то последнее определение вполне согласуется с определением 18. Далее, из утверждения 2
(§ 17) следует, что все базисы данного подпространства W пространства Anимеют равное число векторов.
Определение 26. Число векторов в базисе подпространства будем называть размерностью этого подпространства.
168 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Так, нетрудно проверить, что все подпространства Wj(j 6= 0), построенные выше, имеют размерность (n − 1). Действительно, векторы
подпространства W
j
ε1= (1, 0, .. . , 0, 0, 0, ... , 0),
ε2= (0, 1, .. . , 0, 0, 0, ... , 0),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
ε
= (0, 0, .. . , 1, 0, 0, ... , 0),
j−1
ε
= (0, 0, .. . , 0, 0, 1, ... , 0),
j+1
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
εn= (0, 0, .. . , 0, 0, 0, ... , 1)
линейно независимы, поскольку составляют подсистему базиса пространства An. Далее, легко проверить, что любой вектор из Wjявляется линейной комбинацией векторов ε1, ε2, .. . , ε
j−1
, ε
, .. . , εn, т. е.
j+1
это базис подпространства Wj.
В дальнейшем мы будем рассматривать так называемые линейные пространства. Изученное пространство n-мерных векторов An—
это частный (но очень важный) случай линейного пространства.
А уже освоенного материала о подпространствах пространства A
сейчас вполне достаточно для изучения систем линейных однородных
уравнений.
Пример 4. Найти размерность и базис линейного подпространства из A4, натянутого на систему векторов:
a1= (1, 0, 0, −1),
a2= (2, 1, 1, 0),
a3= (1, 1, 1, 1),
a4= (1, 2, 3, 4),
a5= (0, 1, 2, 3).
Решение. Из данных векторов составим матрицу, вычислим ее
ранг, при выполнении элементарных преобразований будем следить,
какие из данных векторов не преобразуются в нулевые:
1 0 0 −1
2 1 1 0
1 1 1 1
1 2 3 4
0 1 2 3
∼
1 0 0 −1
0 1 1 2
0 1 1 2
0 2 3 5
0 1 2 3
∼
1 0 0 −1
0 1 1 2
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
∼
1 0 0 −1
0 1 1 2
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
n
.
§ 21. Системы линейных однородных уравнений 169
Так как в процессе элементарных преобразований строки матрицы местами не менялись, то векторы a1, a2, a4образуют максимальную
линейно независимую подсистему данной системы векторов. Поэтому
один из базисов линейного подпространства, натянутого на систему
векторов a1, a2, a3, a4, a5, есть a1, a2, a4, а размерность этого подпространства равна 3. Читатель без труда заметит, что любой из данных
векторов содержится в некотором базисе этой линейной оболочки.
§ 21. Системы линейных однородных уравнений
Рассмотрим систему линейных однородных уравнений
α11x1+ α12x2+ ···+ α1nxn= 0,
α21x1+ α22x2+ ···+ α2nxn= 0,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
αm1x1+ αm2x2+ ···+ αmnxn= 0.
(4.66)
Так как эта система имеет нулевое решение x1= 0, x2= 0, . ..
... , xn= 0, то она совместна. Если число уравнений m однородной
системы (4.66) меньше числа n ее неизвестных, то, по теореме 2.4,
система имеет также бесчисленное множество ненулевых решений.
Далее будем рассматривать только такие системы, среди коэффициентов которых имеются ненулевые. Применим результаты, полученные в предыдущих параграфах, к системам линейных однородных
уравнений. Пусть матрица A из коэффициентов при неизвестных
системы (4.66) имеет ранг r. Если r = n, то по теореме Крамера
система (4.66) имеет единственное решение и, значит, только нулевое. Если r < n, то эта система, помимо нулевого, обладает еще
бесчисленным множеством ненулевых решений. Для нахождения
всех решений однородной системы линейных уравнений применимы
все методы, которые выше применялись для произвольных линейных
систем. Отдельно приведем важный результат для квадратных однородных систем линейных уравнений.
Теорема 4.17. Квадратная система линейных однородных уравнений тогда и только тогда обладает ненулевыми решениями, когда
определитель основной матрицы этой системы равен нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из теоремы 4.2 вытекает,
что если квадратная система линейных однородных уравнений имеет
ненулевые решения, то определитель основной матрицы этой системы
170 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
равен нулю. Пусть теперь определитель основной матрицы A квадратной системы равен нулю. Тогда ранг r матрицы A меньше числа ее
строк, т. е. меньше числа неизвестных системы. Выше было отмечено,
что в таком случае квадратная система имеет бесчисленное множество
ненулевых решений. Теорема доказана.
Отметим свойства решений однородных систем линейных уравнений, которые прежде всего выделяют эти системы во всей совокупности систем линейных уравнений.
Теорема 4.18. Множество всех решений однородной системы
линейных уравнений с n неизвестными образует подпространство пространства An.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана система однородных линейных
уравнений (4.66). Любое ее решение (β1, β2, .. . , βn) является n-мерным
вектором, и поэтому есть элемент пространства An. Обозначим через
W множество всех решений системы (4.66). Тогда W ⊂ An. Возьмем
два произвольных решения
(β1, β2, .. . , βn) ∈ W, (δ1, δ2, .. . , δn) ∈ W
системы (4.66). Покажем, что сумма этих решений
(β1+ δ1, β2+ δ2, .. . , βn+ δn)
также будет решением данной системы. Для этого подставим компоненты полученного вектора в правую часть i-го уравнения системы
(4.66) вместо соответствующих неизвестных, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
αi1(β1+ δ1) + αi2(β2+ δ2) + ··· + αin(βn+ δn) =
= (αi1β1+ αi2β2+ ···+ αinβn) + (αi1δ1+ αi2δ2+ ···+ αinδn).
Обе скобки в правой части полученного равенства очевидно равны
нулю, поэтому
αi1(β1+ δ1) + αi2(β2+ δ2) + ··· + αin(βn+ δn) = 0.
Следовательно, сумма решений однородной системы (4.66) также является ее решением, т.е.
(β1+ δ1, β2+ δ2, .. . , βn+ δn) ∈ W.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]