Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 5. Делители многочленов. Алгоритм Евклида 51
Вторым остатком, после сокращения на 9, будет r2(x) = x + 3. Так как
r1(x) = r2(x)(x + 2),
то r2(x) будет тем последним остатком, на который делится предыдущий остаток. Таким образом, он и будет наибольшим общим делителем многочленов f (x) и g(x):
(f(x), g(x)) = x + 3.
Пример 2. Используя алгоритм Евклида, найти многочлены u(x)
и v(x), удовлетворяющие равенству
f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x),
где d(x) наибольший общий делитель многочленов
f(x) = x3− x2+ 3x −10, g(x) = x3+ 6x2− 9x −14.
Решение. В решении подобной задачи, при использовании алгоритма Евклида, уже нельзя допускать искажения частных, так как эти
частные используются для нахождения многочленов u(x) и v(x). Применим к данным многочленам алгоритм Евклида и получим систему
равенств:
f(x) = g(x) + (−7x2+ 12x + 4);
g(x) = (−7x2+ 12x + 4)−
1
7
x −
54
49
+
235
(x − 2);
49
−7x2+ 12x + 4 = (x − 2)(−7x − 2).
Следовательно, d(x) = x − 2. Из первых двух равенств выразим d(x)
через f(x) и g(x):
x − 2 = f (x)
7
x +
235
54
235
+ g(x)−
7
235
x −
5
.
235
Таким образом,
u(x) =
7
235
x +
54
, v(x) = −
235
7
235
x −
5
.
235
52 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
§ 6. Корни многочленов
Во введении к этой главе затрагивалось функциональное понятие
значения многочлена. Назрела необходимость сформулировать определение значения многочлена в алгебраическом смысле.
Определение 13. Пусть дан многочлен
f(x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0. (2.33)
Если c — некоторое число, то значением многочлена f (x) в точке
c называется такое число, которое получается заменой в выражении
(2.33) переменной x на число c и последующим выполнением всех
операций в правой части (2.33).
Значение многочлена f(x) в точке c будем обозначать f(c), а
именно: в соответствии с определением 13
f(c) = ancn+ a
n−1
n−1
c
+ ···+ a1c + a0. (2.34)
Очень важно отметить, что если f(x) = g(x) в алгебраическом смысле этого равенства, то очевидно, что f (c) = g(c). Если ϕ(x) = f (x) + g(x), ψ(x) = f(x)g(x), то нетрудно убедиться, что
ϕ(c) = f(c) + g(c) и ψ(c) = f(c)g(c). Таким образом, алгебраические
операции сложения и умножения многочленов ничем не отличаются
от этих операций с теоретико-функциональной точки зрения.
Определение 14. Любое комплексное число c, для которого
f(c) = 0,
будем называть корнем многочлена f(x), или корнем уравнения
f(x) = 0.
Далее покажем, что вопрос об отыскании корней многочлена
находится в тесной связи с теорией делимости многочленов. Вначале
докажем достаточно простое утверждение, из которого будет следовать
алгоритм вычисления значений многочлена.
Теорема 2.5. Значение f(c) многочлена f (x) при x = c равно
остатку от деления f(x) на многочлен x −c.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разделим многочлен f (x) на x − c:
f(x) = (x − c)q(x) + r(x).
§ 6. Корни многочленов 53
Так как степень остатка строго меньше степени делителя, то r(x) =
= r — многочлен нулевой степени. Подставим c вместо x в обе части
последнего равенства:
f(c) = (c − c)q(c) + r
и получим f (c) = r, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы вытекает очень важное утверждение.
Следствие. Число c тогда и только тогда является корнем мно-
гочлена f(x), когда f (x) делится на многочлен x − c.
Введем такую терминологию.
Определение 15. Все многочлены первой степени вида x − c, где
c — любое комплексное число, будем называть линейными многочле-
нами.
Таким образом отыскание корней многочлена сводится к отысканию соответствующих его линейных делителей.
Познакомимся с эффективным способом деления многочленов
на линейные многочлены, который носит название метода Горнера.
Пусть
f(x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0.
Разделим f (x) на x − c:
f(x) = (x − c)q(x) + r. (2.35)
Очевидно, что степень q(x) меньше степени f (x) на единицу.
Если обозначить
q(x) = b
n−1
x
n−1
+ b
n−2
x
n−2
+ ···+ b1x + b0,
то, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного в
обеих частях равенства (2.35), получим
an= b
a
n−1
a
n−2
n−1
= b
= b
,
n−2
n−3
− cb
− cb
n−1
n−2
,
,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
a1= b0− cb1,
a0= r − cb0.
54 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Таким образом,
b
= an,
n−1
b
n−k
= cb
n−k+1
+ a
n−k+1
, k = 2, 3, .. . , n, (2.36)
r = cb0+ a0.
Равенства (2.36) дают возможность последовательно получить
все коэффициенты частного q(x) и остаток r. Так, старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого f (x); любой другой коэффициент q(x) получается умножением предыдущего
(только что полученного) на c и прибавлением соответствующего коэффициента делимого. Остаток от деления получается умножением
свободного члена частного на c и прибавлением свободного члена
делимого.
Применяя теорему 2.5, получаем, что метод Горнера позволяет
очень просто и быстро вычислять значения многочленов.
Пусть число c является корнем многочлена f (x). Тогда из следствия теоремы 2.5 получаем, что f (x) делится на x − c, т.е.
f(x) = (x − c)ϕ(x).
Число c может быть также корнем многочлена ϕ(x), и тогда
f(x) = (x − c)2ψ(x).
Затем проверяем, будет ли число c корнем многочлена ψ(x), и так
далее. Продолжая этот процесс, окончательно получаем равенство
f(x) = (x − c)kh(x),
и при этом число c уже не является корнем многочлена h(x).
Определение 16. Будем говорить, что корень c многочлена f (x)
имеет кратность k, если f (x) делится на (x − c)k, но не делится на
(x − c)
k+1
. При этом если k = 1, то число c будем называть простым
корнем многочлена f(x).
Понятие кратного корня многочлена тесно связано с его производной. Так как с алгебраической точки зрения многочлен — это
некоторая формальная сумма, а не функция, то мы не можем воспользоваться определением производной из курса математического анализа. Приведем алгебраическое определение производной многочлена,
при этом заметим, что правила дифференцирования многочленов будут
такими же, как и в анализе.
§ 6. Корни многочленов 55
Определение 17. Производной многочлена n-й степени
f(x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0(n > 0),
называется многочлен (n −1)-й степени
f0(x) = nanx
n−1
+ (n −1)a
n−1
x
n−2
+ ···+ 2a2x + a1.
При этом производную любого многочлена нулевой степени или нуля
будем считать равной нулю. Производную от производной многочлена
f(x) назовем его второй производной, и т. д.
Для производных высших порядков многочленов применим общепринятые обозначения: f00(x), f
000
(x), .. . , f
гочлена f(x) степени n имеет место равенство f
му f
(n+1)
(x) = 0.
(k)
(x). Очевидно, для мно-
(n)
(x) = n!an, и поэто-
В дальнейшем потребуется находить производные суммы, разности и произведения многочленов. Мы, понятно, не можем воспользоваться соответствующими правилами из курса математического
анализа, однако из определения 17 легко следует справедливость приведенных ниже формул:
(ϕ(x) ± ψ(x))0= ϕ0(x) ± ψ0(x), (2.37)
(ϕ(x)ψ(x))0= ϕ0(x)ψ(x) + ϕ(x)ψ0(x). (2.38)
Нетрудно убедиться, что формулы (2.37) и (2.38) можно распространить на любое конечное число слагаемых и сомножителей
соответственно. В частности, для натуральных k справедливо правило
дифференцирования степени многочлена:
(fk(x))0= kf
k−1
(x)f0(x). (2.39)
Докажем теорему, которая устанавливает связь между корнями
многочлена и его производной.
Теорема 2.6. Если число c есть корень кратности k многочлена
f(x), то при k > 1 c является корнем кратности (k − 1) его производной
f0(x); если же k = 1, то число c не будет корнем для f0(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как c — корень кратности k многочлена f (x), то
f(x) = (x − c)kh(x), (2.40)
где h(x) уже не делится на x − c. Если h(x) — многочлен нулевой
степени (константа), то утверждение теоремы очевидно.
Пусть ст.h(x) > 0. Дифференцируем равенство (2.40):
56 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
f0(x) = (x − c)kh0(x) + k(x − c)
k−1
h(x) =
= (x − c)
k−1
[(x − c)h0(x) + kh(x)]. (2.41)
Так как h(x) на x − c не делится, а первое слагаемое в квадратной
скобке делится на x − c, то при k > 1 все выражение в квадратной
скобке не делится на x − c. Если обозначить
ϕ(x) = (x − c)h0(x) + kh(x),
то f0(x) = (x − c)
k−1
ϕ(x) и по определению число c будет корнем
кратности (k −1) производной f0(x).
При k = 1 равенство (2.41) имеет вид
f0(x) = (x − c)h0(x) + h(x),
и очевидно, что x −c не делит f0(x), а значит, c не является корнем
производной f0(x). Теорема доказана.
Следствие. Если число c корень кратности k многочлена f (x),
то при s 6 k оно будет корнем кратности (k − s) его s-й производной
(s)
f
(x); число c впервые не будет корнем для производной порядка k
(k)
f
(x).
Для доказательства этого утверждения применим теорему 2.6
несколько раз.
В первой главе при построении системы комплексных чисел в
качестве основного требования выдвигалось условие: новая числовая
система K должна содержать корень уравнения x2+ 1 = 0. Теперь
понятно, что среди комплексных чисел содержится корень многочлена
второй степени x2+ 1. Естественно, возникает вопрос: достаточно
ли множества комплексных чисел при поиске всех корней произвольного многочлена с комплексными коэффициентами или же
это множество необходимо расширять? Иными словами, всякий ли
многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный
корень? На этот вопрос положительно отвечает теорема, которую еще
называют основной теоремой алгебры комплексных чисел.
Теорема 2.7 (основная теорема алгебры комплексных чисел). Всякий многочлен с произвольными комплексными коэффици-
ентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один
комплексный корень.
Все современные доказательства этой теоремы либо достаточно
громоздки, либо в существенной степени используют не алгебраи-
§ 6. Корни многочленов 57
ческие методы. Поэтому не будем приводить доказательство этой
очень важной для алгебры теоремы; ее доказательство приводится
во всех учебных пособиях для студентов-математиков классических
университетов и педагогических вузов. Доказательство теоремы 2.7
можно найти, например, в [1, с. 147]. Заметим, что теорема 2.7 верна
и для всех многочленов с действительными коэффициентами, так как
множество R всех действительных чисел содержится во множестве K
всех комплексных чисел.
Теорема 2.7 позволяет полностью решить вопрос о количестве
корней данного многочлена. Для решения этого вопроса нам потребуется вспомогательное утверждение, которое представляет самостоятельный интерес и будет применяться регулярно.
Лемма 2.2. Если для многочленов f (x), g(x) и h(x) верно равен-
ство f (x)h(x) = g(x)h(x) и h(x) 6= 0, то f(x) = g(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства f(x)h(x) = g(x)h(x) получаем
[f(x) − g(x)]h(x) = 0. Так как h(x) 6= 0, то f(x) − g(x) = 0 и f(x) =
= g(x). Лемма доказана.
Лемму 2.2. можно записать в более удобной формулировке:
два равных произведения многочленов можно сокращать на общий
ненулевой множитель.
Теперь докажем теорему о разложении любого многочлена в
произведение линейных множителей.
Теорема 2.8. Всякий многочлен
f(x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0, an6= 0
степени n с произвольными комплексными коэффициентами может
быть представлен в виде произведения n линейных множителей:
f(x) = an(x − c1)(x − c2) .. . (x −cn), (2.42)
где c1, c2, .. . , cn— все корни многочлена f(x), взятые с их кратностями. Представление (2.42) для f(x) является однозначным с точностью
до нумерации его корней.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 2.7 многочлен f(x) имеет комплексный корень. Обозначим его c1. Тогда, по следствию теоремы 2.5,
f(x) делится на x − c1, т. е.
f(x) = (x − c1)ϕ(x).
Заметим, что степень многочлена ϕ(x) на единицу меньше степени f (x). Далее очевидно, что многочлен ϕ(x) имеет комплексные
58 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
коэффициенты, поэтому по теореме 2.7 ϕ(x) имеет комплексный корень c2. Тогда
f(x) = (x − c1)(x − c2)ψ(x)
и степень ψ(x) на два меньше степени f(x). Продолжая этот процесс,
получим
f(x) = b(x − c1)(x − c2) .. . (x −cn), (2.43)
где b — многочлен нулевой степени, который получается на последнем
шаге (при каждом делении на линейный многочлен степень частного
понижается на единицу). Так как старшие коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях равенства (2.43), должны быть
равны, то b = anи окончательно
f(x) = an(x − c1)(x − c2) .. . (x −cn). (2.44)
Предположим, что имеется другое представление для f(x):
f(x) = an(x − d1)(x − d2) .. . (x −dn). (2.45)
Из (2.44) и (2.45) получаем равенство
(x − c1)(x − c2) .. . (x −cn) = (x − d1)(x − d2) .. . (x −dn). (2.46)
Если хотя бы один корень ciотличен от всех di, то, подставляя c
в равенство (2.46) вместо x, в левой части получим нуль, а в правой —
число, отличное от нуля. Таким образом, каждый корень ciравен некоторому корню di, и наоборот. Но это еще не доказывает однозначности
представления (2.42), поскольку среди корней ci, i = 1, 2, ... , n могут
быть равные. Пусть, например, корню c1в левой части равенства (2.46)
равны m корней, а в правой части этого равенства корню c1равны
t корней. Докажем, что m = t. Объединяя одинаковые множители,
относящиеся к корню c1, получим
(x − c1)m(x − c2) .. . (x −ck) = (x − c1)t(x − d2) .. . (x −dl). (2.47)
Предположим, что m 6= t; для определенности, пусть m > t. Тогда
i
обе части равенства (2.47) имеют одинаковый ненулевой множитель
(x −c1)t. Применяя лемму 2.2, сократим обе части равенства (2.47) на
этот множитель. Получим равенство
(x − c1)
m−t
(x − c2) .. . (x −ck) = (x − d2) .. . (x −dl),
§ 6. Корни многочленов 59
и среди корней di, i = 2, 3, ... , l уже нет равных корню c1. Ранее
было показано, что данная ситуация приводит к противоречию. Таким
образом, m = t, и однозначность представления (2.42) установлена.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы с очевидностью вытекают очень важные
утверждения.
Следствие 1. Любой многочлен f (x) степени n с комплексными
коэффициентами имеет ровно n корней, если каждый корень считать
столько раз, какова его кратность.
Следствие 2. Любой многочлен f (x) степени n с комплексными
коэффициентами имеет не более чем n различных корней.
Оба эти утверждения верны и для n = 0, так как многочлен
нулевой степени не имеет корней. Теорема 2.8 и ее следствия не могут
быть применены к многочлену 0, поскольку этот многочлен не имеет
степени и все его значения равны нулю. Данное замечание вместе со
следствием 2 теоремы 2.8 позволяет получить важный результат.
Теорема 2.9. Пусть многочлены f(x) и g(x), степени которых
не превышают n, имеют равные значения более чем для n различных
значений неизвестного. Тогда f(x) = g(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что многочлен f(x) −g(x) имеет
степень не выше, чем n. По условию теоремы этот многочлен имеет
более чем n корней. Если предположить, что f (x) − g(x) 6= 0, то
получается противоречие со следствием 2. Поэтому f(x) − g(x) = 0,
или f (x) = g(x).
Из последней теоремы вытекает, что для любых двух неравных
многочленов ϕ(x) и ψ(x) найдутся такие числа b, что ϕ(b) 6= ψ(b).
Более того, такие числа b можно найти и среди комплексных, и
среди действительных, и среди любого подмножества множества K,
состоящего из достаточно большого количества чисел.
Теперь можно утверждать, что два определения равенства мно-
гочленов, данные в параграфе 4 (алгебраическое и теоретикофункциональное), — равносильны.
Теорема 2.9 позволяет по заданным (n + 1) значениям неизвестного однозначно определять многочлен, степень которого не выше
чем n. Действительно, пусть требуется найти такой многочлен f(x)
степени не выше n, который при значениях неизвестного c1, c2, .. . , c
принимает значения b1, b2, .. . , b
. Из теоремы 2.9 ясно, что если
n+1
n+1
такой многочлен существует, то он единственный. Легко проверить,
60 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
что многочлен
n+1
X
f(x) =
bi(x − c1) .. . (x −c
(ci− c1) .. . (ci− c
i=1
i−1
)(ci− c
i−1
)(x − c
) .. . (x −c
i+1
) .. . (ci− c
i+1
n+1
n+1
)
(2.48)
)
удовлетворяет всем описанным выше условиям. Формула (2.48) называется интерполяционной формулой Лагранжа. Она позволяет
по известным значениям многочлена в (n + 1) точках находить все
остальные его значения.
Рассмотрим многочлен f (x) степени n со старшим коэффициентом, равным единице:
f(x) = xn+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a1x + a0, (2.49)
и пусть c1, c2, .. . , cn— его корни, взятые с их кратностями. Тогда по
теореме 2.8 многочлен f(x) может быть представлен в виде произведения:
f(x) = (x − c1)(x − c2) .. . (x −cn). (2.50)
Перемножая скобки в правой части равенства (2.50), приводя подобные относительно одинаковых степеней неизвестного и сравнивая
полученные коэффициенты с соответствующими коэффициентами из
(2.49), получим равенства, которые называются формулами Вьета:
a
a
a
= −(c1+ c2+ ···+ cn),
n−1
= c1c2+ c1c3+ ···+ c1cn+ c2c3+ ···+ c
n−2
= −(c1c2c3+ c1c2c4+ ···+ c
n−3
n−2cn−1cn
),
n−1cn
,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .
a1= (−1)
n−1
(c1c2... c
+ c1c2... c
n−1
n−2cn
+ ···+ c2c3... cn),
a0= (−1)nc1c2... cn.
Эти формулы для n = 2 приводятся в школьных учебниках по
алгебре и связывают корни приведенного квадратного уравнения с его
коэффициентами.
Если старший коэффициент anмногочлена f(x) не равен единице, то вначале необходимо рассмотреть многочлен
f1(x) =
a
n
a
n
xn+
a
n−1
a
n
x
n−1
+ ···+
a
1
a
n
x +
a
0
,
a
n
корни которого, очевидно, совпадают с корнями многочлена f(x) (учитывая, конечно, их кратности). Старший коэффициент многочлена
f1(x) равен единице; умножая каждое равенство в формулах Вьета для
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]